部審人教版九年級數(shù)學下冊教案27.2.1 第4課時 兩角分別相等的兩個三角形相似

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27.2.1 相似三角形的判定 第4課時 兩角分別相等的兩個三角形相似 1．理解“兩角分別相等的兩個三角形相似”的含義，能分清條件和結論，并能用文字、圖形和符號語言表示；(重點) 2．會運用“兩角分別相等的兩個三角形相似”判定兩個三角形相似，并解決簡單的問題．(難點) 一、情境導入 與同伴合作，一人畫△ABC，另一人畫△A′B′C′，使得∠A和∠A ′都等于給定的∠α，∠B和∠B′都等于給定的∠β，比較你們畫的兩個三角形，∠C與∠C′相等嗎？對應邊的比，，相等嗎？這樣的兩個三角形相似嗎？和同學們交流． 二、合作探究 探究點：兩角分別相等的兩個三角形相似 【類型一】 利用判定定理證明兩個三角形相似 如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AB邊上一點，且∠ADE＝60. (1)求證：△ABD∽△DCE； (2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的邊長． 解析：(1)由題有∠B＝∠C＝60，利用三角形外角的知識得出∠BAD＝∠CDE，即可證明△ABD∽△DCE；(2)根據(jù)△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的邊長． (1)證明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60，∴△ABD∽△DCE； (2)解：設AB＝x，則DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴x＝9.即等邊△ABC的邊長為9. 方法總結：本題主要是利用“兩角分別相等的兩個三角形相似”，解答此題的關鍵是利用三角形的外角的知識得出角相等． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練” 第5題 【類型二】 添加條件證明三角形相似 如圖，在△ABC中，D為AB邊上的一點，要使△ABC∽△AED成立，還需要添加一個條件為____________． 解析：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加條件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝可以得出△ABC∽△AED.故答案為∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝. 方法總結：熟練掌握相似三角形的各種判定方法是解題關鍵． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練” 第3題 【類型三】 相似三角形與圓的綜合應用 如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CD⊥AB于點D，交AE于點G，弦CE交AB于點F，求證：AC2＝AGAE. 解析：延長CG，交⊙O于點M，連接AM，根據(jù)圓周角定理，可證明∠ACG＝∠E，根據(jù)相似三角形的判定定理，可證明△CAG∽△EAC，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，可得出結論． 證明：延長CG，交⊙O于點M，連接AM，∵AB⊥CM，∴＝，∴∠ACG＝∠E，又∵∠CAG＝∠EAC，∴△CAG∽△EAC，∴＝，∴AC2＝AGAE. 方法總結：相似三角形與圓的知識綜合時，往往要用到圓的一些性質(zhì)尋找角的等量關系證明三角形相似． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第3題 【類型四】 相似三角形與四邊形知識的綜合 如圖，在?ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點，且∠BFE＝∠C.若AB＝8，BE＝6，AD＝7，求BF的長． 解析：可通過證明∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠D，證得△ABF∽△EAD，可得出關于AB，AE，AD，BF的比例關系．已知AD，AB的長，只需求出AE的長即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的長，進而求出BF的長． 解：在平行四邊形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.∵∠AFB＋∠BFE＝180，∠D＋∠C＝180，∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.∵BE⊥CD，AB∥CD，∴BE⊥AB，∴∠ABE＝90，∴AE＝＝＝10.∵△ABF∽△EAD，∴＝，∴＝，∴BF＝5.6. 方法總結：相似三角形與四邊形知識綜合時，往往要用到平行四邊形的一些性質(zhì)尋找角的等量關系證明三角形相似． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題 【類型五】 相似三角形與二次函數(shù)的綜合 如圖，在△ABC中，∠C＝90，BC＝5m，AB＝10m.M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1m/s；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2m/s.運動時間為ts. (1)當t為何值時，△AMN的面積為6m2? (2)當t為何值時，△AMN的面積最大？并求出這個最大值． 解析：(1)作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，根據(jù)△AMN的面積為6m2，得到關于t的方程求得t值即可；(2)根據(jù)三角形的面積計算得到有關t的二次函數(shù)求最值即可． 解：(1)在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2＋AC2，∴AC＝5m.如圖，作NH⊥AC于H，∴∠NHA＝∠C＝90，∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA，∴＝，即＝，∴NH＝t，∴S△AMN＝ t(5－t)＝6，解得t1＝，t2＝4(舍去)，故當t為秒時，△AMN的面積為6m2. (2)S△AMN＝t(5－t)＝－(t2－5t＋)＋＝－(t－)2＋，∴當t＝時，S最大值＝m2. 方法總結：解題的關鍵是根據(jù)證得的相似三角形得到比例式，從而解決問題． 三、板書設計 1．三角形相似的判定定理： 兩角分別相等的兩個三角形相似； 2．應用判定定理解決簡單的問題． 在探究式教學中教師是學生學習的組織者、引導者、合作者、共同研究者，教學過程中鼓勵學生大膽探索，引導學生關注過程，及時肯定學生的表現(xiàn)，鼓勵創(chuàng)新．備課時應多考慮學生學法的突破，教學時只在關鍵處點撥，在不足時補充．與學生平等地交流，創(chuàng)設民主、和諧的學習氛圍. 第 4 頁 共 4 頁