廣東省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講　函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 文

《廣東省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講　函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《廣東省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講　函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 文（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題二　函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講　函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 真題試做 1．(2020·湖南高考，文9)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f(x)＜1；當(dāng)x∈(0，π)且x≠時(shí)，f′(x)＞0，則函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)． A．2 B．4 C．5 D．8 2．(2020·陜西高考，文11)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(－4))＝__________. 3．(2020·山東高考，文15)若函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值為4，最

2、小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝__________. 4．(2020·課標(biāo)全國(guó)高考，文16)設(shè)函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝__________. 5．(2020·陜西高考，文21)設(shè)函數(shù)f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)． (1)設(shè)n≥2，b＝1，c＝－1，證明：f(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)； (2)設(shè)n為偶數(shù)， |f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值； (3)設(shè)n＝2，若對(duì)任意x1，x2∈[－1,1]，有|f(x1)－f(x2)|≤4，求b的取值范圍． 6．(2020·江蘇高考，

3、17)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)． (1)求炮的最大射程； (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由． 考向分析 通過分析近三年的高考試題可以看到對(duì)函數(shù)與方程的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一、結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)；二、結(jié)合根的存在性定理或函數(shù)的圖象，對(duì)函數(shù)是否存在零點(diǎn)(方程是否存在實(shí)根

4、)進(jìn)行判斷；三、利用零點(diǎn)(方程實(shí)根)的存在求相關(guān)參數(shù)的值或范圍．對(duì)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題的考查，題目大多以社會(huì)實(shí)際生活為背景，設(shè)問新穎、靈活，而解決這些問題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法又都是高中教材和課標(biāo)中所要求掌握的概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識(shí)和方法． 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一　確定函數(shù)的零點(diǎn) 【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝x－ln x(x＞0)，則y＝f(x)(　　)． A．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn) B．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn) C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn) D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn) 規(guī)律方法 確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法： (1)解方程判

5、定法，方程易解時(shí)用此法； (2)利用零點(diǎn)存在的判定定理； (3)利用數(shù)形結(jié)合，尤其是那些方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同時(shí)多以數(shù)形結(jié)合法求解． 變式訓(xùn)練1 方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)內(nèi)(　　)． A．沒有根 B．有且僅有一個(gè)根 C．有且僅有兩個(gè)根 D．有無窮多個(gè)根 熱點(diǎn)二　函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 【例2】(1)m為何值時(shí)，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4， ①有且僅有一個(gè)零點(diǎn)？ ②有兩個(gè)零點(diǎn)且均比－1大？ (2)若函數(shù)F(x)＝|4x－x2|＋a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 規(guī)律方法 解決由函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想

6、或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解，再者，對(duì)于存在零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題，可通過分離參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題． 變式訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________． 熱點(diǎn)三　函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 【例3】某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c＞3)千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元． (1)寫出y關(guān)

7、于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域； (2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r. 規(guī)律方法 應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解應(yīng)用題的步驟： (1)正確地將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解應(yīng)用題的關(guān)鍵．轉(zhuǎn)化來源于對(duì)已知條件的綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，以確定函數(shù)模型的種類． (2)用相關(guān)的函數(shù)知識(shí)，進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，確定最佳解題方案，進(jìn)行數(shù)學(xué)上的計(jì)算求解． (3)把計(jì)算獲得的結(jié)果代回到實(shí)際問題中去解釋實(shí)際問題，即對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行總結(jié)作答． 變式訓(xùn)練3 某種產(chǎn)品每件成本為6元，每件售價(jià)為x元(x＞6)，年銷量為u萬件，若已知－u與2成正比，且售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬件． (1)求年利潤(rùn)y

8、(萬元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)求售價(jià)為多少時(shí)，年利潤(rùn)最大，并求出最大年利潤(rùn)． 思想滲透 函數(shù)與方程思想的含義 (1)函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決．函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題． (2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程(方程組)或者構(gòu)造方程，通過解方程(方程組)或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決．方程的思想是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程(

9、方程組)的觀點(diǎn)觀察、處理問題． (3)方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)：方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通過方程進(jìn)行研究；方程f(x)＝a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域；函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要． 【典型例題】如圖所示，長(zhǎng)方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為v(v＞0)，雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c(c∈R)．E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：①P或P的平行面(只有一個(gè)面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|v－c|×S成正比，比例系數(shù)為；②其他面的淋雨量之和，其值

10、為.記y為E移動(dòng)過程中的總淋雨量．當(dāng)移動(dòng)距離d＝100，面積S＝時(shí)， (1)寫出y的表達(dá)式； (2)設(shè)0＜v≤10,0＜c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度v，使總淋雨量y最少． 解：(1)由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為|v－c|＋， 故y＝＝(3|v－c|＋10)． (2)由(1)知， 當(dāng)0＜v≤c時(shí)，y＝(3c－3v＋10)＝－15； 當(dāng)c＜v≤10時(shí)，y＝(3v－3c＋10)＝＋15. 故y＝ ①當(dāng)0＜c≤時(shí)，y是關(guān)于v的減函數(shù)．故當(dāng)v＝10時(shí)，ymin＝20－. ②當(dāng)＜c≤5時(shí)，在(0，c]上，y是關(guān)于v的減函數(shù)；在(c,10]上，y是關(guān)于v的增

11、函數(shù)． 故當(dāng)v＝c時(shí)，ymin＝. 1．已知f(x)＝－3－(x－a)(x－b)，并且m，n是方程f(x)＝0的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)a，b，m，n的大小關(guān)系可能正確的是(　　)． A．m＜a＜b＜n B．a(chǎn)＜m＜b＜n C．a(chǎn)＜m＜n＜b D．m＜a＜n＜b 2．(2020·山東濰坊一模，12)若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P，Q滿足條件： ①P，Q都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上；②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 則稱點(diǎn)對(duì)[P，Q]是函數(shù)y＝f(x)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)[P，Q]與[Q，P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”)． 已知函數(shù)f(x)＝則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有(　　)． A

12、．0對(duì) B．1對(duì) C．2對(duì) D．3對(duì) 3．函數(shù)f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)． A．4 B．5 C．6 D．7 4．設(shè)方程log4x－x＝0，－x＝0的根分別為x1，x2，則(　　)． A．0＜x1x2＜1 B．x1x2＝1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2≥2 5．(2020·廣東四校期末聯(lián)考，文10)下圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間(0,1)中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A，B恰好重合，如圖2；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)

13、系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，如圖3.圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N(n,0)，則m的像就是n，記作f(m)＝n.則在下列說法中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　)． ①f＝1；②f(x)為奇函數(shù)； ③f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增； ④f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱． A．1 B．2 C．3 D．4 6．(2020·江蘇高考，10)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，則a＋3b的值為______． 7．(2020·北京高考，文12)已知函數(shù)f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，則f(a2)＋f(

14、b2)＝_______. 8．某市近郊有一塊大約500 m×500 m的接近正方形的荒地，地方政府準(zhǔn)備在此建一個(gè)綜合性休閑廣場(chǎng)，首先要建設(shè)如圖所示的一個(gè)矩形場(chǎng)地，其總面積為3 000 m2，其中場(chǎng)地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2 m，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地(其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同)，塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為S m2. (1)分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域)； (2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？ 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．B　解析：由x∈(0，π)且x≠時(shí)，f′(x)＞0可知： 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)

15、＜0，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增． 又∵x∈[0，π]時(shí)，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，可畫出f(x)的草圖為： 對(duì)于y＝f(x)－sin x的零點(diǎn)，可在同一坐標(biāo)系中再作出y＝sin x的圖象，可知在[－2π，2π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4. 2．4　解析：∵f(－4)＝－4＝16， ∴f(f(－4))＝f(16)＝＝4. 3.　解析：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)＝ax在[－1,2]上的最大值為a－1＝4，即a＝，最小值為a2＝m，從而m＝，這時(shí)g(x)＝，即g(x)＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)．當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＝ax在[－

16、1,2]上的最大值為a2＝4，得a＝2，最小值為a－1＝m，即m＝，這時(shí)g(x)＝(1－4m)＝－在[0，＋∞)上為減函數(shù)，不合題意，舍去．所以a＝. 4．2　解析：f(x)＝＝1＋， 設(shè)g(x)＝，則g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)是奇函數(shù)． 由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 5．(1)證明：當(dāng)b＝1，c＝－1，n≥2時(shí)，f(x)＝xn＋x－1. ∵f·f(1)＝×1＜0， ∴f(x)在內(nèi)存在零點(diǎn)． 又當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＝nxn－1＋1＞0，

17、 ∴f(x)在上是單調(diào)遞增的． ∴f(x)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)． (2)解：方法一：由題意知即 由下圖知，b＋3c在點(diǎn)(0，－2)取到最小值－6， 在點(diǎn)(0,0)取到最大值0， ∴b＋3c的最小值為－6，最大值為0. 方法二：由題意知 －1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0， －1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0， ①×2＋②得 －6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0， 當(dāng)b＝0，c＝－2時(shí)，b＋3c＝－6；當(dāng)b＝c＝0時(shí)，b＋3c＝0， ∴b＋3c的最小值為－6，最大值為0. 方法三：由題意知 解得b＝，c＝， ∴b＋3c＝

18、2f(1)＋f(－1)－3. 又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1. ∴－6≤b＋3c≤0. 當(dāng)b＝0，c＝－2時(shí)，b＋3c＝－6；當(dāng)b＝c＝0時(shí)，b＋3c＝0， ∴b＋3c的最小值為－6，最大值為0. (3)解：當(dāng)n＝2時(shí)，f(x)＝x2＋bx＋c. 對(duì)任意x1，x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤4等價(jià)于f(x)在[－1,1]上的最大值與最小值之差M≤4.據(jù)此分類討論如下： ①當(dāng)＞1，即|b|＞2時(shí)，M＝|f(1)－f(－1)|＝2|b|＞4，與題設(shè)矛盾； ②當(dāng)－1≤－＜0，即0＜b≤2時(shí)， M＝f(1)－f＝2≤4恒成立． ③當(dāng)0≤－≤1，即－2

19、≤b≤0時(shí)， M＝f(－1)－f＝2≤4恒成立． 綜上可知，－2≤b≤2. 6．解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0， 故x＝＝≤＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)． 所以炮的最大射程為10千米． (2)因?yàn)閍＞0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6. 所以當(dāng)a不超過6(千米)時(shí)，可擊中目標(biāo)． 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】 D　解析：法一：∵f＝·－ln ＝＋1＞0，f(1)＝－l

20、n 1＝＞0，f(e)＝－ln e＝－1＜0， ∴f·f(1)＞0，f(1)·f(e)＜0，故y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)． 法二：在同一坐標(biāo)系中分別畫出y＝x與y＝ln x的圖象，如圖所示． 由圖象知零點(diǎn)存在于區(qū)間(1，e)內(nèi)． 【變式訓(xùn)練1】 C　解析：在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|x|和y＝cos x的圖象，如圖． 當(dāng)x＞時(shí)，y＝|x|＞＞1，y＝cos x≤1. 當(dāng)x＜－時(shí)，y＝|x|＞＞1，y＝cos x≤1，所以兩函數(shù)的圖象只在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以|x|＝cos x在(－∞，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)根． 【例2】 解：(1)①若函數(shù)f(x)＝x2

21、＋2mx＋3m＋4有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則等價(jià)于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0， 即4m2－12m－16＝0，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1. ②設(shè)兩零點(diǎn)分別為x1，x2，且x1＞－1，x2＞－1，x1≠x2. 則x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4， 故只需 故m的取值范圍是{m|－5＜m＜－1}． (2)若F(x)＝|4x－x2|＋a有4個(gè)零點(diǎn)，即|4x－x2|＋a＝0有四個(gè)根，即|4x－x2|＝－a有四個(gè)根． 令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.則作出g(x)的圖象， 由圖象可知要使|4x－x2|＝－a有四個(gè)根， 則需g(x)的圖象與h(x)的圖

22、象有四個(gè)交點(diǎn)， ∴0＜－a＜4，即－4＜a＜0. 【變式訓(xùn)練2】 (0,1)　解析：由函數(shù)圖象知，如圖所示，當(dāng)0＜k＜1時(shí)直線y＝k與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根． 【例3】 解：(1)設(shè)容器的容積為V， 由題意知V＝πr2l＋πr3， 又V＝，故l＝＝－r＝. 由于l≥2r，因此0＜r≤2. 所以建造費(fèi)用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c. 因此y＝4π(c－2)r2＋，0＜r≤2. (2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－ ＝，0＜r＜2. 由于c＞3，所以c－2＞0. 當(dāng)r3－＝0時(shí)，r＝. 令＝m，得

23、m＞0， 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． ①當(dāng)0＜m＜2即c＞時(shí)， 當(dāng)r＝m時(shí)，y′＝0； 當(dāng)r∈(0，m)時(shí)，y′＜0； 當(dāng)r∈(m,2)時(shí)，y′＞0. 所以r＝m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)． ②當(dāng)m≥2即3＜c≤時(shí)， 當(dāng)r∈(0,2)時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減． 所以r＝2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)． 綜上所述，當(dāng)3＜c≤時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝2；當(dāng)c＞時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝. 【變式訓(xùn)練3】 解：(1)設(shè)－u＝k2， ∵售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬件， ∴－28＝k2，解得k＝2. ∴u＝－22＋＝－2x2＋21x＋18. 即y＝(－2x2＋21

24、x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108. (2)由(1)得y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18) ＝－6(x－2)(x－9)， 令y′＝0得x＝2(∵x＞6，∴舍去)或x＝9. 顯然，當(dāng)x∈(6,9)時(shí)，y′＞0，當(dāng)x∈(9，＋∞)時(shí)，y′＜0. ∴函數(shù)y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是增函數(shù)， 在(9，＋∞)上是減函數(shù)． ∴當(dāng)x＝9時(shí)，y取最大值，且ymax＝135. ∴售價(jià)為9元時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為135萬元． 創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練 1．C　解析：方法一：設(shè)φ(x)＝(x－a)(x－b)，由題意，f(m

25、)＝－3－(m－a)(m－b)＝0，即φ(m)＝(m－a)(m－b)＝－3＜0，同理可得φ(n)＝－3＜0，如圖所示，故a＜m＜n＜b.故選C. 方法二：令g(x)＝(x－a)(x－b)，h(x)＝－3.則m，n即為方程g(x)＝h(x)的根，也即上述兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示，故選C. 2．C　解析：P，Q為友好點(diǎn)對(duì)，不妨設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(x0＞0)，則Q(－x0，－y0)． 所以即(1) 方程組(1)的解的個(gè)數(shù)即是友好點(diǎn)對(duì)數(shù)， 在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象如圖，有兩個(gè)交點(diǎn)，所以有2對(duì)友好點(diǎn)對(duì)． 3．C　解析：令f(x)＝xcos x2＝0，可得x＝0或cos

26、 x2＝0，故x＝0或x2＝kπ＋，k∈Z. 又x∈[0,4]，則x2∈[0,16]，則k＝0,1,2,3,4時(shí)符合題意，故在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6. 4．A　解析：易知－x＝0的根x2＝. 設(shè)f(x)＝log4x－x， 因?yàn)閒(1)·f(2)＝＜0， 所以1＜x1＜2.故0＜x1x2＜1. 5．B　解析：僅有③④正確，故選B. 6．－10　解析：根據(jù)題意，可得 即解得 故a＋3b＝－10. 7．2　解析：由已知可得，lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2×1＝2. 8．解：(1)由已知xy＝3 000,2a＋6＝y(tǒng)， 則y＝(6＜x≤500)， S＝(x－4)a＋(x－6)a ＝(2x－10)a ＝(2x－10)·＝(x－5)(y－6) ＝3 030－6x－(6＜x≤500)． (2)S＝3 030－ ≤3 030－2 ＝3 030－2×300＝2 430， 當(dāng)且僅當(dāng)6x＝，即x＝50時(shí)，等號(hào)成立． 此時(shí)x＝50，y＝60，Smax＝2 430. 即設(shè)計(jì)成x＝50 m，y＝60 m時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積最大，最大值為2 430 m2.