2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練2 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練2 理 1．△ABC內(nèi)角為A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝＋. (1)求sin(A＋B)＋sin Acos A＋cos(A－B)的最大值； (2)若b＝，當△ABC的面積最大時，求△ABC的周長． [解]　(1)由＝＋得： ＝， ∴a＝bcos C＋csin B，即 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B， ∴cos B＝sin B，B＝； 由sin(A＋B)＋sin Acos A＋cos(A－B) ＝(sin A＋cos A)＋sin Acos A， 令t＝sin A＋cos A，t∈(0

2、，]，原式＝t2＋t－， 當且僅當A＝時，上式取得最大值，最大值為. (2)S＝acsin B＝ac，b2＝a2＋c2－2accos B， 即2＝a2＋c2－ac≥(2－)ac，ac≤2＋，當且僅當a＝c＝等號成立；Smax＝，周長L＝a＋b＋c＝2＋. 2.如圖55，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC＝60°，E是DP中點． 圖55 (1)證明：PB∥平面ACE； (2)若AP＝PB，AB＝PC＝PB，求平面EAC與平面PBC所成二面角的正弦值． [解]　(1)證明：如圖，連接BD，BD∩AC＝F，連接EF， ∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形， ∴F為

3、BD中點，又∵E是DP中點， ∴在△BDP中，EF是中位線，∴EF∥PB， 又∵EF?平面ACE，而PB?平面ACE，∴PB∥平面ACE. (2)如圖，取AB的中點Q，連接PQ，CQ， ∵ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，∴CQ⊥AB. 設(shè)AB＝PC＝2，∴AP＝PB＝，∴CQ＝，且△PAB為等腰直角三角形，即∠APB＝90°，PQ⊥AB，∴AB⊥平面PQC，且PQ＝1， ∴PQ2＋CQ2＝CP2，∴PQ⊥CQ.如圖，建立空間直角坐標系，以Q為原點，BA所在的直線為x軸，QC所在的直線為y軸，QP所在的直線為z軸，則Q(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0

4、，，0)，P(0,0,1)，B(－1,0,0)，D(2，，0)，E，＝，＝(－1，，0)， ＝(－1,0，－1)，＝(0，，－1)， 設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面AEC的一個法向量，則即， 可取n1＝(，1，－)． 設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面PBC的一個法向量， 則即 可取n2＝(－，1，)． 于是|cos〈n1，n2〉|＝＝. 所以平面EAC與平面PBC所成二面角的正弦值為. 3．(2018·永州市三模)某保險公司對一個擁有20 000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為A，B

5、，C三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12 000,6 000,2 000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表(并以此估計賠付概率)： 工種類別 A B C 賠付頻率 已知A，B，C三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元． (1)求保險公司在該業(yè)務(wù)所或利潤的期望值； (2)現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇： 方案1：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為

6、每年12萬元； 方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負責(zé)職工保費的70%，職工個人負責(zé)保費的30%，出險后賠償金由保險公司賠付，企業(yè)無額外專項開支． 請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議． [解]　(1)設(shè)工種A、B、C職工的每份保單保險公司的收益為隨機變量X、Y、Z，則X、Y、Z的分布列為 X 25 25－100×104 P 1－ Y 25 25－100×104 P 1－ Z 40 40－50×104 P 1－ 保險公司的期望收益為 E(X)＝25＋(25－100×104)×＝15； E(Y)＝25＋(25－100×104)×＝5； E

7、(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10； 保險公司的利潤的期望值為12 000×E(X)＋6 000×E(Y)＋2 000×E(Z)－100 000＝90 000， 保險公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤的期望值為9萬元． (2)方案1：企業(yè)不與保險公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開支共為： 12 000×100×104×＋6 000×100×104×＋2 000×50×104×＋12×104＝46×104， 方案2：企業(yè)與保險公司合作，則企業(yè)支出保險金額為： (12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)×0.7＝37.1×104， 46×104＞37.1×104，故

8、建議企業(yè)選擇方案2. 4．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程] 已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以直角坐標系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C的極坐標方程，并說明方程表示什么軌跡； (2)若直線l的極坐標方程為sin θ－cos θ＝，求直線l被曲線C截得的弦長． [解]　(1)因為曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))， 所以曲線C的普通方程為 (x－3)2＋(y－1)2＝10，　① 曲線C表示以C(3,1)為圓心，為半徑的圓． 將代入①并化簡，得 ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲線C的極坐標方程為ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因

9、為直線l的直角坐標方程為y－x＝1， 所以圓心C到直線y＝x＋1的距離d＝， 所以直線被曲線C截得的弦長為2＝. [選修4—5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|mx－1|. (1)若m＝1，求f(x)的最小值，并指出此時x的取值范圍； (2)若f(x)≥2x，求m的取值范圍． [解]　(1)當m＝1時，f(x)＝|x＋1|＋|x－1| ≥|(x＋1)－(x－1)|＝2， 當且僅當(x＋1)(x－1)≤0時取等號， 故f(x)的最小值為2， 此時x的取值范圍是[－1,1]． (2)當x≤0時，f(x)≥2x顯然成立，所以此時m∈R； 當x>0時，由f(x)＝x＋1＋|mx－1|≥2x， 得|mx－1|≥x－1. 由y＝|mx－1|及y＝x－1的圖象，可得|m|≥1且≤1， 解得m≥1或m≤－1. 綜上所述，m的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．