【】高中數(shù)學(xué) 2-2-3第3課時(shí) 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系同步檢測(cè) 新人教版選修2-1

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1、2.2第3課時(shí) 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系 一、選擇題 1.點(diǎn)P為橢圓+=1上一點(diǎn),以點(diǎn)P以及焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的面積為1,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(  ) A.(±,1)     B.(,±1) C.(,1) D.(±,±1) [答案] D [解析] 設(shè)P(x0,y0),∵a2=5,b2=4,∴c=1, ∴S△PF1F2=|F1F2|·|y0|=|y0|=1,∴y0=±1, ∵+=1, ∴x0=±.故選D. 2.已知m、n、m+n成等差數(shù)列,m、n、mn成等比數(shù)列,則橢圓+=1的離心率為(  ) A.    B.    C.    D. [答案] C

2、 [解析] 由已知得:, 解得,∴e==,故選C. 3.在△ABC中,BC=24,AB+AC=26,則△ABC面積的最大值為(  ) A.24 B.65 C.60 D.30 [答案] C [解析] ∵AB+AC>BC,∴A點(diǎn)在以BC為焦點(diǎn)的橢圓上,因此當(dāng)A為短軸端點(diǎn)時(shí),△ABC面積取最大值Smax=BC×5=60,∴選C. 4.已知P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn),若·=0,tan∠PF1F2=,則橢圓的離心率為(  ) A.    B.    C.    D. [答案] D [解析] 由·=0知∠F1PF2為直角, 設(shè)|PF1|=x,由

3、tan∠PF1F2=知,|PF2|=2x, ∴a=x,由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2得c=x, ∴e==. 5.如圖F1、F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),A和B是以O(shè)為圓心,以|OF1|為半徑的圓與該左半橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),且△F2AB是等邊三角形,則橢圓的離心率為(  ) A.    B.    C.    D.-1 [答案] D [解析] 連結(jié)AF1,由圓的性質(zhì)知,∠F1AF2=90°, 又∵△F2AB是等邊三角形, ∴∠AF2F1=30°, ∴AF1=c,AF2=c, ∴e====-1.故選D. 6.過(guò)橢圓+=1的焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短

4、弦的長(zhǎng)分別為(  ) A.8,6 B.4,3 C.2, D.4,2 [答案] B [解析] 橢圓過(guò)焦點(diǎn)的弦中最長(zhǎng)的是長(zhǎng)軸,最短的為垂直于長(zhǎng)軸的弦(通徑)是. ∴最長(zhǎng)的弦為2a=4,最短的弦為=2·=3 故選B. 7.(09·江西理)過(guò)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P,F(xiàn)2為右焦點(diǎn),若∠F1PF2=60°,則橢圓的離心率為(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 把x=-c代入橢圓方程可得yc=±, ∴|PF1|=,∴|PF2|=, 故|PF1|+|PF2|==2a,即3b2=2a2 又∵a2=b

5、2+c2, ∴3(a2-c2)=2a2, ∴()2=,即e=. 8.已知點(diǎn)P是橢圓+=1在第三象限內(nèi)一點(diǎn),且它與兩焦點(diǎn)連線(xiàn)互相垂直.若點(diǎn)P到直線(xiàn)4x-3y-2m+1=0的距離不大于3,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  ) A.[-7,8] B.[-,] C.[-2,2] D.(-∞,-7]∪[8,+∞) [答案] A [解析] 橢圓+=1的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),設(shè)橢圓上點(diǎn)P(x,y)(x<0,y<0),由題意得 解得P(-3,-4) 由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得 ≤3, 解得-7≤m≤8,故選A. 9.設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的離心率為

6、e=,右焦點(diǎn)為F(c,0),方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2,則點(diǎn)P(x1,x2)(  ) A.必在圓x2+y2=2上 B.必在圓x2+y2=2外 C.必在圓x2+y2=2內(nèi) D.以上三種情形都有可能 [答案] C [解析] e=?=?c=, =?= ?=?b=a ∴ax2+bx-c=0?ax2+ax-=0 ?x2+x-=0,x1+x2=-,x1x2=- ∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=+1=<2 ∴在圓x2+y2=2內(nèi),故選C. 10.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿(mǎn)足·=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是(  ) A.(0

7、,1) B.(0,] C.(0,) D.[,1) [答案] C [解析] 依題意得,cb>0)的焦距為2c.以點(diǎn)O為圓心,a為半徑作圓M.若過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線(xiàn)互相垂直,則該橢圓的離心率為_(kāi)_______. [答案]  [解析] 設(shè)切點(diǎn)為Q、B,如圖所示.切線(xiàn)QP、PB互相垂直,又半徑OQ垂直于QP,所以△OPQ為等腰直角三角形,可得 a=,∴e==. 12.若過(guò)橢圓+=1內(nèi)一點(diǎn)(2

8、,1)的弦被該點(diǎn)平分,則該弦所在直線(xiàn)的方程是______________. [答案] x+2y-4=0 [解析] 設(shè)弦兩端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,+=1,兩式相減并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,=-, ∴所求直線(xiàn)方程為y-1=-(x-2), 即x+2y-4=0. 13.設(shè)F1、F2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的左右兩個(gè)焦點(diǎn),若橢圓C上的點(diǎn)A(1,)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為4,則橢圓C的方程是________,焦點(diǎn)坐標(biāo)是________. [答案] +=1;(±1,0) [解析] 由|AF1|+|AF2|=2a=4得a=2 ∴原方程化為

9、:+=1, 將A(1,)代入方程得b2=3 ∴橢圓方程為:+=1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0) 14.如圖所示,某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道,車(chē)道總寬22米,要求通行車(chē)輛限高4.5米,隧道全長(zhǎng)2.5千米,隧道的拱線(xiàn)近似地看成半個(gè)橢圓形狀. 若最大拱高h(yuǎn)為6米,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l約為_(kāi)_______.(精確到0.1米) [答案] 33.3米 [解析] 如圖所示,建立直角坐標(biāo)系, 則點(diǎn)P(11,4.5), 橢圓方程為+=1. 將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程,得a=, 此時(shí)l=2a=≈33.3 因此隧道的拱寬約為33.3米. 三、解答題 15.(2020·北京文,19)已知

10、橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-,0),(,0),離心率是,直經(jīng)y=t與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N,以線(xiàn)段MN為直徑作圓P,圓心為P. (1)求橢圓C的方程; (2)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標(biāo). [分析] 本題考查了圓和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及放縮法和三角換元在求最值中的應(yīng)用. [解析] (1)∵=且c=,∴a=,b=1. ∴橢圓c的方程為+y2=1. (2)由題意知點(diǎn)P(0,t)(-1

11、AB的中點(diǎn),直線(xiàn)OM的斜率為,且OA⊥OB,求橢圓的方程. [分析] 由于不知道橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上,可設(shè)方程為ax2+by2=1(a>0,b>0,a≠b)欲求橢圓方程,需求a、b,為此需要得到關(guān)于a、b的兩個(gè)方程,由OM的斜率為,OA⊥OB易得a、b的兩個(gè)方程. [解析] 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), M(,).由 ∴(a+b)x2-2bx+b-1=0. ∴=,=1-=. ∴M(,),∵kOM=,∴b=a.① ∵OA⊥OB,∴·=-1,∴x1x2+y1y2=0. ∵x1x2=, y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2 =1-+=.

12、∴+=0,∴a+b=2.② 由①②得a=2(-1),b=2(2-). ∴所求方程為2(-1)x2+2(2-)y2=1. [點(diǎn)評(píng)] 直線(xiàn)與橢圓相交的問(wèn)題,通常采取設(shè)而不求,即設(shè)出A(x1,y1),B(x2,y2),但不是真的求出x1、y1、x2、y2,而是借助于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題. 由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解決本題的關(guān)鍵. 17.A、B是兩定點(diǎn),且|AB|=2,動(dòng)點(diǎn)M到A的距離為4,線(xiàn)段MB的垂直平分線(xiàn)l交MA于P. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程; (2)若點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積為m,當(dāng)m取最大值時(shí),求P的坐標(biāo). [解析] (1)以直線(xiàn)AB為x軸,AB

13、的垂直平分線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0). ∵l為MB的垂直平分線(xiàn), ∴|PM|=|PB|, ∴|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=4, ∴點(diǎn)P的軌跡是以A,B為兩個(gè)焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,其方程為+=1. (2)∵m=|PA|·|PB|≤()2=4, ∴當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|時(shí),m最大,這時(shí)P的坐標(biāo)(0,)或(0,-). 18.已知A(4,0)、B(2,2)是橢圓+=1內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn),M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求|MA|+|MB|的最大值和最小值. [解析] 如下圖所示,由+=1,得a=5,b=3,c=4. 所以點(diǎn)A(4,0)為橢圓一個(gè)焦點(diǎn),記另一個(gè)焦點(diǎn)為F(-4,0). 又因?yàn)閨MA|+|MF|=2a=10, 所以|MA|+|MB|=10-|MF|+|MB|, 又|BF|=2, 所以-2=-|FB|≤|MB|-|MF|≤|FB|=2. 所以10-2≤|MA|+|MB|≤10+2. 當(dāng)F、B、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立.所以|MA|+|MB|的最大值為10+2,最小值為10-2. [點(diǎn)評(píng)] 本題應(yīng)用三角形中兩邊之差小于第三邊,兩邊之和大于第三邊的思想,并結(jié)合橢圓定義求解.

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