2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（天津卷含答案）(1)

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（天津卷） 本試卷分為第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至2頁，第II卷3至5頁。 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！ 第I卷 注意事項： 1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。 2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。 參考公式：

2、 如果事件A，B互斥，那么 . 如果事件A，B相互獨立，那么 . 棱柱的體積公式，其中表示棱柱的底面面積，表示棱柱的高. 棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高. 一. 選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. (1)設(shè)全集為R，集合，，則 (A) (B) (C) (D) (2)設(shè)變量x，y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 (A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3)閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入N的值

3、為20，則輸出T的值為 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (4)設(shè)，則“”是“”的 (A)充分而不必要條件 (B)必要而不重復(fù)條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 (5)已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為 (A) (B) (C) (D) (6)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù) (A)在區(qū)間上單調(diào)遞增 (B)在區(qū)間上單調(diào)遞減 (C)在區(qū)間上單調(diào)遞增 (D)在區(qū)間上單調(diào)遞減 (7)已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點. 設(shè)A，

4、B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 (A) (B) (C) (D) (8)如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，. 若點E為邊CD上的動點，則的最小值為 (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷 注意事項： 1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。 2. 本卷共12小題，共110分。 二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。 (9) i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) . (10) 在的展開式中，的系數(shù)為 . (11) 已知正方體的棱長為1

5、，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為 . (12)已知圓的圓心為C，直線(為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點，則的面積為 . (13)已知，且，則的最小值為 . (14)已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個互異的實數(shù)解，則的取值范圍是 . 三.解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. （15）（本小題滿分13分） 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知. （I）求角B的大??； （II）設(shè)a=2

6、，c=3，求b和的值. (16)(本小題滿分13分) 已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16. 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查. （I）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望； （ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率. (17)(本小題滿分13分) 如圖，且AD=2BC

7、，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2. （I）若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：； （II）求二面角的正弦值； （III）若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長. (18)(本小題滿分13分) 設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為，是等差數(shù)列. 已知，，，. （I）求和的通項公式； （II）設(shè)數(shù)列的前n項和為， （i）求； （ii）證明. (19)(本小題滿分14分) 設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標(biāo)為，且. （I

8、）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若(O為原點) ，求k的值. (20)(本小題滿分14分) 已知函數(shù)，，其中a>1. （I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （II）若曲線在點處的切線與曲線在點 處的切線平行，證明； （III）證明當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線. 參考答案： 一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，滿分40分． （1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A 二、填空題：本題考查基本知

9、識和基本運算．每小題5分，滿分30分． （9）4–i （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答題 （15）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．滿分13分． （Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得B=． （Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=． 由，可得．因為a

10、率加法公式等基礎(chǔ)知識．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．滿分13分． （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）解：隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3． P（X=k）=（k=0，1，2，3）． 所以，隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數(shù)學(xué)期望． （ii）解：設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員

11、工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=． 所以，事件A發(fā)生的概率為． （17）本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識．考查用空間向量解決立體幾何問題的方法．考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力．滿分13分． 依題意，可以建立以D為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，

12、，1），N（1，0，2）． （Ⅰ）證明：依題意=（0，2，0），=（2，0，2）．設(shè)n0=(x，y，z)為平面CDE的法向量，則 即 不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因為直線MN平面CDE，所以MN∥平面CDE． （Ⅱ）解：依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）． 設(shè)n=（x，y，z）為平面BCE的法向量，則 即 不妨令z=1，可得n=（0，1，1）． 設(shè)m=（x，y，z）為平面BCF的法向量，則 即 不妨令z=1，可得m=（0，2，1）． 因此有cos=，于是sin=． 所以，二面角E–BC–F的正弦值為

13、． （Ⅲ）解：設(shè)線段DP的長為h（h∈［0，2］），則點P的坐標(biāo)為（0，0，h），可得． 易知，=（0，2，0）為平面ADGE的一個法向量，故 ， 由題意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］． 所以線段的長為. （18）本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式等基礎(chǔ)知識.考查等差數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力.滿分13分. （I）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由可得. 因為，可得，故. 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得由， 可得 從而 故 所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）證明：因為

14、 ， 所以，. （19）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力．滿分14分． （Ⅰ）解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，從而a=3，b=2． 所以，橢圓的方程為． （Ⅱ）解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x1，y1），點Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因為，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2． 由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組 消去x，可得．由5y1=9y2，可

15、得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或． 所以，k的值為 （20）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運用導(dǎo)數(shù)研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查函數(shù)與方程思想、化歸思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分. （I）解：由已知，，有. 令，解得x=0. 由a>1，可知當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表： x 0 0 + 極小值 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為. （II）證明：由，可得曲線在點處的切線斜率為. 由，可得曲線在點處的切線斜率為. 因為這兩條切線平行，故有，即. 兩邊取以

16、a為底的對數(shù)，得，所以. （III）證明：曲線在點處的切線l1：. 曲線在點處的切線l2：. 要證明當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當(dāng)時，存在，，使得l1和l2重合. 即只需證明當(dāng)時，方程組有解， 由①得，代入②，得. ③ 因此，只需證明當(dāng)時，關(guān)于x1的方程③有實數(shù)解. 設(shè)函數(shù)，即要證明當(dāng)時，函數(shù)存在零點. ，可知時，；時，單調(diào)遞減，又 ，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即 . 由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 在處取得極大值. 因為，故， 所以. 下面證明存在實數(shù)t，使得. 由（I）可得， 當(dāng)時， 有， 所以存在實數(shù)t，使得 因此，當(dāng)時，存在，使得. 所以，當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.