小學(xué)數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 小考復(fù)習(xí)資料

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1、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問點總結(jié) 小考復(fù)習(xí)資料 第一章 數(shù)和數(shù)的運算 一 概念 〔一〕整數(shù) 1 整數(shù)的意義 自然數(shù)和 0 都是整數(shù)。 2 自然數(shù) 我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的 1，2，3??叫做自然數(shù)。 一個物體也沒有，用 0 表示。0 也是自然數(shù)。 3 計數(shù)單位 一〔個〕、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億??都是計數(shù)單位。 每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是 10。這樣的計數(shù)法叫做十進(jìn)制計數(shù)法。 4 數(shù)位 計數(shù)單位依據(jù)肯定的依次排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。 5 數(shù)的整除 整數(shù) a 除以整數(shù) b(b ≠ 0〕，除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說 a 能被 b 整除，或者說 b 能整除 a

2、 。 假如數(shù) a 能被數(shù) b〔b ≠ 0〕整除，a 就叫做 b 的倍數(shù)，b 就叫做 a 的約數(shù)〔或 a 的因數(shù)〕。倍數(shù)和約數(shù)是互相依存的。 因為 35 能被 7 整除，所以 35 是 7 的倍數(shù)，7 是 35 的約數(shù)。 一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是 1，最大的 約數(shù)是它本身。 例如：10 的約數(shù)有 1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是 1，最大的約數(shù)是 10。 一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3 的倍數(shù)有：3、6、 9、12??其中最小的倍數(shù)是 3 ，沒有最大的倍數(shù)。 個位上是 0、2、4、6、8 的數(shù)，都能被 2 整除，例如：202、480、304，都能被

3、2 整除。。 個位上是 0 或 5 的數(shù)，都能被 5 整除，例如：5、30、405 都能被 5 整除。。 一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被 3 整除，這個數(shù)就能被 3 整除，例如：12、108、2 04 都能被 3 整除。 一個數(shù)各位數(shù)上的和能被 9 整除，這個數(shù)就能被 9 整除。 第 1 頁 共 39 頁 能被 3 整除的數(shù)不肯定能被 9 整除，但是能被 9 整除的數(shù)肯定能被 3 整除。 一個數(shù)的末兩位數(shù)能被 4〔或 25〕整除，這個數(shù)就能被 4〔或 25〕整除。例如： 16、404、1256 都能被 4 整除，50、325、500、1675 都能被 25 整除。 一個數(shù)的末三位數(shù)能被 8〔或

4、 125〕整除，這個數(shù)就能被 8〔或 125〕整除。例如： 1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、5000 都能被 125 整除。 能被 2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)。 不能被 2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。 0 也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被 2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。 一個數(shù)，假如只有 1 和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)〔或素數(shù)〕，100 以 內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、5 3 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一個數(shù)，假如除了 1 和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做

5、合數(shù)，例如 4、6、8、 9、12 都是合數(shù)。 1 不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了 1 外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假如把自然數(shù)按 其約數(shù)的個數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和 1。 每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)， 叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如 15=3×5，3 和 5 叫做 15 的質(zhì)因數(shù)。 把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。 例如把 28 分解質(zhì)因數(shù) 幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的 最大公約數(shù)，例如 12 的約數(shù)有 1、2、3、4、6、12；18 的約數(shù)有 1、2、3、6、 9、18。其中，1、2、3

6、、6 是 12 和 1 8 的公約數(shù)，6 是它們的最大公約數(shù)。 公約數(shù)只有 1 的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，有以下幾種狀況： 1 和任何自然數(shù)互質(zhì)。 相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。 兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 第 2 頁 共 39 頁 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有 1 時，這兩個合數(shù)互質(zhì)，假如幾個數(shù)中隨意兩個都互質(zhì)， 就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)。 假如較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。 假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是 1。 幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的 最小公倍數(shù)，如 2 的倍

7、數(shù)有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ?? 3 的倍數(shù)有 3、6、9、12、15、18 ?? 其中 6、12、18??是 2、3 的公倍數(shù)， 6 是它們的最小公倍數(shù)。。 假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。 假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。 幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。 〔二〕小數(shù) 1 小數(shù)的意義 把整數(shù) 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份?? 得到的非常之幾、百分之幾、千 分之幾?? 可以用小數(shù)表示。 一位小數(shù)表示非常之幾， 兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾?? 一個

8、小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點，小 數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分， 小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點右邊的數(shù)叫 做小數(shù)部分。 在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是 10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位 “非常之一〞和整數(shù)部分的最低單位“一〞之間的進(jìn)率也是 10。 2 小數(shù)的分類 純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如： 0.25 、 0.368 都是純小 數(shù)。 帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶 小數(shù)。 有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 例如： 41.7 、 2 5.3 、 0.23 都是有限

9、小數(shù)。 第 3 頁 共 39 頁 無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。 例如： 4.33 ?? 3.1415926 ?? 無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù) 叫做無限不循環(huán)小數(shù)。 例如：∏ 循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這 個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.555 ?? 0.0333 ?? 12.109109 ?? 一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán) 節(jié)。 例如： 3.99 ??的循環(huán)節(jié)是“ 9 〞 ， 0.5454 ??的循環(huán)節(jié)是“ 54 〞 。 純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從

10、小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.1 11 ?? 0.5656 ?? 混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。 3.1222 ?? 0.03333 ?? 寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個 循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一個圓點。假如循環(huán) 節(jié)只有 一個數(shù)字，就只在它 的上面點一個點。例如： 3.777 ?? 簡寫作 〔三〕分?jǐn)?shù) 1 分?jǐn)?shù)的意義 把單位“1〞平均分成假設(shè)干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。 在分?jǐn)?shù)里， 中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線； 分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)， 叫做分母， 表示把單位 “1〞 平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的

11、數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。 把單位“1〞平均分成假設(shè)干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。 2 分?jǐn)?shù)的分類 真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于 1。 假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或 等于 1。 帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)及真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。 3 約分和通分 把一個分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù) ，叫做約分。 0.5302302 ?? 簡寫作 。 第 4 頁 共 39 頁 分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。 把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。 〔四〕百分?jǐn)?shù) 1 表示一個數(shù)是另

12、一個數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率 或百分 比。百分?jǐn)?shù)通常用"%"來表示。百分號是表示百分?jǐn)?shù)的符號。 二 方法 〔一〕數(shù)的讀法和寫法 1. 整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先依據(jù)個級 的讀法去讀，再在后面加一個“億〞或“萬〞字。每一級末尾的 0 都不讀出來， 其它數(shù)位連續(xù)有幾個 0 都只讀一個零。 2. 整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上一個單位也沒有， 就在那個數(shù)位上寫 0。 3. 小數(shù)的讀法： 讀小數(shù)的時候， 整數(shù)部分依據(jù)整數(shù)的讀法讀， 小數(shù)點讀作 “點〞 ， 小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。 4. 小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時

13、候，整數(shù)部分依據(jù)整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點寫在個 位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。 5. 分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時，先讀分母再讀“分之〞然后讀分子，分子和分母按 照整數(shù)的讀法來讀。 6. 分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最終寫分子，依據(jù)整數(shù)的寫法來寫。 7. 百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時按 照整數(shù)的讀法來讀。 8. 百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來的分子后面加上百分 號“%〞來表示。 〔二〕數(shù)的改寫 一個較大的多位數(shù)，為了讀寫便利，經(jīng)常把它改寫成用“萬〞或“億〞作單位的 數(shù)。有時還可以依據(jù)須要，省略這個數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。

14、 第 5 頁 共 39 頁 1. 精確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬 或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的精確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫成以 萬做單位的數(shù)是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。 2. 近似數(shù)：依據(jù)實際須要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一位后面的尾 數(shù)，用一個近似數(shù)來表示。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。 3. 四舍五入法： 要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是 4 或者比 4 小， 就把尾數(shù)去掉； 假如尾數(shù)的最高位上的數(shù)是 5 或者比 5 大， 就把尾數(shù)舍去， 并向它的前一位

15、進(jìn) 1。 例如： 省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù) 約是 47 億。 4. 大小比較 1. 比較整數(shù)大小：比較整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，假如位數(shù)一樣，就 看最高位，最高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大；最高位上的數(shù)一樣，就看下一位，哪 一位上的數(shù)大那個數(shù)就大。 2. 比較小數(shù)的大小：先看它們的整數(shù)部分，，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；整數(shù) 部分一樣的，非常位上的數(shù)大的那個數(shù)就大；非常位上的數(shù)也一樣的，百分位上 的數(shù)大的那個數(shù)就大?? 3. 比較分?jǐn)?shù)的大小:分母一樣的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；分子一樣的數(shù)，分 母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不一樣的

16、，先通分，再比較兩個數(shù)的大小。 〔三〕數(shù)的互化 1. 小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來有幾位小數(shù)，就在 1 的后面寫幾個零作分母，把原來的 小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。 2. 分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡， 不能化成有限小數(shù)的，一般保存三位小數(shù)。 3. 一個最簡分?jǐn)?shù)，假如分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分 數(shù)就能化成有限小數(shù)；假如分母中含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就不能 化成有限小數(shù)。 4. 小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點向右挪動兩位，同時在后面添上百分號。 第 6 頁 共 39 頁 5. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)

17、，只要把百分號去掉，同時把小數(shù)點向 左挪動兩位。 6. 分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)〔除不盡時，通常保存三位小數(shù))， 再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。 7. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù)。 〔四〕數(shù)的整除 1. 把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除， 始終除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。 2. 求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，始終除 到所得的商只有公約數(shù) 1 為止， 然后把全部的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾個 數(shù)的的最大公約數(shù) 。 3. 求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)〔或其中的部分?jǐn)?shù)〕

18、的公約 數(shù)去除，始終除到互質(zhì)〔或兩兩互質(zhì)〕為止，然后把全部的除數(shù)和商連乘求積， 這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 4. 成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1 和任何自然數(shù)互質(zhì) ； 相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)； 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時， 這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)； 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有 1 時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。 〔五〕 約分和通分 約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)〔1 除外〕去除分子、分母；通常要除到得 出最簡分?jǐn)?shù)為止。 通分的方法：先求出原來的幾個分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這 個最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。 三 性質(zhì)和規(guī)律 〔一〕商不變的規(guī)律 商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或者同時縮小一樣

19、的倍，商不 變。 〔二〕小數(shù)的性質(zhì) 小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。 〔三〕小數(shù)點位置的挪動引起小數(shù)大小的變更 第 7 頁 共 39 頁 1. 小數(shù)點向右挪動一位，原來的數(shù)就擴(kuò)大 10 倍；小數(shù)點向右挪動兩位，原來的 數(shù)就擴(kuò)大 100 倍；小數(shù)點向右挪動三位，原來的數(shù)就擴(kuò)大 1000 倍?? 2. 小數(shù)點向左挪動一位，原來的數(shù)就縮小 10 倍；小數(shù)點向左挪動兩位，原來的 數(shù)就縮小 100 倍；小數(shù)點向左挪動三位，原來的數(shù)就縮小 1000 倍?? 3. 小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0"補(bǔ)足位。 〔四〕分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì) 分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以

20、或者除以一樣的數(shù)〔零除外〕，分 數(shù)的大小不變。 〔五〕分?jǐn)?shù)及除法的關(guān)系 1. 被除數(shù)÷除數(shù)= 被除數(shù)/除數(shù) 2. 因為零不能作除數(shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。 3. 被除數(shù) 相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。 四 運算的意義 〔一〕整數(shù)四那么運算 1 整數(shù)加法： 把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。 在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。 加數(shù)+加數(shù)=和 2 整數(shù)減法： 兩個加數(shù)的和及其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。 在減法里，的和叫做被減數(shù)，的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被 減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。 加法和減法互為逆運算。 3 整數(shù)乘法：

21、求幾個一樣加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。 在乘法里，一樣的加數(shù)和一樣加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。一樣加數(shù)的和叫做積。 在乘法里，0 和任何數(shù)相乘都得 0. 1 和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。 一個加數(shù)=和－另一個加數(shù) 第 8 頁 共 39 頁 一個因數(shù)× 一個因數(shù) =積 4 整數(shù)除法： 一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù) 兩個因數(shù)的積及其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做除法。 在除法里， 的積叫做被除數(shù)， 的一個因數(shù)叫做除數(shù)， 所求的因數(shù)叫做商。 乘法和除法互為逆運算。 在除法里，0 不能做除數(shù)。因為 0 和任何數(shù)相乘都得 0，所以任何一個數(shù)除以 0， 均得不到一個確定的商。 被除數(shù)÷除數(shù)=商 除數(shù)=被除

22、數(shù)÷商 被除數(shù)=商×除數(shù) 〔二〕小數(shù)四那么運算 1. 小數(shù)加法： 小數(shù)加法的意義及整數(shù)加法的意義一樣。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。 2. 小數(shù)減法： 小數(shù)減法的意義及整數(shù)減法的意義一樣。兩個加數(shù)的和及其中的一個加數(shù)， 求另一個加數(shù)的運算. 3. 小數(shù)乘法： 小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義一樣，就是求幾個一樣加數(shù)和的簡便運算； 一個數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的非常之幾、 百分之幾、 千分之幾??是多少。 4. 小數(shù)除法： 小數(shù)除法的意義及整數(shù)除法的意義一樣，就是兩個因數(shù)的積及其中一個因 數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。 5. 乘方: 求幾個一樣因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如 3 × 3 =32 〔

23、三〕分?jǐn)?shù)四那么運算 1. 分?jǐn)?shù)加法： 分?jǐn)?shù)加法的意義及整數(shù)加法的意義一樣。 是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。 2. 分?jǐn)?shù)減法： 第 9 頁 共 39 頁 分?jǐn)?shù)減法的意義及整數(shù)減法的意義一樣。兩個加數(shù)的和及其中的一個加數(shù)， 求另一個加數(shù)的運算。 3. 分?jǐn)?shù)乘法： 分?jǐn)?shù)乘法的意義及整數(shù)乘法的意義一樣，就是求幾個一樣加數(shù)和的簡便運算。 4. 乘積是 1 的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。 5. 分?jǐn)?shù)除法： 分?jǐn)?shù)除法的意義及整數(shù)除法的意義一樣。就是兩個因數(shù)的積及其中一個因 數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。 〔四〕運算定律 1. 加法交換律： 兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即 a+b=b+a 。 2. 加法結(jié)

24、合律： 三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再 和第一個數(shù)相加它們的和不變，即〔a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交換律： 兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即 a×b=b×a。 4. 乘法結(jié)合律： 三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相乘，再 和第一個數(shù)相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c) 。 5. 乘法安排律： 兩個數(shù)的和及一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別及這個數(shù)相乘再把兩個積相加， 即(a+b)×c=a×c+b×c 。 6. 減法的性質(zhì)： 從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去全部減數(shù)的和，差不

25、變，即 a -b-c=a-(b+c) 。 〔五〕運算法那么 1. 整數(shù)加法計算法那么： 一樣數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。 2. 整數(shù)減法計算法那么： 第 10 頁 共 39 頁 一樣數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十， 和本位上的數(shù)合并在一起，再減。 3. 整數(shù)乘法計算法那么： 先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)， 用因數(shù)哪一位 上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。 4. 整數(shù)除法計算法那么： 先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位； 假如不夠除， 就多看一位，

26、除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。假如哪一位上不夠 商 1，要補(bǔ)“0〞占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。 5. 小數(shù)乘法法那么： 先依據(jù)整數(shù)乘法的計算法那么算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起 數(shù)出幾位，點上小數(shù)點；假如位數(shù)不夠，就用“0〞補(bǔ)足。 6. 除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法那么： 先依據(jù)整數(shù)除法的法那么去除， 商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；假如除到被 除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0〞，再接著除。 7. 除數(shù)是小數(shù)的除法計算法那么： 先挪動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點也向右挪動幾位〔位數(shù)不夠 的補(bǔ)“0〞〕，然后依據(jù)除數(shù)是整數(shù)的除法法那么進(jìn)展計算。 8

27、. 同分母分?jǐn)?shù)加減法計算方法: 同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。 9. 異分母分?jǐn)?shù)加減法計算方法: 先通分，然后依據(jù)同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法那么進(jìn)展計算。 10. 帶分?jǐn)?shù)加減法的計算方法: 整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)局部分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。 11. 分?jǐn)?shù)乘法的計算法那么: 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用 分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 12. 分?jǐn)?shù)除法的計算法那么: 甲數(shù)除以乙數(shù)〔0 除外〕，等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。 第 11 頁 共 39 頁 〔六〕 運算依次 1. 小數(shù)四那么運算的運算依次和整數(shù)四那么運算依次一樣。 2. 分?jǐn)?shù)

28、四那么運算的運算依次和整數(shù)四那么運算依次一樣。 3. 沒有括號的混合運算: 同級運算從左往右依次運算；兩級運算 先算乘、除法，后算加減法。 4. 有括號的混合運算: 先算小括號里面的，再算中括號里面的，最終算括號外面的。 5. 第一級運算： 加法和減法叫做第一級運算。 6. 第二級運算： 乘法和除法叫做第二級運算。 第二章 度量衡 一 長度 (一) 什么是長度 長度是一維空間的度量。 (二) 長度常用單位 * 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um) (三) 單位之間的換算 * 1 毫米 ＝1000 微米 ＝1000 毫米 二 面積 〔

29、一〕什么是面積 面積， 就是物體所占平面的大小。 對立體物體的外表的多少的測量一般稱外表積。 * * 1 厘米 ＝10 毫米 ＝ 1000 米 * 1 分米 ＝10 厘米 * 1米 1 千米 〔二〕常用的面積單位 * 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米 〔三〕面積單位的換算 * 1 平方厘米 ＝100 平方毫米 0 平方分米 * 1 平方分米=100 平方厘米 * 1 平方米 ＝10 第 12 頁 共 39 頁 * 1 公傾 ＝10000 平方米 三 體積和容積 〔一〕什么是體積、容積 * 1 平方公里 ＝100 公頃 體積，就是物體所占空間的大小。

30、容積，箱子、油桶、倉庫等所能包容物體的體積，通常叫做它們的容積。 〔二〕常用單位 1 體積單位 * 立方米 2 容積單位 * 立方分米 * 升 * 立方厘米 * 毫升 〔三〕單位換算 1 體積單位 * 1 立方米=1000 立方分米 * 1 立方分米=1000 立方厘米 2 容積單位 * 1 升 =1000 毫升 * 1 升 =1 立方米 * 1 毫升=1 立方厘米 四 質(zhì)量 〔一〕什么是質(zhì)量 質(zhì)量，就是表示表示物體有多重。 〔二〕常用單位 * 噸 t * 千克 kg * 克 g 〔三〕常用換算 * 一噸=1000 千克 * 1 千克 = 1000 克 五 時間 〔一〕什么是時間 是

31、指有起點和終點的一段時間 〔二〕常用單位 第 13 頁 共 39 頁 世紀(jì)、 年 、 月 、 日 、 時 、 分、 秒 〔三〕單位換算 * 1 世紀(jì)=100 年 * 1 年=365 天 * 一年=366 天 平年 閏年 大月有 31 天 * 一、三、五、七、八、十、十二是大月 * 四、六、九、十一是小月小月 * 平年 2 月有 28 天 * 1 天= 24 小時 * 1 小時=60 分 * 一分=60 秒 六 貨幣 〔一〕什么是貨幣 小月有 30 天 閏年 2 月有 29 天 貨幣是充當(dāng)一切商品的等價物的特別商品。貨幣是價值的一般代表，可以購置任 何別的商品。 〔二〕常用單位 *

32、元 * 角 * 分 〔三〕單位換算 * 1 元=10 角 * 1 角=10 分 第三章 代數(shù)初步學(xué)問 一、用字母表示數(shù) 1 用字母表示數(shù)的意義和作用 * 用字母表示數(shù)， 可以把數(shù)量關(guān)系簡明的表達(dá)出來， 同時也可以表示運算的結(jié)果。 2 用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系、運算定律和性質(zhì)、幾何形體的計算公式 〔1〕常見的數(shù)量關(guān)系 路程用 s 表示，速度 v 用表示，時間用 t 表示，三者之間的關(guān)系： 第 14 頁 共 39 頁 s=vt v=s/t t=s/v 總價用 a 表示，單價用 b 表示，數(shù)量用 c 表示，三者之間的關(guān)系: a=bc b=a/c c=a/b 〔2〕運算定律和性質(zhì) 加法交換律：

33、a+b=b+a 加法結(jié)合律：〔a+b)+c=a+(b+c) 乘法交換律：ab=ba 乘法結(jié)合律：〔ab)c=a(bc) 乘法安排律：〔a+b)c=ac+bc 減法的性質(zhì)：a-(b+c) =a-b-c 〔3〕用字母表示幾何形體的公式 長方形的長用 a 表示，寬用 b 表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示。 c=2(a+b) s=ab 正方形的邊長 a 用表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示。 c= 4a s=a2 平行四邊形的底 a 用表示，高用 h 表示，面積用 s 表示。 s=ah 三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面積用 s 表示。 s=ah/2 梯形的上底用 a 表示，下底

34、 b 用表示，高用 h 表示，中位線用 m 表示，面積用 s 表示。 s=(a+b)h/2 s=mh 第 15 頁 共 39 頁 圓的半徑用 r 表示，直徑用 d 表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示。 c=∏d=2∏r s=∏ r2 扇形的半徑用 r 表示，n 表示圓心角的度數(shù)，面積用 s 表示。 s=∏ nr2/360 長方體的長用 a 表示，寬用 b 表示，高用 h 表示，外表積用 s 表示，體積用 v 表示。 v=sh s=2(ab+ah+bh) v=abh 正方體的棱長用 a 表示，底面周長 c 用表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示. s= 6a 2 v=a3 圓

35、柱的高用 h 表示，底面周長用 c 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示. s 側(cè)=ch s 表=s 側(cè)+2s 底 v=sh 圓錐的高用 h 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示. v=sh/3 3 用字母表示數(shù)的寫法 數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作“.〞，或者省略不寫，數(shù)字要 寫在字母的前面。 當(dāng)“1〞及任何字母相乘時，“1〞省略不寫。 在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。 用含有字母的式子表示問題的答案時，除數(shù)一般寫成分母，假如式子中有加號或 者減號，要先用括號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。 4 將數(shù)值代入式子求值

36、 第 16 頁 共 39 頁 * 把詳細(xì)的數(shù)代入式子求值時，要留意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出 原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。 * 同一個式子， 式子中所含字母取不同的數(shù)值， 那么所求出的式子的值也不一樣。 二、簡易方程 〔一〕方程和方程的解 1 方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 留意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不行。 方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個式子，它由運算符號和數(shù)組成，它表示未 知數(shù)。方程是一個等式，在方程里的未知數(shù)可以參與運算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為 特定的數(shù)值時 ，方程才成立 。 2 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的

37、解。 三、解方程解方程，求方程的解的過程叫做解方程。 四、列方程解應(yīng)用題 1 列方程解應(yīng)用題的意義 * 用方程式去解容許用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。 2 列方程解容許用題的步驟 * 弄清題意，確定未知數(shù)并用 x 表示； * 找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系； * 列方程，解方程； * 檢查或驗算，寫出答案。 3 列方程解應(yīng)用題的方法 * 綜合法：先把應(yīng)用題中數(shù)〔量〕和所設(shè)未知數(shù)〔量〕列成有關(guān)的代數(shù)式， 再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種 思維過 程，其思索方向是從到未知。 * 分析法：先找出等量關(guān)系，再依據(jù)詳細(xì)建立等量關(guān)系的須要，把應(yīng)用題中 數(shù)〔量〕和所設(shè)的未知數(shù)〔量

38、〕列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到 部分的一種思維過程，其思索方向是從未知到。 第 17 頁 共 39 頁 4 列方程解應(yīng)用題的范圍 小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題： a 一般應(yīng)用題； b 和倍、差倍問題； c 幾何形體的周長、面積、體積計算； d 分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題； e 比和比例應(yīng)用題。 五 比和比例 1 比的意義和性質(zhì) 〔1〕 比的意義 兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。 “：〞是比號，讀作“比〞。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比 的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。 同除法比較，比的前項相當(dāng)于被除數(shù)，后項相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。 比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用

39、小數(shù)表示，有時也可能是整數(shù)。 比的后項不能是零。 依據(jù)分?jǐn)?shù)及除法的關(guān)系，可知比的前項相當(dāng)于分子，后項相當(dāng)于分母，比值相當(dāng) 于分?jǐn)?shù)值。 〔2〕比的性質(zhì) 比的前項和后項同時乘上或者除以一樣的數(shù)〔0 除外〕，比值不變，這叫做比的 根本性質(zhì)。 〔3〕 求比值和化簡比 求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結(jié)果是一個數(shù)值可以是整數(shù)，也可以 是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。 依據(jù)比的根本性質(zhì)可以把比化成最簡潔的整數(shù)比。它的結(jié)果必需是一個最簡比， 即前、后項是互質(zhì)的數(shù)。 〔4〕比例尺 圖上間隔 ：實際間隔 =比例尺 第 18 頁 共 39 頁 要求會求比例尺； 圖上間隔 和比例尺務(wù)實際間隔 ；實際間隔 和比例尺求 圖上

40、間隔 。 線段比例尺： 在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對應(yīng)的實際 間隔 。 〔5〕按比例安排 在農(nóng)業(yè)消費和日常生活中， 經(jīng)常須要把一個數(shù)量依據(jù)肯定的比來進(jìn)展安排。這種 安排的方法通常叫做按比例安排。 方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。 2 比例的意義和性質(zhì) 〔1〕 比例的意義 表示兩個比相等的式子叫做比例。 組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。 兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項。 〔2〕比例的性質(zhì) 在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的根本性質(zhì)。 〔3〕解比例 依據(jù)比例的根本性質(zhì)， 假如比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比

41、例中的 另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。 3 正比例和反比例 〔1〕 成正比例的量 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變更，另一種量也隨著變更，假如這兩種量中相對應(yīng)的 兩個數(shù)的比值〔也就是商〕肯定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫 做正比例關(guān)系。 用字母表示 y/x=k(肯定〕 〔2〕成反比例的量 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變更，另一種量也隨著變更，假如這兩種量中相對應(yīng)的 兩個數(shù)的積肯定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。 用字母表示 x×y=k(肯定) 第 19 頁 共 39 頁 第四章 幾何的初步學(xué)問 一 線和角 〔1〕線 * 直線 直線沒有端點；長度無限；

42、過一點可以畫多數(shù)條，過兩點只能畫一條直線。 * 射線 射線只有一個端點；長度無限。 * 線段 線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。 * 平行線 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。 兩條平行線之間的垂線長度都相等。 * 垂線 兩條直線相交成直角時， 這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直 線的垂線,相交的點叫做垂足。 從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的間隔 。 〔2〕角 〔1〕從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩 條射線叫做角的邊。 〔2〕角的分類 銳角：小于 90°的角叫做銳角。 直角：等于 9

43、0°的角叫做直角。 鈍角：大于 90°而小于 180°的角叫做鈍角。 平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角 180°。 周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，及另一邊重合。周角是 360°。 二 平面圖形 1 長方形 第 20 頁 共 39 頁 〔1〕特征 對邊相等，4 個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。 〔2〕計算公式 c=2(a+b) s=ab 2 正方形 〔1〕特征： 四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有 4 條對稱軸。 〔2〕計算公式 c= 4a s=a2 3 三角形 〔1〕特征 由三條線段圍成的圖形。 內(nèi)角和是 180 度。 三角形具有穩(wěn)定性。 三角形有三條高。 〔2

44、〕計算公式 s=ah/2 〔3〕 分類 按角分 銳角三角形 ：三個角都是銳角。 直角三角形 ：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為 45 度，它有一條對 稱軸。 鈍角三角形：有一個角是鈍角。 按邊分 不等邊三角形：三條邊長度不相等。 等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。 等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內(nèi)角都是 60 度；有三條對稱軸。 4 平行四邊形 〔1〕 特征 第 21 頁 共 39 頁 兩組對邊分別平行的四邊形。 相對的邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為 180 度。平行四邊 形簡潔變形。 〔2〕 計算公式 s=ah 5 梯形 〔1〕特征

45、只有一組對邊平行的四邊形。 中位線等于上下底和的一半。 等腰梯形有一條對稱軸。 〔2〕 公式 s=(a+b)h/2=mh 6 圓 〔1〕 圓的相識 平面上的一種曲線圖形。 圓中心的一點叫做圓心。一般用字母 o 表示。 半徑：連接圓心和圓上隨意一點的線段叫做半徑。一般用 r 表示。 在同一個圓里，有多數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用 d 表示。 同一個圓里有多數(shù)條直徑，全部的直徑都相等。 同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即 d=2r。 圓的大小由半徑確定。 圓有多數(shù)條對稱軸。 〔2〕圓的畫法 把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的間隔 〔即半徑〕； 把

46、有針尖的一只腳固定在一點〔即圓心〕上； 把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個圓。 〔3〕 圓的周長 圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。 把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。 第 22 頁 共 39 頁 〔4〕 圓的面積 圓所占平面的大小叫做圓的面積。 〔5〕計算公式 d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r s=∏r2 7 扇形 〔1〕 扇形的相識 一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。 圓上 AB 兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧 AB〞。 頂點在圓心的角叫做圓心角。 在同一個圓中，扇形的大小及這個扇形的圓心角的大小有關(guān)。 扇形有一條對稱軸。 (2) 計算公

47、式 s=n∏r2/360 8 環(huán)形 (1) 特征 由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有多數(shù)條對稱軸。 (2) 計算公式 s=∏(R2-r2〕 9 軸對稱圖形 (1) 特征 假如一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形可以完全重合，這個圖形就是軸對 稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。 正方形有 4 條對稱軸， 長方形有 2 條對稱軸。 等腰三角形有 2 條對稱軸，等邊三角形有 3 條對稱軸。 等腰梯形有一條對稱軸，圓有多數(shù)條對稱軸。 第 23 頁 共 39 頁 菱形有 4 條對稱軸，扇形有一條對稱軸。 三 立體圖形 〔一〕長方體 1 特征 六個面都是長方形〔有時有兩個相對的面是正方形〕。

48、相對的面面積相等，12 條棱相對的 4 條棱長度相等。 有 8 個頂點。 相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。 兩個面相交的邊叫做棱。 三條棱相交的點叫做頂點。 把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。 長方體或者正方體 6 個面的總面積，叫做它的外表積。 2 計算公式 s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh 〔二〕正方體 1 特征 六個面都是正方形 六個面的面積相等 12 條棱，棱長都相等 有 8 個頂點 正方體可以看作特別的長方體 2 計算公式 S 表= 6a 2 v=a3 〔三〕圓柱 1 圓柱的相識 第 24 頁 共 39 頁 圓柱的上下兩個面叫做底面。 圓柱

49、有一個曲面叫做側(cè)面。 圓柱兩個底面之間的間隔 叫做高 。 進(jìn)一法：實際中，運用的材料都要比計算的結(jié)果多一些 ，因此，要保存數(shù)的時 候，省略的位上的是 4 或者比 4 小，都要向前一位進(jìn) 1。這種取近似值的方法叫 做進(jìn)一法。 2 計算公式 s 側(cè)=ch s 表=s 側(cè)+s 底×2 v=sh/3 〔四〕圓錐 1 圓錐的相識 圓錐的底面是個圓，圓錐的側(cè)面是個曲面。 從圓錐的頂點究竟面圓心的間隔 是圓錐的高。 測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板程度地放在圓錐的頂點上面， 豎直地量出平板和底面之間的間隔 。 把圓錐的側(cè)面綻開得到一個扇形。 2 計算公式 v= sh/3 〔五〕球 1 相識 球

50、的外表是一個曲面，這個曲面叫做球面。 球和圓類似，也有一個球心，用 O 表示。 從球心到球面上隨意一點的線段叫做球的半徑，用 r 表示，每條半徑都相等。 通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用 d 表示,每條直徑都相 等,直徑的長度等于半徑的 2 倍，即 d=2r。 2 計算公式 d=2r 第五章 簡潔的統(tǒng)計 第 25 頁 共 39 頁 一 統(tǒng)計表 〔一〕意義 * 把統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫在肯定格式的表格內(nèi)，用來反映狀況、說明問題，這樣的表 格就叫做統(tǒng)計表。 〔二〕組成部分 * 一般分為表特別和表格內(nèi)兩部分。表特別部分包括標(biāo)的名稱，單位說明和制 表日期；表格內(nèi)部包括表頭、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目

51、和數(shù)據(jù)四個方面。 〔三〕種類 * 單式統(tǒng)計表：只含有一個工程的統(tǒng)計表。 * 復(fù)式統(tǒng)計表：含有兩個或兩個以上統(tǒng)計工程的統(tǒng)計表。 * 百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計表： 不僅說明各統(tǒng)計工程的詳細(xì)數(shù)量，而且說明比較量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn) 量的百分比的統(tǒng)計表。 〔四〕制作步驟 1 搜集數(shù)據(jù) 2 整理數(shù)據(jù)： 要依據(jù)制表的目的和統(tǒng)計的內(nèi)容，對數(shù)據(jù)進(jìn)展分類。 3 設(shè)計草表： 要依據(jù)統(tǒng)計的目的和內(nèi)容設(shè)計分欄格內(nèi)容、分欄格畫法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾 格，每格長度。 4 正式制表： 把核對過的數(shù)據(jù)填入表中，并依據(jù)制表要求，用簡潔、明確的語言寫上統(tǒng)計表的 名稱和制表日期。 二 統(tǒng)計圖 〔一〕意義 * 用點線面積等來表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖

52、形叫做統(tǒng)計圖。 〔二〕分類 1 條形統(tǒng)計圖 用一個單位長度表示肯定的數(shù)量，依據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直條，然后把 這些直線按肯定的依次排列起來。 第 26 頁 共 39 頁 優(yōu)點：很簡潔看出各種數(shù)量的多少。 留意：畫條形統(tǒng)計圖時，直條的寬窄必需一樣。 取一個單位長度表示數(shù)量的多少要依據(jù)詳細(xì)狀況而確定； 復(fù)式條形統(tǒng)計圖中表示不同工程的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)分開，并在制 圖日期下面注明圖例。 制作條形統(tǒng)計圖的一般步驟: 〔1〕依據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。 〔2〕在程度射線上，適當(dāng)安排條形的位置，確定直線的寬度和間隔。 〔3〕在及程度射線垂直的深線上依據(jù)數(shù)據(jù)大小的詳細(xì)狀況，確

53、定單位長度表示 多少。 〔4〕依據(jù)數(shù)據(jù)的大小畫出長短不同的直條，并注明數(shù)量。 2 折線統(tǒng)計圖 用一個單位長度表示肯定的數(shù)量，依據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把各點用線段 順次連接起來。 優(yōu)點：不但可以表示數(shù)量的多少，而且可以清晰地表示出數(shù)量增減變更的狀況。 留意：折線統(tǒng)計圖的橫軸表示不同的年份、月份等時間時，不同時間之間的間隔 要依據(jù)年份或月份的間隔來確定。 制作折線統(tǒng)計圖的一般步驟: 〔1〕依據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。 〔2〕在程度射線上，適當(dāng)安排折線的位置，確定直線的寬度和間隔。 〔3〕在及程度射線垂直的深線上依據(jù)數(shù)據(jù)大小的詳細(xì)狀況，確定單位長度表示 多少。 〔4〕依據(jù)數(shù)據(jù)的大

54、小描出各點，再用線段順次連接起 來，并注明數(shù)量。 3 扇形統(tǒng)計圖 用整個圓的面積表示總數(shù)，用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。 優(yōu)點： 很清晰地表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系。 制扇形統(tǒng)計圖的一般步驟： 〔1〕 先算出各部分?jǐn)?shù)量占總量的百分之幾。 第 27 頁 共 39 頁 〔2〕再算出表示各部分?jǐn)?shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。 〔3〕取適當(dāng)?shù)陌霃疆嬕粋€圓，并依據(jù) 上面算出的圓心角的度數(shù)，在圓里畫出各個扇形。 〔4〕在每個扇形中標(biāo)明所表示的各部分 數(shù)量名稱和所占的百分?jǐn)?shù)，并用不同顏色或條紋把各個扇形區(qū)分開。 五 應(yīng)用 〔一〕整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用 1 簡潔應(yīng)用題 〔1〕 簡潔應(yīng)用題：只含有一種根

55、本數(shù)量關(guān)系，或用一步運算解答的應(yīng)用題，通 常叫做簡潔應(yīng)用題。 〔2〕 解題步驟： a 審題理解題意：理解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問題。讀題時，不丟 字不添字邊讀邊思索，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題，扶植 理解題意。 b 選擇算法和列式計算：這是解容許用題的中心工作。從題目中告知什么，要求 什么著手，逐步依據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)絡(luò)四那么運算的含義，分析數(shù)量關(guān)系， 確定算法，進(jìn)展解答并標(biāo)明正確的單位名稱。 C 檢驗：就是依據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)展檢查看所列算式和計算過程是否正 確，是否符合題意。假如發(fā)覺錯誤，立刻改正。 2 復(fù)合應(yīng)用題 〔1〕有兩個或兩個以上的根本數(shù)量關(guān)系組

56、成的，用兩步或兩步以上運算解答的 應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。 〔2〕含有三個條件的兩步計算的應(yīng)用題。 求比兩個數(shù)的和多〔少〕幾個數(shù)的應(yīng)用題。 比較兩數(shù)差及倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。 〔3〕含有兩個條件的兩步計算的應(yīng)用題。 兩數(shù)相差多少〔或倍數(shù)關(guān)系〕及其中一個數(shù)，求兩個數(shù)的和〔或差〕。 兩數(shù)之和及其中一個數(shù)，求兩個數(shù)相差多少〔或倍數(shù)關(guān)系〕。 〔4〕解答連乘連除應(yīng)用題。 〔5〕解答三步計算的應(yīng)用題。 第 28 頁 共 39 頁 〔6〕解答小數(shù)計算的應(yīng)用題：小數(shù)計算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題， 他們的數(shù)量關(guān)系、構(gòu)造、和解題方式都及正式應(yīng)用題根本一樣，只是在數(shù)或 未知數(shù)中間含有小數(shù)。 d 答案：依

57、據(jù)計算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。 ( 3 ) 解答加法應(yīng)用題： a 求總數(shù)的應(yīng)用題：甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。 b 求比一個數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是 多少。 (4 ) 解答減法應(yīng)用題： a 求剩余的應(yīng)用題：從數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。 -b 求兩個數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多 多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。 c 求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙 數(shù)是多少。 (5 ) 解答乘法應(yīng)用題： a 求一樣加數(shù)和的應(yīng)用題：一樣的加數(shù)和一樣加數(shù)的個數(shù)，求總數(shù)。 b 求一個數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題

58、：一個數(shù)是多少，另一個數(shù)是它的幾倍， 求另一個數(shù)是多少。 ( 6) 解答除法應(yīng)用題： a 把一個數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：一個數(shù)和把這個數(shù)平 均分成幾份的，求每一份是多少。 b 求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應(yīng)用題：一個數(shù)和每份是多少，求可以分 成幾份。 C 求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是 較小數(shù)的幾倍。 d 一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的應(yīng)用題。 〔7〕常見的數(shù)量關(guān)系： 總價= 單價×數(shù)量 路程= 速度×?xí)r間 第 29 頁 共 39 頁 工作總量=工作時間×工效 總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量 3 典型應(yīng)用題 具有獨特的構(gòu)造特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合

59、應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題。 〔1〕平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的開展。 解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和及之相對應(yīng)的總份數(shù)。 算術(shù)平均數(shù)： 幾個不相等的同類量和及之相對應(yīng)的份數(shù)， 求平均每份是多少。 數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。 加權(quán)平均數(shù)：兩個以上假設(shè)干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。 數(shù)量關(guān)系式 〔部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)〕的總和÷〔權(quán)數(shù)的和〕=加權(quán)平均數(shù)。 差額平均數(shù)： 是把各個大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標(biāo) 準(zhǔn)數(shù)及各數(shù)相差之和的平均數(shù)。 數(shù)量關(guān)系式： 〔大數(shù)－小數(shù)〕÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù) 數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù) 例： 一輛汽車以每小時 0 千米 最大數(shù)及各數(shù)之差的和÷總份

60、 最大數(shù)及個數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時 6 的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。 分析： 求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為 “ 1 〞，那么汽車行駛的總路程為“ 2 〞，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用 的時間為 ，汽車從乙地到甲地速度為 共行的時間為 + = 60 千米 ，所用的時間是 =75 〔千米〕 ，汽車 , 汽車的平均速度為 2 ÷ 〔2〕 歸一問題：互相關(guān)聯(lián)的兩個量，其中一種量變更，另一種量也隨之而 變更，其變更的規(guī)律是一樣的，這種問題稱之為歸一問題。 依據(jù)求“單一量〞的步驟的

61、多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問 題。 依據(jù)球癡單一量之后，解題采納乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題， 反歸一問題。 第 30 頁 共 39 頁 一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量〞的歸一問題。又稱“單歸一。〞 兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量〞的歸一問題。又稱“雙歸一。〞 正歸一問題：用等分除法求出“單一量〞之后，再用乘法計算結(jié)果的歸一問題。 反歸一問題：用等分除法求出“單一量〞之后，再用除法計算結(jié)果的歸一問題。 解題關(guān)鍵：從的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量〔單一量〕，然后 以它為標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)題目的要求算出結(jié)果。 數(shù)量關(guān)系式：單一量×份數(shù)=

62、總數(shù)量〔正歸一〕 總數(shù)量÷單一量=份數(shù)〔反歸一〕 例 一個織布工人，在七月份織布 米 ，須要多少天？ 4774 米 ， 照這樣計算，織布 6930 分析：必需先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 693 0 ÷〔 477 4 ÷ 31 〕 =45 〔天〕 〔3〕歸總問題：是單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不同的單位數(shù)量 〔或單位數(shù)量的個數(shù)〕，通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)〔或單位數(shù)量〕。 特點：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變更，另一種量也跟著變更，不過變更的規(guī) 律相反，和反比例算法彼此相通。 數(shù)量關(guān)系式： 單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量 = 另一個單位數(shù)量 單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個

63、單位數(shù)量= 另一個單位數(shù)量。 例 修一條水渠，原方案每天修 天修了多少米？ 分析：因為要求出每天修的長度，就必需先求出水渠的長度。所以也把這類應(yīng)用 題叫做“歸總問題〞。不同之處是“歸一〞先求出單一量，再求總量，歸總問題 是先求出總量，再求單一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 〔米〕 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每 第 31 頁 共 39 頁 〔4〕 和差問題：大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的 應(yīng)用題叫做和差問題。 解題關(guān)鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和〔或兩個小數(shù)的和〕，然后 再求另一個數(shù)。 解題規(guī)律：〔和＋差〕÷2 = 大數(shù) 〔和－差〕

64、÷2=小數(shù) 大數(shù)－差=小數(shù) 和－小數(shù)= 大數(shù) 例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作須要臨時從乙班調(diào) 46 人到甲 班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？ 分析：從乙班調(diào) 46 人到甲班，對于總數(shù)沒有變更，如今把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個乙 班，即 9 4 － 12 ，由此得到如今的乙班是〔 9 4 － 12 〕÷ 2=41 〔人〕， 乙班在調(diào)出 46 人之前應(yīng)當(dāng)為 41+46=87 〔人〕，甲班為 9 4 － 87=7 〔人〕 〔5〕和倍問題：兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的 應(yīng)用題，叫做和倍問題。 解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)〔即 1 倍數(shù)

65、〕一般說來，題中說是“誰〞的幾倍，把誰就 確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。依據(jù)另一個數(shù)〔也 可能是幾個數(shù)〕及標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個數(shù)〔或幾個數(shù)〕的數(shù)量。 解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù) 例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有 大貨車和小汽車各有多少輛？ 分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi)，為了使 總數(shù)及〔 5+1 〕倍對應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)〔 115-7 〕輛 。 列式為〔 115-7 〕÷〔 5+1 〕 =18 〔輛〕， 18 × 5+7=97 〔輛〕 〔6

66、〕差倍問題：兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的 應(yīng)用題。 解題規(guī)律：兩個數(shù)的差÷〔倍數(shù)－1 〕= 標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)。 第 32 頁 共 39 頁 例 甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米 ，乙繩長 29 米 ，兩根繩剪去同樣 的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩 長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？ 各減去多少米？ 分析：兩根繩子剪去一樣的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍， 實比乙繩多〔 3-1 〕倍，以乙繩的長度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式〔 63-29 〕÷〔 3-1 〕 =17 〔米〕?乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 〔米〕?甲繩剩下的長度， 2917=12 〔米〕?剪去的長度。 〔7〕行程問題：關(guān)于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫 做行程問題。解答這類問題首先要搞清晰速度、時間、路程、方向、杜速度和、 速度差等概念，理解他們之間的關(guān)系，再依據(jù)這類問題的規(guī)律解答。 解題關(guān)鍵及規(guī)律： 同時同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間。 同時相向而行：相遇時間=速度和×?xí)r間 同時同向而行〔速度慢的在前，快的在后〕：追剛好間=路程速度