(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級(jí) 重點(diǎn)增分 專(zhuān)題十 直線(xiàn)與圓講義 理(普通生含解析)

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1、(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級(jí) 重點(diǎn)增分 專(zhuān)題十 直線(xiàn)與圓講義 理(普通生,含解析) [全國(guó)卷3年考情分析] 年份 全國(guó)卷Ⅰ 全國(guó)卷Ⅱ 全國(guó)卷Ⅲ 2018 直線(xiàn)方程、圓的方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離·T6 2017 圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)·T15 圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)·T9 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、橢圓的幾何性質(zhì)·T10 直線(xiàn)與圓的方程、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系·T20 2016 圓的方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離·T4 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、弦長(zhǎng)問(wèn)題·T16 (1)圓的方程近幾年成為高考全國(guó)課標(biāo)卷命

2、題的熱點(diǎn),需重點(diǎn)關(guān)注.此類(lèi)試題難度中等偏下,多以選擇題或填空題形式考查. (2)直線(xiàn)與圓的方程偶爾單獨(dú)命題,單獨(dú)命題時(shí)有一定的深度,有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置,難度較大,對(duì)直線(xiàn)與圓的方程(特別是直線(xiàn))的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題上. 保分考點(diǎn)·練后講評(píng) 1.已知直線(xiàn)l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與直線(xiàn)l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是(  ) A.1或3         B.1或5 C.3或5 D.1或2 解析:選C 當(dāng)k=4時(shí),直線(xiàn)l1的斜率不存在,直線(xiàn)l2的斜率存在,所以?xún)芍本€(xiàn)不平行;當(dāng)k≠4時(shí),兩直線(xiàn)平行的一個(gè)必要條件是=k-3

3、,解得k=3或k=5,但必須滿(mǎn)足≠(截距不等)才是充要條件,經(jīng)檢驗(yàn)知滿(mǎn)足這個(gè)條件. 2.[兩直線(xiàn)垂直]已知直線(xiàn)mx+4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直,垂足為P(1,p),則m-n+p的值是(  ) A.24 B.20 C.0 D.-4 解析:選B ∵直線(xiàn)mx+4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直, ∴×=-1,∴m=10. 直線(xiàn)mx+4y-2=0,即5x+2y-1=0, 將垂足(1,p)代入,得5+2p-1=0,∴p=-2. 把P(1,-2)代入2x-5y+n=0,得n=-12, ∴m-n+p=20,故選B. 3.坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)關(guān)于直線(xiàn)x-2y+2=

4、0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(  ) A. B. C. D. 解析:選A 直線(xiàn)x-2y+2=0的斜率k=,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)關(guān)于直線(xiàn)x-2y+2=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x0,y0),依題意可得解得即所求點(diǎn)的坐標(biāo)是. 4.已知直線(xiàn)l過(guò)直線(xiàn)l1:x-2y+3=0與直線(xiàn)l2:2x+3y-8=0的交點(diǎn),且點(diǎn)P(0,4)到直線(xiàn)l的距離為2,則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)________________. 解析:由得所以直線(xiàn)l1與l2的交點(diǎn)為(1,2).顯然直線(xiàn)x=1不符合,即所求直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)所求直線(xiàn)的方程為y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,因?yàn)镻(0,4)到直線(xiàn)l的距離為2,所以=2,所以

5、k=0或k=.所以直線(xiàn)l的方程為y=2或4x-3y+2=0. 答案:y=2或4x-3y+2=0 [解題方略] 1.兩直線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題的解題策略 求解與兩條直線(xiàn)平行或垂直有關(guān)的問(wèn)題時(shí),主要是利用兩條直線(xiàn)平行或垂直的充要條件,即斜率相等且縱截距不相等或斜率互為負(fù)倒數(shù).若出現(xiàn)斜率不存在的情況,可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究或直接用直線(xiàn)的一般式方程判斷. 2.軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的兩種類(lèi)型及求解方法 點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng) 若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線(xiàn)l:Ax+By+C=0對(duì)稱(chēng),則線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸l上,而且連接P1,P2的直線(xiàn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸l.由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)

6、稱(chēng)的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2) 直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng) 有兩種情況,一是已知直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸相交;二是已知直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸平行.一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)來(lái)解決 保分考點(diǎn)·練后講評(píng) [大穩(wěn)定] 1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,-2)       B. C.(-2,0) D. 解析:選D 若方程表示圓,則a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,化簡(jiǎn)得3a2+4a-4<0,解得-2

7、距離為,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______. 解析:設(shè)C(a,0)(a>0),由題意知=,解得a=2,所以r= =3,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=9. 答案:(x-2)2+y2=9 [解題方略] 求圓的方程的2種方法 幾何法 通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線(xiàn)和圓、圓與圓的位置關(guān)系,從而求得圓的基本量和方程 代數(shù)法 用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù),從而求得圓的方程 [小創(chuàng)新] 1.已知圓M:x2+y2-2x+a=0,若AB為圓M的任意一條直徑,且·=-6(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則圓M的半徑為(  ) A. B. C. D.2 解析:選C 圓M的標(biāo)

8、準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1-a(a<1),圓心M(1,0),則|OM|=1,圓的半徑r=,因?yàn)锳B為圓M的任意一條直徑,所以=-,且||=||=r,則·=(+)·(+)=(-)·(+)=2-2=1-r2=-6,所以r2=7,得r=,所以圓的半徑為,故選C. 2.向圓(x-2)2+(y-)2=4內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在x軸下方的概率為_(kāi)_______. 解析:如圖,連接CA,CB,依題意,圓心C到x軸的距離為,所以弦AB的長(zhǎng)為2.又圓的半徑為2,所以弓形ADB的面積為×π×2-×2×=π-,所以向圓(x-2)2+(y-)2=4內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在x軸下方的概率P==-. 答案:

9、- 增分考點(diǎn)·廣度拓展 [分點(diǎn)研究] 題型一 圓的切線(xiàn)問(wèn)題 [例1] (1)(2019屆高三·蘇州高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線(xiàn)l與圓(x+1)2+(y-2)2=5相切,且與直線(xiàn)ax+y-1=0垂直,則實(shí)數(shù)a=________. (2)設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)為直線(xiàn)3x+4y=25上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作圓x2+y2=2的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)為B,C,則四邊形OBMC面積的最小值為_(kāi)_______. [解析] (1)由題意得,直線(xiàn)l的斜率存在,設(shè)過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線(xiàn)l的方程為y-1=k(x-1),即kx-y+1-k=0.因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓(x+1)2+(y-

10、2)2=5相切,所以圓心(-1,2)到直線(xiàn)l的距離d==,整理得k2-4k+4=0,解得k=2.又直線(xiàn)l與直線(xiàn)ax+y-1=0垂直,所以-2a=-1,解得a=. (2)圓心O到直線(xiàn)3x+4y=25的距離d==5, 則|OM|≥d=5, 所以切線(xiàn)長(zhǎng)|MB|=≥ =, 所以S四邊形OBMC=2S△OBM≥2×××=. [答案] (1) (2) [變式1] 本例(2)變?yōu)椋哼^(guò)點(diǎn)A(1,3),作圓x2+y2=2的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)為B,C,則四邊形OBAC的面積為_(kāi)_______. 解析:由相切可得S四邊形OBAC=2S△OBA, 因?yàn)椤鱋AB為直角三角形,且|OA|=,|OB|=, 所

11、以|AB|=2, 即S△OBA=×2×=2, 所以S四邊形OBAC=2S△OBA=4. 答案:4 [變式2] 本例(2)變?yōu)椋涸O(shè)點(diǎn)M(x0,y0)為直線(xiàn)3x+4y=25上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作圓x2+y2=2的兩條切線(xiàn)l1,l2,則l1與l2的最大夾角的正切值是________. 解析:設(shè)一個(gè)切點(diǎn)為B,圓心O到直線(xiàn)3x+4y=25的距離為d==5, 則tan∠OMB=≤, 所以tan 2∠OAB= =≤. 故所求最大夾角的正切值為. 答案: [解題方略] 直線(xiàn)與圓相切問(wèn)題的解題策略 直線(xiàn)與圓相切時(shí)利用“切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直,圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑”建立關(guān)于切線(xiàn)斜率的等

12、式,所以求切線(xiàn)方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式.過(guò)圓外一點(diǎn)求解切線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題,可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離,再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算. 題型二 圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題 [例2] 已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),且圓心C在直線(xiàn)y=x上,又直線(xiàn)l:y=kx+1與圓C相交于P,Q兩點(diǎn). (1)求圓C的方程; (2)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線(xiàn)l1與l垂直,且直線(xiàn)l1與圓C交于M,N兩點(diǎn),求四邊形PMQN面積的最大值. [解] (1)設(shè)圓心C(a,a),半徑為r,因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),所以|AC|=|BC|=r, 即= =r, 解得a=0,r=2, 故所求圓C的方程為x2+y2=

13、4. (2)設(shè)圓心C到直線(xiàn)l,l1的距離分別為d,d1,四邊形PMQN的面積為S. 因?yàn)橹本€(xiàn)l,l1都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),且l1⊥l, 根據(jù)勾股定理,有d+d2=1. 又|PQ|=2×,|MN|=2×, 所以S=|PQ|·|MN|, 即S=×2××2× =2 =2≤2 =2=7, 當(dāng)且僅當(dāng)d1=d時(shí),等號(hào)成立, 所以四邊形PMQN面積的最大值為7. [解題方略] 求解圓的弦長(zhǎng)的3種方法 關(guān)系法 根據(jù)半徑,弦心距,弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形,構(gòu)成三者間的關(guān)系r2=d2+(其中l(wèi)為弦長(zhǎng),r為圓的半徑,d為圓心到直線(xiàn)的距離) 公式法 根據(jù)公式l=|x1-x2|求解(其中l(wèi)為弦

14、長(zhǎng),x1,x2為直線(xiàn)與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo),k為直線(xiàn)的斜率) 距離法 聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程,解方程組求出兩交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解 [多練強(qiáng)化] 1.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)直線(xiàn)y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A(yíng),B兩點(diǎn),則|AB|=________. 解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4. ∴圓心C(0,-1),半徑r=2.圓心C(0,-1)到直線(xiàn)x-y+1=0的距離d==, ∴|AB|=2=2=2. 答案:2 2.已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn),若|MN|=,則直線(xiàn)l的

15、方程為_(kāi)_______. 解析:直線(xiàn)l的方程為y=kx+1,圓心C(2,3)到直線(xiàn)l的距離d==, 由R2=d2+2,得1=+, 解得k=2或, 故所求直線(xiàn)l的方程為y=2x+1或y=x+1. 答案:y=2x+1或y=x+1 3.已知從圓C:(x+1)2+(y-2)2=2外一點(diǎn)P(x1,y1)向該圓引一條切線(xiàn),切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,則當(dāng)|PM|取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______. 解析:如圖所示,連接CM,CP.由題意知圓心C(-1,2),半徑r=.因?yàn)閨PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x+y+2=(x1+1)2+(y1-

16、2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|的值最小,只需|PO|的值最小即可.當(dāng)PO垂直于直線(xiàn)2x-4y+3=0時(shí),即PO所在直線(xiàn)的方程為2x+y=0時(shí),|PM|的值最小,此時(shí)點(diǎn)P為兩直線(xiàn)的交點(diǎn),則解得 故當(dāng)|PM|取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 答案: 數(shù)學(xué)建?!本€(xiàn)與圓最值問(wèn)題的求解 [典例] 已知圓O:x2+y2=9,過(guò)點(diǎn)C(2,1)的直線(xiàn)l與圓O交于P,Q兩點(diǎn),則當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),直線(xiàn)l的方程為(  ) A.x-y-3=0或7x-y-15=0 B.x+y+3=0或7x+y-15=0 C.x+y-3=0或7x-y+15=0 D.x+y-3=0或7x+y-15

17、=0 [解析] 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),l的方程為x=2,則P(2,),Q(2,-),所以S△OPQ=×2×2=2,當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y-1=k(x-2),則圓心到直線(xiàn)l的距離d=,所以|PQ|=2,S△OPQ=×|PQ|×d=×2×d= ≤=,當(dāng)且僅當(dāng)9-d2=d2,即d2=時(shí),S△OPQ取得最大值,因?yàn)?<,所以S△OPQ的最大值為,此時(shí)=,解得k=-1或k=-7,此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x+y-3=0或7x+y-15=0,故選D. [答案] D [素養(yǎng)通路] 本題考查了直線(xiàn)與圓的最值問(wèn)題,結(jié)合題目的條件,設(shè)元、列式、建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用基本不等式模型解決相關(guān)的最值問(wèn)題.

18、考查了數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng). A組——“6+3+3”考點(diǎn)落實(shí)練 一、選擇題 1.“ab=4”是“直線(xiàn)2x+ay-1=0與直線(xiàn)bx+2y-2=0平行”的(  ) A.充要條件         B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選C 因?yàn)閮芍本€(xiàn)平行,所以斜率相等,即-=-,可得ab=4,又當(dāng)a=1,b=4時(shí),滿(mǎn)足ab=4,但是兩直線(xiàn)重合,故選C. 2.已知直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)(-2,0)且傾斜角為30°,直線(xiàn)l2過(guò)

19、點(diǎn)(2,0)且與直線(xiàn)l1垂直,則直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(  ) A.(3,) B.(2,) C.(1,) D. 解析:選C 直線(xiàn)l1的斜率k1=tan 30°=,因?yàn)橹本€(xiàn)l2與直線(xiàn)l1垂直,所以直線(xiàn)l2的斜率k2=-=-,所以直線(xiàn)l1的方程為y=(x+2),直線(xiàn)l2的方程為y=-(x-2),聯(lián)立解得即直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,). 3.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線(xiàn)x+y=0所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是(  ) A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 解析:選B 圓M:x2+y2-

20、2ay=0(a>0)可化為x2+(y-a)2=a2,由題意,M(0,a)到直線(xiàn)x+y=0的距離d=,所以a2=+2,解得a=2.所以圓M:x2+(y-2)2=4,所以?xún)蓤A的圓心距為,半徑和為3,半徑差為1,故兩圓相交. 4.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)直線(xiàn)x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A(yíng),B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(  ) A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3] 解析:選A 設(shè)圓(x-2)2+y2=2的圓心為C,半徑為r,點(diǎn)P到直線(xiàn)x+y+2=0的距離為d, 則圓心C(2,0),r=, 所以圓心C到直線(xiàn)x+y+2

21、=0的距離為=2, 可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=. 由已知條件可得|AB|=2, 所以△ABP面積的最大值為|AB|·dmax=6, △ABP面積的最小值為|AB|·dmin=2. 綜上,△ABP面積的取值范圍是[2,6]. 5.已知圓O:x2+y2=4上到直線(xiàn)l:x+y=a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  ) A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-2,2) D.[-3,3 ] 解析:選A 由圓的方程可知圓心為(0,0),半徑為2.因?yàn)閳AO上到直線(xiàn)l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè),所以圓心到直線(xiàn)l的距離d

22、1,即d==<3,解得a∈(-3,3). 6.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)x-ky+1=0與圓C:x2+y2=4相交于A(yíng),B兩點(diǎn),=+,若點(diǎn)M在圓C上,則實(shí)數(shù)k的值為(  ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析:選C 法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)y2-2ky-3=0,則Δ=4k2+12(k2+1)>0,y1+y2=,x1+x2=k(y1+y2)-2=-,因?yàn)椋剑?,故M,又點(diǎn)M在圓C上,故+=4,解得k=0. 法二:由直線(xiàn)與圓相交于A(yíng),B兩點(diǎn),=+,且點(diǎn)M在圓C上,得圓心C(0,0)到直線(xiàn)x-ky+1=0的距離為半徑的一半,為1,

23、即d==1,解得k=0. 二、填空題 7.已知直線(xiàn)l:x+my-3=0與圓C:x2+y2=4相切,則m=________. 解析:因?yàn)閳AC:x2+y2=4的圓心為(0,0),半徑為2,直線(xiàn)l:x+my-3=0與圓C:x2+y2=4相切,所以2=,解得m=± . 答案:± 8.過(guò)點(diǎn)C(3,4)作圓x2+y2=5的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B,則點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為_(kāi)_______. 解析:以O(shè)C為直徑的圓的方程為2+(y-2)2=2,AB為圓C與圓O:x2+y2=5的公共弦,所以AB的方程為x2+y2-=5-,化簡(jiǎn)得3x+4y-5=0,所以C到直線(xiàn)AB的距離d==4. 答案:4

24、9.(2018·貴陽(yáng)適應(yīng)性考試)已知直線(xiàn)l:ax-3y+12=0與圓M:x2+y2-4y=0相交于A(yíng),B兩點(diǎn),且∠AMB=,則實(shí)數(shù)a=________. 解析:直線(xiàn)l的方程可變形為y=ax+4,所以直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(0,4),且該點(diǎn)在圓M上.圓的方程可變形為x2+(y-2)2=4,所以圓心為M(0,2),半徑為2.如圖,因?yàn)椤螦MB=,所以△AMB是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2,高為,即圓心M到直線(xiàn)l的距離為,所以=,解得a=±. 答案:± 三、解答題 10.已知圓(x-1)2+y2=25,直線(xiàn)ax-y+5=0與圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B. (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)若弦AB的垂直平分

25、線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(-2,4),求實(shí)數(shù)a的值. 解:(1)把直線(xiàn)ax-y+5=0代入圓的方程, 消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0, 由于直線(xiàn)ax-y+5=0交圓于A(yíng),B兩點(diǎn), 故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0, 即12a2-5a>0,解得a>或a<0, 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0)∪. (2)由于直線(xiàn)l為弦AB的垂直平分線(xiàn),且直線(xiàn)AB的斜率為a, 則直線(xiàn)l的斜率為-, 所以直線(xiàn)l的方程為y=-(x+2)+4, 即x+ay+2-4a=0,由于l垂直平分弦AB, 故圓心M(1,0)必在l上,所以1+0+2-4a=0, 解得a=,由于∈, 所

26、以a=. 11.已知以點(diǎn)A(-1,2)為圓心的圓與直線(xiàn)l1:x+2y+7=0相切.過(guò)點(diǎn)B(-2,0)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓A相交于M,N兩點(diǎn). (1)求圓A的方程; (2)當(dāng)|MN|=2時(shí),求直線(xiàn)l的方程. 解:(1)設(shè)圓A的半徑為R. 因?yàn)閳AA與直線(xiàn)l1:x+2y+7=0相切, 所以R==2. 所以圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20. (2)當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí),易知x=-2符合題意; 當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí), 設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0. 由于|MN|=2,于是2+()2=20,解得k=, 此時(shí),直線(xiàn)l的方程為3x-4y+6=0. 所

27、以所求直線(xiàn)l的方程為x=-2或3x-4y+6=0. 12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)x-y+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為. (1)求圓O的方程; (2)若直線(xiàn)l與圓O相切于第一象限,且直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)D,E,當(dāng)線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度最小時(shí),求直線(xiàn)l的方程. 解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)O到直線(xiàn)x-y+1=0的距離為, 所以圓O的半徑為 =, 故圓O的方程為x2+y2=2. (2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為+=1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0, 由直線(xiàn)l與圓O相切,得=,即+=,則|DE|2=a2+b2=2(a2+b2)=4++≥8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào),此時(shí)直線(xiàn)l的方程為

28、x+y-2=0. B組——大題專(zhuān)攻補(bǔ)短練 1.已知點(diǎn)M(-1,0),N(1,0),曲線(xiàn)E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍. (1)求曲線(xiàn)E的方程; (2)已知m≠0,設(shè)直線(xiàn)l1:x-my-1=0交曲線(xiàn)E于A(yíng),C兩點(diǎn),直線(xiàn)l2:mx+y-m=0交曲線(xiàn)E于B,D兩點(diǎn).當(dāng)CD的斜率為-1時(shí),求直線(xiàn)CD的方程. 解:(1)設(shè)曲線(xiàn)E上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y), 由題意得 =·, 整理得x2+y2-4x+1=0,即(x-2)2+y2=3為所求. (2)由題意知l1⊥l2,且兩條直線(xiàn)均恒過(guò)點(diǎn)N(1,0). 設(shè)曲線(xiàn)E的圓心為E,則E(2,0),設(shè)線(xiàn)段CD的中點(diǎn)為P,連接EP,ED

29、,NP,則直線(xiàn)EP:y=x-2. 設(shè)直線(xiàn)CD:y=-x+t, 由解得點(diǎn)P, 由圓的幾何性質(zhì),知|NP|=|CD|= , 而|NP|2=2+2,|ED|2=3, |EP|2=2, 所以2+2=3-,整理得t2-3t=0, 解得t=0或t=3, 所以直線(xiàn)CD的方程為y=-x或y=-x+3. 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線(xiàn)l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上. (1)若圓心C也在直線(xiàn)y=x-1上,過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn),求切線(xiàn)的方程; (2)若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. 解:(1)因?yàn)閳A心在直線(xiàn)l:y=

30、2x-4上,也在直線(xiàn)y=x-1上, 所以解方程組得圓心C(3,2), 又因?yàn)閳A的半徑為1, 所以圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=1, 又因?yàn)辄c(diǎn)A(0,3),顯然過(guò)點(diǎn)A,圓C的切線(xiàn)的斜率存在, 設(shè)所求的切線(xiàn)方程為y=kx+3,即kx-y+3=0, 所以=1,解得k=0或k=-, 所以所求切線(xiàn)方程為y=3或y=-x+3, 即y-3=0或3x+4y-12=0. (2)因?yàn)閳AC的圓心在直線(xiàn)l:y=2x-4上, 所以設(shè)圓心C為(a,2a-4), 又因?yàn)閳AC的半徑為1, 則圓C的方程為(x-a)2+(y-2a+4)2=1. 設(shè)M(x,y),又因?yàn)閨MA|=2|MO|,則有

31、 =2, 整理得x2+(y+1)2=4,其表示圓心為(0,-1),半徑為2的圓,設(shè)為圓D, 所以點(diǎn)M既在圓C上,又在圓D上,即圓C與圓D有交點(diǎn), 所以2-1≤ ≤2+1, 解得0≤a≤, 所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為. 3.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)y=x2+mx-2與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),當(dāng)m變化時(shí),解答下列問(wèn)題: (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?說(shuō)明理由; (2)證明過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 解:(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況,理由如下: 設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2滿(mǎn)足x2+mx-2=0, 所以x1x

32、2=-2. 又C的坐標(biāo)為(0,1), 故AC的斜率與BC的斜率之積為·=-, 所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況. (2)證明:由(1)知BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為, 可得BC的中垂線(xiàn)方程為y-=x2. 由(1)可得x1+x2=-m, 所以AB的中垂線(xiàn)方程為x=-. 聯(lián)立可得 所以過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑r=. 故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2=3,即過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 4.(2018·廣州高中綜合測(cè)試)已知定點(diǎn)M(1,0)和N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PN|=|PM|. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程; (2)若A,B為(1)中軌跡C上兩個(gè)不同的點(diǎn),

33、O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)直線(xiàn)OA,OB,AB的斜率分別為k1,k2,k.當(dāng)k1k2=3時(shí),求k的取值范圍. 解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 因?yàn)镸(1,0),N(2,0),|PN|=|PM|, 所以 =·. 整理得,x2+y2=2. 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2+y2=2. (2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)AB的方程為y=kx+b. 由消去y,整理得(1+k2)x2+2bkx+b2-2=0.(*) 由Δ=(2bk)2-4(1+k2)(b2-2)>0,得b2<2+2k2.① 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-,x1x2=.② 由k1·k2=·=·=3, 得(kx1+b)(kx2+b)=3x1x2, 即(k2-3)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0.③ 將②代入③,整理得b2=3-k2.④ 由④得b2=3-k2≥0,解得-≤k≤.⑤ 由①和④,解得k<-或k>.⑥ 要使k1,k2,k有意義,則x1≠0,x2≠0, 所以0不是方程(*)的根, 所以b2-2≠0,即k≠1且k≠-1.⑦ 由⑤⑥⑦,得k的取值范圍為 [-,-1)∪∪∪(1, ].

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