陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 典型例題正弦、余弦的誘導(dǎo)公式例題講解素材 北師大版必修4（通用）

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1、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式例題講析 例1．求下列三角函數(shù)的值 (1) sin240o； (2)； (3) cos(-252o)； (4) sin（-） 解：（1）sin240o=sin(180o+60o)＝－sin60o= (2) =cos==； (3) cos(-252o)=cos252o= cos(180o+72o)=－cos72o=－0.3090； (4) sin（-）=－sin=－sin=sin= 說明：本題是誘導(dǎo)公式二、三的直接應(yīng)用．通過本題的求解，使學(xué)生在利用公式二、三求三角函數(shù)的值方面得到基本的、初步的訓(xùn)練．本例中的（3）可使用計(jì)算器或查三角函數(shù)表

2、． 例2．求下列三角函數(shù)的值 (1)sin(-119o45′)； (2)cos； (3)cos(-150o)； (4)sin. 解：(1)sin(－119o45′)=－sin119o45′=－sin(180o-60o15′)= －sin60o15′=－0.8682 (2)cos=cos()=cos= (3)cos(-150o)=cos150o=cos(180o-30o) =－cos30o=； (4)sin=sin()=－sin=. 說明：本題是公式四、五的直接應(yīng)用，通過本題的求解，使學(xué)生在利用公式四、五求三角函數(shù)的值方面得到基本的、初步的訓(xùn)練．本題中的（1）可使用計(jì)算器或查

3、三角函數(shù)表． 例3．求值： sin－cos－sin 略解：原式=-sin-cos-sin =-sin-cos+sin =sin+cos+sin =++0.3090 =1.3090 . 說明：本題考查了誘導(dǎo)公式一、二、三的應(yīng)用，弧度制與角度制的換算，是一道比例1略難的小綜合題．利用公式求解時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)． 例4．求值： sin(-1200o)·cos1290o+cos(-1020o)·sin(-1050o)+tan855o. 解：原式＝－sin(120o+3·360o)cos(210o+3·360o) +

4、cos(300o+2·360o)[-sin(330o+2·360o)]+tan(135o+2·360o) ＝－sin120o·cos210o－cos300o·sin330o+tan135o ＝－sin(180o－60o)·cos(180o+30o)－ cos(360o－60o)·sin(360o-30o)+ =sin60o·cos30o+cos60o·sin30o－tan45o =·+·-1 =0 說明：本題的求解涉及了誘導(dǎo)公式一、二、三、四、五以及同角三角函數(shù)的關(guān)系．與前面各例比較，更具有綜合性．通過本題的求解訓(xùn)練，可使學(xué)生進(jìn)一步熟練誘導(dǎo)公式在求值中的應(yīng)用．值得指出的是教材中的誘

5、導(dǎo)公式未介紹正切，因此，計(jì)算tan135o的值時(shí)應(yīng)先用商數(shù)關(guān)系把tan135o改寫成,再將分子分母分別用誘導(dǎo)公式進(jìn)而求出tan135o的值． 例5．化簡： . 略解：原式===1. 說明：化簡三角函數(shù)式是誘導(dǎo)公式的又一應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)熟悉這種題型． 例6．化簡： 解：原式= = = =. 說明：本題可視為例5的姐妹題，相比之下，難度略大于例5．求解時(shí)應(yīng)注意從所涉及的角中分離出2的整數(shù)倍才能利用誘導(dǎo)公式一． 例7．求證： 證明：左邊= = = =

6、 =， 右邊==， 所以，原式成立． 例8．求證 證明：左邊＝ ＝ ＝tan3α＝右邊， 所以，原式成立． 說明：例7和例8是誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在證明三角恒等式中的又一應(yīng)用，具有一定的綜合性．盡管問題是以證明的形式出現(xiàn)的，但其本質(zhì)是等號(hào)左、右兩邊三角式的化簡． 例9．已知．求：的值． 解：已知條件即，又， 所以：= 說明：本題是在約束條件下三角函數(shù)式的求值問題．由于給出了角的范圍，因此，的三角函數(shù)的符號(hào)是一定的，求解時(shí)既要注意誘導(dǎo)公式本身所涉及的符號(hào)，又要注意根據(jù)的范圍確定三角函數(shù)的符號(hào)．

7、 例10．已知, 求:的值. 解：由，得 ， 所以 故 = =1＋tan＋2tan2 =1+ . 說明：本題也是有約束條件的三角函數(shù)式的求值問題，但比例9要復(fù)雜一些．它對(duì)于學(xué)生熟練誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用．提高運(yùn)算能力等都能起到較好的作用． 例11．已知的值． 解：因?yàn)椋? 所以：=＝－m 由于所以 于是：=， 所以：tan(= . 說明：通過觀察，獲得角與角之間的關(guān)系式=-（），為順利利用誘導(dǎo)公式求cos()的值奠定了基礎(chǔ)，這是求解本題的關(guān)鍵，我們應(yīng)當(dāng)善于引導(dǎo)學(xué)生觀察，充分挖掘的隱含條件，努力為解決問題尋找突破口，本題求解中一個(gè)鮮明的特點(diǎn)

8、是誘導(dǎo)公式中角的結(jié)構(gòu)要由我們通過對(duì)已知式和欲求之式中角的觀察分析后自己構(gòu)造出來，在思維和技能上顯然都有較高的要求，給我們?nèi)碌母杏X，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維能力、創(chuàng)新意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生素質(zhì)有著很好的作用． 例12．已知cos，角的終邊在y軸的非負(fù)半軸上，求cos的值． 解：因?yàn)榻堑慕K邊在y軸的非負(fù)半軸上， 所以：=， 于是 2（）= 從而 所以 === 說明：本題求解中，通過對(duì)角的終邊在y軸的非負(fù)半軸上的分析而得的=，還不能馬上將未知與已知溝通起來．然而，當(dāng)我們通過觀察，分析角的結(jié)構(gòu)特征，并將它表示為2（）后，再將=代入，那么未知和已知之間隨即架起了一座橋梁，它為利用誘導(dǎo)公式迅速求值掃清了障礙．通過本題的求解訓(xùn)練，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力以及思維的靈活性和創(chuàng)造性必將大有裨益．