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1、課題：平面、空間兩條直線
教學(xué)目標(biāo)：理解并會(huì)應(yīng)用平面的基本性質(zhì),掌握證明關(guān)于“線共點(diǎn)”、“線共面”、“點(diǎn)共線”的方法公理及等角定理.空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種，即平行、相交及異面.兩條異面直線所成的角及距離，求作異面直線所成的角時(shí)，往往取題中的特殊點(diǎn).
會(huì)作幾何體的截面圖；會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.
教學(xué)重點(diǎn)：
（一） 主要知識(shí)及主要方法：
公理：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).
作用：①作為判斷和證明是否在平面內(nèi)的依據(jù)；②證明點(diǎn)在某平面內(nèi)的依據(jù)；③檢驗(yàn)?zāi)趁媸欠衿矫娴囊罁?jù).
公理：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那
2、么它們還有其他公共點(diǎn),且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線.
作用：①作為判斷和證明兩平面是否相交；②證明點(diǎn)在某直線上；③證明三點(diǎn)共線；
④證明三線共點(diǎn).
公理： 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.
推論:經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.
推論:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.
推論:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.
作用：公理及其推論是空間里確定平面的依據(jù)，也是證明兩個(gè)平面重合的依據(jù)，還為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法.
證明三點(diǎn)均在兩個(gè)平面的交線上，可以推證三點(diǎn)共線
證明直線共面通常的方法：先由其中兩條直線
3、確定一個(gè)平面，再證明其余的直線都在此平面內(nèi)（納入法）；分別過某些點(diǎn)作多個(gè)平面，然后證明這些平面重合（重合法）；
也可利用共面向量定理來證明.
公理是證明直線共點(diǎn)的依據(jù)，應(yīng)該這樣理解：如果、是交點(diǎn)，那么是交線；
如果兩個(gè)不同平面有三個(gè)或者更多的交點(diǎn)，那么它們共面；
如果，點(diǎn)是a、b的一個(gè)公共點(diǎn)，那么
求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作（找）—證—算”.注意，異面直線所成角的范圍是；求異面直線所成角的方法：①平移法：一般情況下應(yīng)用平行四邊形的對(duì)邊、梯形的平行對(duì)邊、三角形的中位線進(jìn)行平移.
4、
②向量法：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量,
則兩異面直線所成的角；③補(bǔ)體法
兩條異面直線的公垂線：①定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線，叫做異面直線的公垂線；②證明：異面直線公垂線的證明常轉(zhuǎn)化為證明公垂線與兩條異面直線分別垂直.
兩條異面直線的距離：①定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度.
②計(jì)算方法：公垂線法；轉(zhuǎn)化成線面距離(點(diǎn)面距離)；轉(zhuǎn)化成面面距離.
（二）典例分析：
問題1．（上海）若空間中有四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”
是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的
5、
充分非必要條件；必要非充分條件；充要條件；非充分非必要條件．
(全國(guó)Ⅲ)不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有
個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)
（全國(guó)Ⅱ）正方體中，
、、分別是、、的中點(diǎn)．
那么，正方體的過、、的截面圖形是
三角形 四邊形五邊形六邊形
如圖，，、，，
且，直線，過、、三點(diǎn)
的平面記作，則與的交線必通過
點(diǎn)；
6、 點(diǎn)；
點(diǎn)但不通過點(diǎn)； 點(diǎn)和點(diǎn)
（江蘇）如圖，已知是棱長(zhǎng)
為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，
且.求證：四點(diǎn)共面；（分）
略；略.
問題2．（全國(guó)Ⅱ）如圖，在直三棱柱中，，、分別
為、的中點(diǎn)．證明：為異面直線與的公垂線；略.
( 要求用傳統(tǒng)方法和向量法，注意書寫的規(guī)范性)
證明：方法（用傳統(tǒng)方法）：
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
方法（用向量法）：
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
7、
問題3．如圖，在正方體中，
棱長(zhǎng)，求證：與是異面直線；
求于間的距離.
問題4．(上海春)在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、 的中點(diǎn)，求異面直線與所成的角( 要求用傳統(tǒng)方法和向量法，注意書寫的規(guī)范性).
解法1（傳統(tǒng)方法）：
解法2（向量法）：
（三）課后作業(yè)：
如圖，在正方體中，、分
8、別
是、的中點(diǎn)，求證：
①、、、四點(diǎn)共面；
②、、三點(diǎn)共線.
角與的兩邊分別平行，當(dāng)時(shí)，
已知的直觀圖是邊長(zhǎng)為的等邊，那么的面積為
如圖，在空間四邊形中，已知，
，且，對(duì)角線，
，求與所成的角.
（四）走向高考：
（北京）平面的斜線交于點(diǎn)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交
于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 一條直線 一個(gè)圓 一個(gè)橢圓 雙曲線的一支
（北京文）設(shè)、、、是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是
若與共面，則
9、與共面
若與是異面直線，則與是異面直線
若，，則
若，，則
（重慶）對(duì)于任意的直線與平面，在平面內(nèi)必有直線，使與
平行 相交 垂直 互為異面直線
（全國(guó)Ⅰ）在正方形中，過對(duì)角線的一個(gè)平面交于，交于，則
① 四邊形一定是平行四邊形;
② 四邊形有可能是正方形
③ 四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形
④ 四邊形有可能垂直于平面
以上結(jié)論正確的為 (寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）
（浙江）若是兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則
過點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行過點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直
過點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交 過點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面
（天津）如圖，平面，，
且，則異面直線與所成角
的余弦值為
（江西文）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱
、、兩兩垂直，且，，
是的中點(diǎn)．略；求異面直線與所成的角；
略．
高三數(shù)學(xué) 第59課時(shí) 平面、空間兩條直線教案
