高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)(第2課時(shí))基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)

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1、2.2 函數(shù)的表示法 1.掌握函數(shù)的三種表示方法,會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù). 2.掌握求函數(shù)解析式的一般方法. 3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能簡(jiǎn)單應(yīng)用. 1.函數(shù)的表示法 (1)列表法:列一個(gè)兩行多列的表格,第一行是______取的值,第二行是對(duì)應(yīng)的______,這種用____的形式表示兩個(gè)變量之間________的方法,稱為列表法. 列表法不必通過(guò)計(jì)算就能知道兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,比較直觀,但它只能表示有限個(gè)元素間的函數(shù)關(guān)系. (2)圖像法:以自變量x的取值為橫坐標(biāo),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y為_(kāi)_____,在平面直角坐標(biāo)系中描出各個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)構(gòu)成了函數(shù)y=f(x)的圖

2、像,這種用____把兩個(gè)變量間的________表示出來(lái)的方法,稱為圖像法. 圖像法可以直觀地表示函數(shù)局部變化規(guī)律,進(jìn)而可以預(yù)測(cè)它的整體趨勢(shì),比如心電圖等. (3)解析法:一個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用自變量的__________(簡(jiǎn)稱解析式)表示出來(lái),這種方法稱為解析法. 解析法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):一是簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的變化規(guī)律;二是可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.缺點(diǎn)是并不是任意函數(shù)都可用解析法表示,僅當(dāng)兩個(gè)變量間有變化規(guī)律時(shí),才能用解析法表示. 【做一做1】 已知函數(shù)f(x+1)=3x+2,則f(x)的解析式是( ). A.f(x

3、)=3x+2 B.f(x)=3x+1 C.f(x)=3x-1 D.f(x)=3x+4 2.分段函數(shù) 所謂“分段函數(shù)”,習(xí)慣上指在定義域的不同部分,有不同的________的函數(shù). 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù).分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.值域是各段值域的并集.生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實(shí)際問(wèn)題,如出租車的計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅納稅額等等.處理分段函數(shù)問(wèn)題時(shí),首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪個(gè)區(qū)間段,從而選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 【做一

4、做2】 函數(shù)f(x)=則f 的值為( ). A. B.1 C. D.2 答案:1.(1)自變量 函數(shù)值 表格 函數(shù)關(guān)系 (2)縱坐標(biāo) 圖像 函數(shù)關(guān)系 (3)解析表達(dá)式 【做一做1】 C 設(shè)x+1=t,則x=t-1,則f(t)=3(t-1)+2=3t-1,則f(x)=3x-1. 2.對(duì)應(yīng)關(guān)系 【做一做2】 A 如何畫(huà)分段函數(shù)的圖像? 剖析:畫(huà)分段函數(shù)的圖像要先分析分段函數(shù)的定義域,遵循定義域優(yōu)先的原則. 例如:畫(huà)函數(shù)y=的圖像. 步驟:①畫(huà)整個(gè)二次函數(shù)y=(x+1)2的圖

5、像,再取其在區(qū)間(-∞,0]上的圖像,其他部分刪去不要;②畫(huà)一次函數(shù)y=-x的圖像,再取其在區(qū)間(0,+∞)上的圖像,其他部分刪去不要;③這兩部分合起來(lái)就是所要畫(huà)的分段函數(shù)的圖像,如圖所示. 由此可得,畫(huà)分段函數(shù)y=(D1,D2,…兩兩交集是空集)的圖像的步驟是: ①畫(huà)整個(gè)函數(shù)y=f1(x)的圖像,再取其在區(qū)間D1上的圖像,其他部分刪去不要; ②畫(huà)整個(gè)函數(shù)y=f2(x)的圖像,再取其在區(qū)間D2上的圖像,其他部分刪去不要; ③依次畫(huà)下去; ④將各個(gè)部分合起來(lái)就是所要畫(huà)的分段函數(shù)的圖像. 題型一 求函數(shù)的解析式 【例1】 已知f(x)是一次函數(shù),且f[f(x)]=9x+4,求

6、f(x)的解析式. 分析:解答本題可利用待定系數(shù)法,設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),再根據(jù)題設(shè)條件列方程組求解待定系數(shù)k,b. 反思:本題以f(x)為一次函數(shù)作為切入點(diǎn),運(yùn)用待定系數(shù)法,構(gòu)建所設(shè)參數(shù)的方程組從而解決問(wèn)題,這是一種常用的解題方法,已知函數(shù)類型求函數(shù)解析式常用此方法. 【例2】 已知f(+1)=x+2,求f(x). 分析:本題實(shí)際上是尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系f怎樣對(duì)自變量起作用.解答本題可在“x+2”中配湊出“+1”或?qū)ⅰ埃?”整體換元來(lái)求解. 反思:換元法是求解函數(shù)解析式的基本方法,在不清楚函數(shù)類型的情況下往往運(yùn)用此法,但要注意自變量的取值范圍的變化情況,否則就得不到正確的表達(dá)式.

7、 【例3】 已知2f+f(x)=x(x≠0),求f(x). 分析:已知x和互為倒數(shù),故可在等式2f+f(x)=x中令x取的值,得到關(guān)于f(x),f的另一個(gè)等式,把f(x)與f看成未知數(shù),通過(guò)解方程組求得f(x). 反思:對(duì)于已知等式中出現(xiàn)兩個(gè)不同變量的函數(shù)關(guān)系式,依據(jù)這兩個(gè)變量的關(guān)系,重新建立關(guān)于這兩個(gè)變量的不同等式,利用整體思想把f(x)和另一個(gè)函數(shù)看成未知數(shù),解方程組得函數(shù)f(x)的解析式.類似于解二元一次方程組,故稱為方程組法. 題型二 分段函數(shù) 【例4】 已知函數(shù)f(x)= (1)畫(huà)出函數(shù)的圖像; (2)根據(jù)已知條件分別求f(1),f(-3),f[f(-3)],f{f[

8、f(-3)]}的值. 分析:給出的函數(shù)是分段函數(shù),應(yīng)注意在不同的范圍上用不同的關(guān)系式. (1)函數(shù)f(x)在不同區(qū)間上的關(guān)系都是常見(jiàn)的函數(shù)關(guān)系,因而可利用常見(jiàn)函數(shù)的圖像作圖. (2)根據(jù)自變量的值所在的區(qū)間,選用相應(yīng)的關(guān)系式求函數(shù)值. 反思:分段函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是借助于幾個(gè)不同的表達(dá)式來(lái)表示的,處理分段函數(shù)的問(wèn)題時(shí),首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個(gè)區(qū)間,從而選相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)于分段函數(shù),各個(gè)分段的“端點(diǎn)”要注意處理好. 題型三 函數(shù)的圖像 【例5】 作出下列函數(shù)的圖像. (1)y=1-x(x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 分析:(1)中函數(shù)的定義域?yàn)閆;

9、(2)中函數(shù)是二次函數(shù),且定義域?yàn)閇0,3),作圖像時(shí)要注意定義域?qū)D像的影響. 反思:1.圖像法是表示函數(shù)的方法之一,畫(huà)函數(shù)圖像時(shí),以定義域、對(duì)應(yīng)法則為依據(jù),采用列表、描點(diǎn)法作圖.當(dāng)已知解析式是一次或二次式時(shí),可借助一次函數(shù)或二次函數(shù)的圖像幫助作圖. 2.作圖像時(shí),應(yīng)標(biāo)出某些關(guān)鍵點(diǎn).例如,圖像的頂點(diǎn)、端點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等,要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn),還是空心點(diǎn). 題型四 應(yīng)用問(wèn)題 【例6】 如圖所示,從邊長(zhǎng)為2a的正方形鐵片的四個(gè)角各裁一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形,然后折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子,要求長(zhǎng)方體的高度x與底面正方形邊長(zhǎng)的比不超過(guò)正常數(shù)t.試把鐵盒的容積V表示為x的函數(shù),并求出其定

10、義域. 分析:可由題意將長(zhǎng)方體的高度和底面正方形的邊長(zhǎng)表示出來(lái),但要注意定義域x不但受解析式的影響,還受t的限制. 反思:求實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域時(shí),除考慮函數(shù)解析式有意義外,還要考慮使實(shí)際問(wèn)題有意義,如本題中單從解析式上看,使解析式有意義的x∈R,但問(wèn)題的實(shí)際意義x<a,且≤t,這就是實(shí)際問(wèn)題對(duì)自變量的制約. 答案:【例1】 解:設(shè)f(x)=kx+b(k≠0), 則f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4. ∴解得k=3,b=1或k=-3,b=-2. ∴f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2. 【例2】 解:方法一(配湊法): ∵f(+1)=x

11、+2=(+1)2-1(+1≥1), ∴f(x)=x2-1(x≥1). 方法二(換元法): 令+1=t(t≥1),則x=(t-1)2(t≥1), ∴f(t)=(t-1)2+2=t2-1(t≥1). ∴f(x)=x2-1(x≥1). 【例3】 解:∵f(x)+2f=x,令x取的值, 得f+2f(x)=. 于是得關(guān)于f(x)與f的方程組 解得f(x)=-(x≠0). 【例4】 解:(1)分別畫(huà)出y=x2(x>0),y=1(x=0),y=0(x<0)的圖像,即得所求函數(shù)的圖像如圖所示. (2)f(1)=12=1,f(-3)=0,f[f(-3)]=f(0)=1,f{f[f(

12、-3)]}=f[f(0)]=f(1)=12=1. 【例5】 解:(1)這個(gè)函數(shù)的圖像由一些點(diǎn)組成,這些點(diǎn)都在直線y=1-x上(∵x∈Z,∴y∈Z),這些點(diǎn)都為整數(shù)點(diǎn),如圖①所示為函數(shù)圖像的一部分. 圖①  圖② (2)∵0≤x<3,∴這個(gè)函數(shù)的圖像是拋物線y=2x2-4x-3介于0≤x<3之間的一段弧,且y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,當(dāng)x=0時(shí),y=-3;當(dāng)x=3時(shí),y=3,如圖②所示. 【例6】 解:依題意知,長(zhǎng)方體鐵盒高為x,底面正方形的邊長(zhǎng)為(2a-2x),則V=(2a-2x)2·x=4x(a-x)2.

13、 ∵∴ ∵a-=>0,∴0<x≤. ∴鐵盒容積V=4x(a-x)2,定義域?yàn)? . 1 已知函數(shù)f(x)由下表給出,則f(3)的值為( ). x 1 2 3 4 f(x) -3 -2 -4 -1 A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 2函數(shù)f(x)=的圖像是( ). 3(2020山東壽光高一期中)若f(x)=,則方程f(4x)=x的根是( ). A. B. C.2 D.-2 4已知f(x-1)=x2+1

14、,則f(x)=__________. 5已知函數(shù)f(x)= (1)求f[f()]的值; (2)若f(a)=3,求a的值. 答案:1.D 2.C ∴f(x)=應(yīng)選C. 3.A ∵f(4x)==x, ∴4x-1=4x2.∴4x2-4x+1=0.∴x=. 4.x2+2x+2 設(shè)x-1=t,則x=t+1, 所以f(t)=(t+1)2+1,即f(x)=(x+1)2+1=x2+2x+2. 5.分析:本題給出的是一個(gè)分段函數(shù),函數(shù)值的取值直接依賴于自變量x屬于哪一個(gè)區(qū)間,所以要對(duì)x的可能范圍逐段進(jìn)行討論. 解:(1)∵-1<<2,∴f()=()2=3. 而3≥2,∴f [f()]=f(3)=2×3=6. (2)當(dāng)a≤-1時(shí),f(a)=a+2, 又f(a)=3,∴a=1(舍去); 當(dāng)-1<a<2時(shí),f(a)=a2, 又f(a)=3,∴a=±,其中-舍去,∴a=; 當(dāng)a≥2時(shí),f(a)=2a,又f(a)=3, ∴a=(舍去).綜上所述,a=.

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