【】2021中考數(shù)學(xué) 第28講 概率
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1、 第28講 概率 考點(diǎn)1 事件的分類 確定性事件 必然事件 在一定條件下,必然會(huì)發(fā)生的事件,稱為① . 不可能事件 在一定條件下,必然不會(huì)發(fā)生的事件,稱為② . 必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定性事件. 隨機(jī)事件 在一定條件下,③ 的事件,稱為隨機(jī)事件. 考點(diǎn)2 概率的意義與計(jì)算 概率的意義 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A,我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值,稱為隨機(jī)事件發(fā)生的④ . 概率的計(jì)算 一般地,如果在一次試驗(yàn)中,有n種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等,
2、事件A包含其中的m種結(jié)果,那么事件A發(fā)生的概率為:P(A)=⑤ . 求概率的常用方法 ①概率的定義;②列表法;③畫樹狀圖法;④用頻率估計(jì)概率(在大量重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的頻率為,我們可以估計(jì)事件A發(fā)生的概率為). 【易錯(cuò)提示】用頻率估計(jì)概率的條件必須是“大量重復(fù)試驗(yàn)”. 1.必然事件的概率是P(A)=1,不可能事件的概率是P(A)=0,隨機(jī)事件的概率0<P(A)<1. 2.用面積法求概率:當(dāng)隨機(jī)事件的概率大小與幾何圖形的面積有關(guān)時(shí),往往利用面積法求概率,計(jì)算公式為P(A)=. 3.當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及1個(gè)因素時(shí),通常采用枚舉法求事件的概率
3、;當(dāng)一次試驗(yàn)涉及2個(gè)因素時(shí),可用列表法或畫樹狀圖法求概率;當(dāng)一次試驗(yàn)涉及3個(gè)或3個(gè)以上的因素時(shí),必須用畫樹狀圖法求概率. 命題點(diǎn)1 事件的分類 例1 (2014·聊城)下列說法中不正確的是( ) A.拋擲一枚硬幣,硬幣落地時(shí)正面朝上是隨機(jī)事件 B.把4個(gè)球放入三個(gè)抽屜中,其中一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)球是必然事件 C.任意打開七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教科書,正好是97頁是確定事件 D.一只盒子中有白球m個(gè),紅球6個(gè),黑球n個(gè)(每個(gè)球除了顏色外都相同).如果從中任取一個(gè)球,取得的是紅球的概率與不是紅球的概率相同,那么m與n的和是6 方法歸納:事件分為確定事件和不確定
4、事件,確定事件分為必然事件和不可能事件.本題的易錯(cuò)點(diǎn)在把確定事件當(dāng)作必然事件,從而錯(cuò)選A. 1.(2014·聊城模擬)下列事件:①在足球賽中,弱隊(duì)?wèi)?zhàn)勝強(qiáng)隊(duì);②拋擲一枚硬幣,落地后正面朝上;③任取兩個(gè)正整數(shù),其和大于1;④長(zhǎng)分別為3、5、9厘米的三條線段能圍成一個(gè)三角形.其中確定事件的個(gè)數(shù)是( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 2.(2013·衡陽)“a是實(shí)數(shù),|a|≥0”這一事件是( ) A.必然事件 B.不確定事件
5、 C.不可能事件 D.隨機(jī)事件 3.(2013·武漢)袋子中裝有4個(gè)黑球和2個(gè)白球,這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同,在看不到球的條件下,隨機(jī)地從袋子中摸出三個(gè)球,下列事件是必然事件的是( ) A.摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)球是黑球 B.摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)球是白球 C.摸出的三個(gè)球中至少有兩個(gè)球是黑球 D.摸出的三個(gè)球中至少有兩個(gè)球是白球 4.(2014·孝感)下列事件:①隨意翻到一本書的某頁,這頁的頁碼是奇數(shù);②測(cè)得某天的最高氣溫是100 ℃;③擲一次骰子,向上一面的數(shù)字是2;④度量四邊形的內(nèi)角和,結(jié)果是360°.其中是隨
6、機(jī)事件的是 .(填序號(hào)) 5.(2013·沁陽模擬)寫出一個(gè)所描述的事件是不可能事件的成語 . 命題點(diǎn)2 概率的意義 例2 (2014·臺(tái)州)某品牌電插座抽樣檢查的合格率為99%,則下列說法中正確的是( ) A.購買100個(gè)該品牌的電插座,一定有99個(gè)合格 B.購買1 000個(gè)該品牌的電插座,一定有10不個(gè)合格 C.購買20個(gè)該品牌的電插座,一定都合格 D.即使購買1個(gè)該品牌的電插座,也可能不合格 方法歸納:概率反映了一事件出現(xiàn)的機(jī)會(huì)的大小,在分析某個(gè)事件發(fā)生的概率時(shí),關(guān)鍵要弄清:(1)此事件活
7、動(dòng)中可能出現(xiàn)哪些結(jié)果;(2)理解概率時(shí)要注意:概率只表示事件發(fā)生的可能性的大小,不能說明某種肯定的結(jié)果. 1.(2014·淄博模擬)某籃球運(yùn)動(dòng)員的罰球投籃的命中率大約是83.3%.下列說法錯(cuò)誤的是( ) A.該運(yùn)動(dòng)員罰球投籃2次,一定全部命中 B.該運(yùn)動(dòng)員罰球投籃2次,不一定全部命中 C.該運(yùn)動(dòng)員罰球投籃1次,命中的可能性較大 D.該運(yùn)動(dòng)員罰球投籃1次,不命中的可能性較小 2.(2014·德州)下列命題中,真命題是( ) A.若a>b,則c-a<c-b B.某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%,買100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng) C.點(diǎn)M(x1,
8、y1),點(diǎn)N(x2,y2)都在反比例函數(shù)y=的圖象上,若x1>x2,則y1<y2 D.甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員分別射擊10次,他們射擊成績(jī)的方差分別為s2甲=4,s2乙=9,這一過程中乙發(fā)揮比甲更穩(wěn)定 3.(2013·泰州)事件A:打開電視,它正在播廣告;事件B:拋擲一個(gè)均勻的骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)小于7;事件C:在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,溫度低于0 ℃時(shí)冰融化.3個(gè)事件的概率分別記為P(A)、P(B)、P(C),則P(A)、P(B)、P(C)的大小關(guān)系正確的是( ) A.P(C)<P(A)=P(B) B.P(C)<P(A)<P(B) C.P(C)<P(B)<P
9、(A) D.P(A)<P(B)<P(C) 命題點(diǎn)3 概率的計(jì)算 例3 (2014·成都)第十五屆中國“西博會(huì)”將于2014年10月底在成都召開,現(xiàn)有20名志愿者準(zhǔn)備參加某分會(huì)場(chǎng)的工作,其中男生8人,女生12人. (1)若從這20人中隨機(jī)選取一人作為聯(lián)絡(luò)員,求選到女生的概率; (2)若該分會(huì)場(chǎng)的某項(xiàng)工作只在甲、乙兩人中選一人,他們準(zhǔn)備以游戲的方式?jīng)Q定由誰參加,游戲規(guī)則如下:將四張牌面數(shù)字分別為2、3、4、5的撲克牌洗勻后,數(shù)字朝下放于桌面,從中任取2張,若牌面數(shù)字之和為偶數(shù),則甲參加,否則乙參加.試問這個(gè)游戲公平嗎?并說明理由. 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)概率的
10、意義即可求得; (2)先用枚舉法、列表法或樹狀圖法確定出兩次摸牌所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù),以及和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù),從而求出甲、乙概率的大小,做出判斷. 【解答】 方法歸納:如果可能出現(xiàn)的結(jié)果較少,用枚舉法簡(jiǎn)單;如果二次性操作且結(jié)果的可能性較多時(shí),列表法和畫樹狀圖法可以不重不漏列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.本題注意是二次無放回抽取,關(guān)鍵字“任取2張”,注意和有放回抽取的區(qū)別. 1.(2014·金華)一個(gè)布袋里裝有5個(gè)球,其中3個(gè)紅球、2個(gè)白球,每個(gè)球除顏色外其他完全相同,從中任意摸出一個(gè)球,是紅球的概率是( ) A. B.
11、 C. D. 2.(2014·蘇州)如圖,一個(gè)圓形轉(zhuǎn)盤被分成6個(gè)圓心角都為60°的扇形,任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤1次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),指針指向陰影區(qū)域的概率是( ) A. B. C. D. 3.(2014·杭州)讓圖中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),兩個(gè)指針分別落在某兩個(gè)數(shù)所表示的區(qū)域,則這兩個(gè)數(shù)的和是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的概率等于( ) A. B. C
12、. D. 4.(2014·日照)小英同時(shí)擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的小立方體(立方體的每個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6).記甲立方體朝上一面上的數(shù)字為x、乙立方體朝上一面上的數(shù)字為y,這樣就確定點(diǎn)P的一個(gè)坐標(biāo)(x,y),那么點(diǎn)P落在雙曲線y=上的概率為( ) A. B. C. D. 5.(2014·濱州)在一個(gè)口袋中有四個(gè)完全相同的小球,把它們分別標(biāo)號(hào)為1,2,3,4.小明和小強(qiáng)采取了不同的摸取方法,分別是: 小明:隨機(jī)摸取一個(gè)小球記
13、下標(biāo)號(hào),然后放回,再隨機(jī)地摸取一個(gè)小球,記下標(biāo)號(hào); 小強(qiáng):隨機(jī)摸取一個(gè)小球記下標(biāo)號(hào),不放回,再隨機(jī)地摸取一個(gè)小球,記下標(biāo)號(hào); (1)用畫樹狀圖(或列表法)分別表示小明和小強(qiáng)摸球的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果; (2)分別求出小明和小強(qiáng)兩次摸球的標(biāo)號(hào)之和等于5的概率. 1.(2013·遂寧)以下問題,不適合用全面調(diào)查的是( ) A.了解全班同學(xué)每周體育鍛煉的時(shí)間 B.旅客上飛機(jī)前的安檢 C.學(xué)校招聘教師,對(duì)應(yīng)聘人員面試 D.了解全市中小學(xué)生每天的零花錢 2.(2014·益陽)小玲在一次班會(huì)中參與知識(shí)搶答活動(dòng),現(xiàn)有語文題6個(gè),數(shù)學(xué)題5個(gè),綜合
14、題9個(gè),她從中隨機(jī)抽取1個(gè),抽中數(shù)學(xué)題的概率是( ) A. B. C. D. 3.(2014·東營(yíng))小明把如圖所示的平行四邊形紙板掛在墻上,玩飛鏢游戲(每次飛鏢均落在紙板上,且落在紙板的任何一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)都相等),則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是( ) A. B. C. D. 4.(2013·青島)一個(gè)不透明的口袋裝有除顏色外都相同的五個(gè)白球和若干個(gè)
15、紅球,在不允許將球倒出來數(shù)的情況下,小亮為了估計(jì)其中的紅球數(shù),采用如下方法:先將口袋中的球搖勻,再從口袋里隨機(jī)摸出一球,記下顏色,然后把它放回口袋中,不斷重復(fù)上述過程.小亮共摸了100次,其中有10次摸到白球.因此小亮估計(jì)口袋中的紅球大約有( ) A.45個(gè) B.48個(gè) C.50個(gè) D.55個(gè) 5.(2014·泰安)在一個(gè)口袋中有4個(gè)完全相同的小球,它們的標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4,從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下其標(biāo)號(hào)后放回,再從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,則兩次摸出的小球的標(biāo)號(hào)之和大于4的概率是( ) A.
16、 B. C. D. 6.(2014·泰州)任意拋擲一枚均勻的骰子一次,朝上的點(diǎn)數(shù)大于4的概率等于 . 7.(2014·長(zhǎng)沙)100件外觀相同的產(chǎn)品中有5件不合格,現(xiàn)從中任意抽取1件進(jìn)行檢測(cè),抽到不合格產(chǎn)品的概率是 . 8.(2013·大連)某林業(yè)部門統(tǒng)計(jì)某種幼樹在一定條件下的移植成活率,結(jié)果如下表所示: 移植總數(shù)(n) 400 750 1 500 3 500 7 000 9 000 14 000 成活數(shù)(m) 369 662 1 335 3 203 6 335
17、 8 073 12 628 成活的頻率mn 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計(jì)這種幼樹移植成活率的概率為 (精確到0.1). 9.(2014·內(nèi)江)有6張背面完全相同的卡片,每張正面分別畫有三角形、平行四邊形、矩形、正方形、梯形和圓,現(xiàn)將其全部正面朝下攪勻從中任取一張卡片,抽中正面畫的圖形是中心對(duì)稱圖形的概率為 . 10.(2014·臺(tái)州)抽屜里放著黑白兩種顏色的襪子各1雙(除顏色外其余都相同),在看不見的情況下隨機(jī)摸出兩只襪子,他們恰好同色的概率是
18、 . 11.(2014·涼山)涼山州某學(xué)校積極開展“服務(wù)社會(huì),提升自我”的志愿者服務(wù)活動(dòng),來自九年級(jí)的5名同學(xué)(三男兩女)成立了“交通秩序維護(hù)”小分隊(duì),若從該小分隊(duì)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交通秩序維護(hù),則恰是一男一女的概率是. 12.(2014·溫州)一個(gè)不透明的袋中裝有20個(gè)只有顏色不同的球,其中5個(gè)黃球,8個(gè)黑球,7個(gè)紅球. (1)求從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率; (2)現(xiàn)從袋中取出若干個(gè)黑球,攪勻后,使從袋中摸出一個(gè)球是黑球的概率是.求從袋中取出黑球的個(gè)數(shù). 13.(2014·徐州)某學(xué)習(xí)小組由3名男生和1名女生組成,在一次合作學(xué)習(xí)后,開始進(jìn)行成果展示.
19、 (1)如果隨機(jī)抽取1名同學(xué)單獨(dú)展示,那么女生展示的概率為 ; (2)如果隨機(jī)抽取2名同學(xué)共同展示,求同為男生的概率. 14.(2014·淄博)節(jié)能燈根據(jù)使用壽命分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級(jí),其中使用壽命大于或等于8 000小時(shí)的節(jié)能燈是優(yōu)等品,使用壽命小于6 000小時(shí)的節(jié)能燈是次品,其余的節(jié)能燈是正品,質(zhì)監(jiān)部門對(duì)某批次的一種節(jié)能燈(共200個(gè))的使用壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查,并將結(jié)果整理成下表. 壽命(小時(shí)) 頻數(shù) 頻率 4 000≤t<5 000 10 0.05 5 000≤t<6 000 20 a 6 000≤t<7 000
20、 80 0.40 7 000≤t<8 000 b 0.15 8 000≤t<9 000 60 c 合計(jì) 200 1 (1)根據(jù)分布表中的數(shù)據(jù),在答題卡上寫出a,b,c的值; (2)某人從這200個(gè)節(jié)能燈中隨機(jī)購買1個(gè),求這種節(jié)能燈恰好不是次品的概率. 15.(2014·云南)某市“藝術(shù)節(jié)”期間,小明、小亮都想去觀看茶藝表演,但是只有一張茶藝表演門票,他們決定采用抽卡片的辦法確定誰去,規(guī)定如下:將正面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的四張卡片(除數(shù)字外其余都相同)洗勻后,背面朝上放置在桌面上,隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字后放回,重新洗勻后背面朝上放置在桌面上
21、,再隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字,若兩個(gè)數(shù)字的和為奇數(shù),則小明去;若兩個(gè)數(shù)字的和為偶數(shù),則小亮去. (1)請(qǐng)用列表或畫樹形圖(樹狀圖)的方法表示抽出的兩張卡片上的數(shù)字和的所用可能出現(xiàn)的結(jié)果; (2)你認(rèn)為這個(gè)規(guī)則公平嗎?請(qǐng)說明理由. 16.(2014·寧波)如圖,在2×2的正方形網(wǎng)格中有9個(gè)格點(diǎn),已經(jīng)取定點(diǎn)A和B,在余下的7個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)C,使△ABC為直角三角形的概率是( ) A. B. C. D. 17.(2014·黃石)一般地,如果在一次實(shí)驗(yàn)中,結(jié)果落在區(qū)域D中每一個(gè)點(diǎn)
22、都是等可能的,用A表示“實(shí)驗(yàn)結(jié)果落在D中的某個(gè)小區(qū)域M中”這個(gè)事件,那么事件A發(fā)生的概率P(A)=.如圖,現(xiàn)在等邊△ABC內(nèi)射入一個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)落在△ABC內(nèi)切圓中的概率是 . 18.(2014·巴中)在四邊形ABCD中,①AB∥CD,②AD∥BC,③AB=CD,④AD=BC,在這四個(gè)條件中任選兩個(gè)作為已知條件,能判定四邊形ABCD是平行四邊形的概率是 . 19.(原創(chuàng))如圖所示,電路圖上有四個(gè)開關(guān)A,B,C,D和一個(gè)小燈泡,閉合開關(guān)D或同時(shí)閉合開關(guān)A,B,C都可以使小燈泡發(fā)光. (1)任意閉合其中一個(gè)開關(guān),則小燈泡發(fā)光的概率等于
23、 ; (2)任意閉合其中兩個(gè)開關(guān),請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求出小燈泡發(fā)光的概率. 20.(2014·安徽)如圖,管中放置同樣的繩子AA1、BB1、CC1. (1)小明從這三根繩子中隨機(jī)選一根,恰好選中繩子AA1的概率是多少? (2)小明先從左端A、B、C三個(gè)繩頭中隨機(jī)選兩個(gè)打一個(gè)結(jié),再從右端A1、B1、C1三個(gè)繩頭中隨機(jī)選兩個(gè)打一個(gè)結(jié),求這三根繩子能連接成一根長(zhǎng)繩子的概率. 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①必然事件 ②不可能事件 ③可能發(fā)生也可能不發(fā)生 ④概率 ⑤ 各個(gè)擊破 例1 C 題組訓(xùn)練 1.B 2.A 3.
24、A 4.①③ 5.答案不唯一:拔苗助長(zhǎng)等 例2 D 題組訓(xùn)練 1.A 2.A 3.B 例3 (1)20人中有12人是女生, ∴P(女生)==. (2)解法一(枚舉法):任取2張,所有可能的結(jié)果23,24,25,34,35,45,共6種, 其中和為偶數(shù)的結(jié)果有:“24”和“35”2種, ∴P(甲參加)==,P(乙參加)=, ∴游戲不公平. 解法二(列表法):列表如下: 2 3 4 5 2 (3,2) (4,2) (5,2) 3 (2,3) (4,3) (5,3) 4 (2,4) (3,4) (5,4) 5 (2,5
25、)
(3,5)
(4,5)
∴P(甲參加)==,P(乙參加)=,
∴游戲不公平.
解法三(樹狀圖法):畫樹狀圖如下:
∴P(甲參加)==,P(乙參加)=,
∴游戲不公平.
題組訓(xùn)練 1.D 2.D 3.C 4.C
5.(1)畫樹狀圖如下:
(2)P(小明兩次摸球的標(biāo)號(hào)之和等于5)==.
P(小強(qiáng)兩次摸球的標(biāo)號(hào)之和等于5)==.
整合集訓(xùn)
1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6. 7. 8.0.9 9. 10. 11.
12.(1)20個(gè)球里面有5個(gè)黃球,故P1===.
(2)設(shè)從袋中取出x(0 26、黑球,則
∴=,解得x=2.
經(jīng)檢驗(yàn),x=2是方程的解,且符合題意.
答:從袋中取出黑球的個(gè)數(shù)為2個(gè).
13.(1).
(2)畫樹狀圖如下:
∴所有可能的結(jié)果共有12種,兩人都是男生的結(jié)果有6種.
∴P(兩男)==.
14.(1)a=0.1,b=30,c=0.3;
(2)這批節(jié)能燈中,優(yōu)等品有60個(gè),正品有110個(gè),次品有30個(gè),此人購買的1個(gè)節(jié)能燈恰好不是次品的概率為:P==0.85.
15.(1)
由樹狀圖可知共出現(xiàn)了16種等可能的結(jié)果.
(2)出現(xiàn)的奇數(shù)有8個(gè),則
P(和為奇數(shù))==;
P(和為偶數(shù))==.
∵P(和為奇數(shù))=P(和為偶數(shù)),
∴游 27、戲公平.
16.D 17.π 18.
19.(1).
(2)畫樹狀圖如圖:
由電路圖知,只要接通D,小燈泡就能發(fā)光,
∴P(小燈泡發(fā)光)==.
20.(1)小明可選擇的情況有三種,每種發(fā)生的可能性相等,恰好選中繩子AA1的情況為一種,所以小明恰好選中繩子AA1的概率為.
(2)依題意,分別在兩端隨機(jī)任選兩頭打結(jié),總共有三類9種情況,列表如下,每種發(fā)生的可能性相等.
A1B1
B1C1
A1C1
AB
AB、A1B1
AB、B1C1
AB、A1C1
BC
BC、A1B1
BC、B1C1
BC、A1C1
AC
AC、A1B1
AC、B1C1
AC、A1C1
其中左、右打結(jié)是相同字母(不考慮下標(biāo))的情況,不可能連接成為一根長(zhǎng)繩.
∴能連接成為一根長(zhǎng)繩的情況有6種,
∴三根繩子連接成為一根長(zhǎng)繩的概率為P==.
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