(魯京遼)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.3 圓柱、圓錐、圓臺和球?qū)W案 新人教B版必修2

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1、(魯京遼)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.3 圓柱、圓錐、圓臺和球?qū)W案 新人教B版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.認(rèn)識組成我們生活世界的各種各樣的旋轉(zhuǎn)體.2.認(rèn)識和把握圓柱、圓錐、圓臺、球體的幾何結(jié)構(gòu)特征. 知識點(diǎn)一 圓柱、圓錐、圓臺 圓柱、圓錐、圓臺的定義及結(jié)構(gòu)特征 (1)定義 分別看作以所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將 分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體→這類幾何體叫旋轉(zhuǎn)體. (2)相關(guān)概念 ①高:在軸上的這條邊(或它的長度). ②底面:垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面. ③側(cè)面:不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面. ④母線:繞軸旋轉(zhuǎn)的邊. (3)圖形表示

2、 知識點(diǎn)二 球 1.定義:一個(gè)球面可以看作半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面,球面圍成的幾何體叫做球. 2.相關(guān)概念 (1)球心:形成球的半圓的圓心;球的半徑:連接球心和球面上一點(diǎn)的線段. (2)球的直徑:連接球面上兩點(diǎn)并且通過球心的線段. (3)球的大圓:球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓. (4)球的小圓:球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓. (5)兩點(diǎn)的球面距離:在球面上,兩點(diǎn)之間的最短距離,就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度,把這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離. 3.球形表示 特別提醒:球與球面是完全不同的兩個(gè)概念,球指球面所圍成的空間,而球面只指球的表

3、面部分. 知識點(diǎn)三 旋轉(zhuǎn)體 1.定義:由一個(gè)平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體. 2.軸:這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸. 知識點(diǎn)四 組合體 思考 組合體是由簡單幾何體堆砌(或疊加)而成的嗎? 答案 不是,組合體的組合方式有多種,可以堆砌,可以挖空等. 梳理 由柱、錐、臺、球等基本幾何體組合而成的幾何體叫做組合體. 1.圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺.( √ ) 2.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體是一圓柱.( × ) 3.半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球.( × ) 類型一 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 例1 下列命題正確的是________.(填序號) ①

4、以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐; ②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺; ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓; ④以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐; ⑤半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球; ⑥用一個(gè)平面去截球,得到的截面是一個(gè)圓面. 答案?、堍茛? 解析?、僖灾苯侨切蔚囊粭l直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐;②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺;③它們的底面為圓面;④⑤⑥正確. 反思與感悟 (1)判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法 ①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成.

5、 ②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線. (2)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用 ①簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量. ②在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想. 跟蹤訓(xùn)練1 下列命題: ①圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個(gè); ②用任意一個(gè)平面去截圓錐得到的截面一定是一個(gè)圓; ③圓臺的任意兩條母線的延長線,可能相交也可能不相交; ④球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線段. 其中正確的個(gè)數(shù)為(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析?、阱e(cuò)誤,截面可能是一個(gè)三角形;③錯(cuò)誤,圓臺的任意兩條母線的延長線必相交

6、于一點(diǎn);①④正確.故選C. 類型二 簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征 例2 如圖所示,已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰.分別以AB,CD,AD為軸旋轉(zhuǎn),試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征. 解 (1)以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺,如圖(1)所示. (2)以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一組合體:上部為圓錐,下部為圓臺,再挖去一個(gè)小圓錐.如圖(2)所示. (3)以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)組合體,它是一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐.如圖(3)所示. 反思與感悟 (1)平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí),要過有關(guān)頂點(diǎn)向軸作垂線,然后想象所得旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和組成. (2)必要時(shí)作模型,培養(yǎng)動手能力.

7、 跟蹤訓(xùn)練2 如圖(1)、(2)所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的? 解 圖(1)、圖(2)旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示分別是圖①、圖②.其中圖①是由一個(gè)圓柱O1O2和兩個(gè)圓臺O2O3,O3O4組成的;圖②是由一個(gè)圓錐O5O4,一個(gè)圓柱O3O4及一個(gè)圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的. 類型三 旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計(jì)算 命題角度1 有關(guān)圓柱、圓錐、圓臺的計(jì)算 例3 一個(gè)圓臺的母線長為12 cm,兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2,求: (1)圓臺的高; (2)將圓臺還原為圓錐后,圓錐的母線長. 解 (1)圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖

8、所示). 由已知可得O1A=2 cm,OB=5 cm. 又由題意知,腰長為12 cm, 所以高AM= =3(cm). (2)如圖所示,延長BA,OO1,CD交于點(diǎn)S, 設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l, 則由△SAO1∽△SBO,可得=,解得l=20 cm. 即截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm. 反思與感悟 用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體,注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似),同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面(軸截面)的性質(zhì),利用相似三角形中的相似比,構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解. 跟蹤訓(xùn)練3 如圖,在底面半徑為2,母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱

9、,求圓柱的底面半徑. 解 設(shè)圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為r,則由三角形相似, 得=, 即1-=,解得r=1. 即圓柱的底面半徑為1. 命題角度2 球的截面的有關(guān)計(jì)算 例4 在球內(nèi)有相距9 cm的兩個(gè)平行截面面積分別為49π cm2和400π cm2,求此球的半徑. 解?、偃魞山孛嫖挥谇蛐牡耐瑐?cè),如圖(1)所示的是經(jīng)過球心O的大圓截面,C,C1分別是兩平行截面的圓心,設(shè)球的半徑為R cm,截面圓的半徑分別為r cm,r1 cm. 由πr=49π,得r1=7(r1=-7舍去), 由πr2=400π,得r=20(r=-20舍去). 在Rt△OB1C1中,OC1==

10、, 在Rt△OBC中,OC==. 由題意可知OC1-OC=9,即-=9, 解此方程,取正值得R=25. ②若球心在兩截面之間,如圖(2)所示,OC1=,OC=. 由題意可知OC1+OC=9,即+=9. 整理,得=-15,此方程無解,這說明第二種情況不存在. 綜上所述,此球的半徑為25 cm. 引申探究 若將把本例的條件改為“球的半徑為5,兩個(gè)平行截面的周長分別為6π和8π”,則兩平行截面間的距離是________. 答案 1或7 解析 畫出球的截面圖,如圖所示. 兩平行直線是球的兩個(gè)平行截面的直徑,有兩種情形: ①兩個(gè)平行截面在球心的兩側(cè), ②兩個(gè)平行截面在

11、球心的同側(cè). 對于①,m==4,n==3, 兩平行截面間的距離是m+n=7; 對于②,兩平行截面間的距離是m-n=1. 反思與感悟 設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A,球心為O,截面圓心為O1,則△AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形,解答球的截面問題時(shí),常用該直角三角形或者用過球心和截面圓心的軸截面求解. 跟蹤訓(xùn)練4 設(shè)地球半徑為R,在北緯45°圈上有A、B兩地,它們在緯度圈上的弧長等于πR.求A,B兩地間的球面距離. 解 如圖所示,A,B是北緯45°圈上的兩點(diǎn),AO′為它的半徑,O為地球的球心, ∴OO ′⊥AO′,OO′⊥BO′. ∵∠OAO′=∠OBO′=45°, ∴AO′=

12、BO′=OA·cos 45°=R. 設(shè)∠AO′B的度數(shù)為α, 則·AO′=·R=πR,∴α=90°. ∴AB== =R. 在△AOB中,AO=BO=AB=R,則△AOB為正三角形, ∴∠AOB=60°. ∴A,B兩地間的球面距離為=R. 1.下列幾何體是臺體的是(  ) 考點(diǎn) 圓臺的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn) 圓臺的概念的應(yīng)用 答案 D 解析 臺體包括棱臺和圓臺兩種,A的錯(cuò)誤在于四條側(cè)棱沒有交于一點(diǎn),B的錯(cuò)誤在于截面與圓錐底面不平行.C是棱錐,結(jié)合棱臺和圓臺的定義可知D正確. 2.下列選項(xiàng)中的三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周,能得到如下圖中的幾何體的是(  ) 答案 B

13、解析 由題意知,所得幾何體是組合體,上、下各一圓錐,顯然B正確. 3.下面幾何體的截面一定是圓面的是(  ) A.圓臺 B.球 C.圓柱 D.棱柱 答案 B 解析 截面可以從各個(gè)不同的部位截取,截得的截面都是圓面的幾何體只有球. 4.若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為,則這個(gè)圓錐的母線長為________. 考點(diǎn) 圓錐的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn) 與圓錐有關(guān)的運(yùn)算 答案 2 解析 如圖所示,設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面,由題意知圓錐的母線長即為△ABC的邊長,且S△ABC=AB2,∴=AB2,∴AB=2.故圓錐的母線長為2. 5.湖面上浮著一個(gè)球,湖水結(jié)冰后,將

14、球取出,冰上留下一個(gè)直徑為24 cm,深為8 cm的空穴,則球的半徑為________ cm. 答案 13 解析 設(shè)球的半徑為R cm, 由題意知,截面圓的半徑r=12 cm,球心距d=(R-8)cm, 由R2=r2+d2,得R2=144+(R-8)2, 即208-16R=0,解得R=13 cm. 1.圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示. 2.處理臺體問題常采用還臺為錐的補(bǔ)體思想. 3.處理組合體問題常采用分割思想. 4.重視圓柱、圓錐、圓臺的軸截面在解決幾何問題中的特殊作用,切實(shí)體會空間幾何平面化的思想. 一、選擇題 1.下列幾何體中不是旋轉(zhuǎn)體的是(  )

15、 答案 D 2.下列說法正確的是(  ) A.到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球 B.球面上不同的三點(diǎn)可能在同一條直線上 C.用一個(gè)平面截球,其截面是一個(gè)圓 D.球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面 考點(diǎn) 球的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn) 球的概念的應(yīng)用 答案 D 解析 對于A,球是球體的簡稱,球體的外表面我們稱之為球面,球面是一個(gè)曲面,是空心的,而球是幾何體,是實(shí)心的,故A錯(cuò);對于B,球面上不同的三點(diǎn)一定不共線,故B錯(cuò);對于C,用一個(gè)平面截球,其截面是一個(gè)圓面,而不是一個(gè)圓,故C錯(cuò),故選D. 3.一個(gè)圓柱的母線長為5,底面半徑為2,則圓柱的軸截面的面積為(  ) A.10

16、 B.20 C.40 D.15 答案 B 4.一個(gè)圓錐的母線長為20 cm,母線與軸的夾角為30°,則圓錐的高為(  ) A.10 cm B.20 cm C.20 cm D.10 cm 答案 A 解析 如圖所示,在Rt△ABO中,AB=20 cm,∠A=30°,所以AO=AB·cos 30°=20·=10(cm). 5.如果圓臺兩底面的半徑分別是7和1,則與兩底面平行且等距離的截面面積是(  ) A.24π B.16π C.8π D.4π 答案 B 解析 截面圓的半徑為=4, 面積為πr2=16π. 6.如圖所示的幾何體,關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征,下列

17、說法不正確的是(  ) A.該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的 B.該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn) C.該幾何體有8個(gè)面,并且各面均為三角形 D.該幾何體有9個(gè)面,其中一個(gè)面是四邊形,其余均為三角形 答案 D 解析 其中ABCD不是面,該幾何體有8個(gè)面. 7.用一張長為8,寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面,則相應(yīng)圓柱的底面半徑是(  ) A.2 B.2π C.或 D.或 答案 C 解析 如圖所示,設(shè)底面半徑為r,若矩形的長8為卷成圓柱底面的周長,則2πr=8,所以r=;同理,若矩形的寬4為卷成圓柱的底面周長,則2πr=4,所以r=,故選C. 8.如圖所示的平

18、面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體形狀為(  ) A.一個(gè)球體 B.一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱 C.一個(gè)圓柱 D.一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長方體 答案 B 解析 圓面繞著直徑所在的軸,旋轉(zhuǎn)而形成球,矩形繞著軸旋轉(zhuǎn)而形成圓柱. 故選B. 二、填空題 9.正方形繞其一條對角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體是________. 答案 兩個(gè)圓錐 解析 連接正方形的兩條對角線知對角線互相垂直,故繞對角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)底面相同的圓錐. 10.若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是8,則該圓錐的高是________. 答案 2 解析 設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的高

19、h=, ∴由題意可知·2r·h=r=8, ∴r2=8,∴h=2. 11.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面,則該圓錐的高為________. 考點(diǎn) 圓錐的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn) 與圓錐有關(guān)的運(yùn)算 答案  解析 由題意知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面,因?yàn)?π=πl(wèi)2,所以母線長為l=2,又半圓的弧長為2π,圓錐的底面的周長為2πr=2π,所以底面圓半徑為r=1,所以該圓錐的高為h=== . 三、解答題 12.A,B,C是球面上三點(diǎn),已知弦(連接球面上兩點(diǎn)的線段)AB=18 cm,BC=24 cm,AC=30 cm,平面ABC與球心的距離恰好為球半徑R的一半,求球的半

20、徑. 解 如圖所示, 因?yàn)锳B2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形. 所以△ABC的外接圓圓心O1是AC的中點(diǎn). 過A,B,C三點(diǎn)的平面截球O得圓O1的半徑為 r=15 cm. 在Rt△OO1C中,R2=2+r2. 所以R2=+152,所以R2=300, 所以R=10(cm). 即球的半徑為10 cm. 13.圓臺側(cè)面的母線長為2a,母線與軸的夾角為30°,一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍.求兩底面的半徑與兩底面面積之和. 解 設(shè)圓臺上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,圓臺上底面面積為S1,下底面面積為S2,兩底面面積之和為S. 如圖所示,∠ASO=

21、30°, 在Rt△SO′A′中,=sin 30°, ∴SA′=2r.在Rt△SOA中,=sin 30°,∴SA=4r. 又SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,∴r=a. ∴S=S1+S2=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2. ∴圓臺上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為5πa2. 四、探究與拓展 14.一個(gè)正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,作正方體的對角面,所得截面圖形是下圖中的(  ) 答案 B 解析 由組合體的結(jié)構(gòu)特征知,球與正方體各面相切,與各棱相離,故選B. 15.圓臺的上、下底面半徑分別為5 cm,10 cm,母線長AB=20 cm,從圓臺母線

22、AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A,求: (1)繩子的最短長度; (2)在繩子最短時(shí),上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離. 考點(diǎn) 圓臺的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn) 與圓臺有關(guān)的運(yùn)算 解 (1)如圖所示,將側(cè)面展開,繩子的最短距離為側(cè)面展開圖中AM的長度, 設(shè)OB=l, 則θ·l=2π×5,θ·(l+20)=2π×10, 解得θ=,l=20 cm. ∴OA=40 cm,OM=30 cm. ∴AM==50 cm. 即繩子最短長度為50 cm. (2)作OQ⊥AM于點(diǎn)Q,交弧BB′于點(diǎn)P, 則PQ為所求的最短距離. ∵OA·OM=AM·OQ,∴OQ=24 cm. 故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm),即在繩子最短時(shí),上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離為4 cm.

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