高中數(shù)學 第二章 函數(shù) 第4節(jié) 二次函數(shù)性質的再研究（第1課時）基礎知識素材 北師大版必修1（通用）

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1、4.1 二次函數(shù)的圖像 1．掌握二次函數(shù)解析式的三種形式，會利用待定系數(shù)法求解析式． 2．掌握二次函數(shù)的圖像變換． 1．定義 (1)形如y＝________(a≠0)的函數(shù)叫作二次函數(shù)，其中a，b，c分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．解析式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)稱為二次函數(shù)的一般式，二次函數(shù)的解析式還有其他兩種形式： 頂點式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)； 零點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)說明：所有二次函數(shù)的解析式均有一般式和頂點式，并不是所有二次函數(shù)的解析式均有零點式，只有圖像與x軸有交點的二次函數(shù)才有零點式． 【做一做1－

2、1】 二次函數(shù)f(x)的圖像與x軸交于(－2,0)，(4,0)兩點，且頂點為，求函數(shù)f(x)的解析式． 【做一做1－2】 二次函數(shù)f(x)的圖像經過點A(1,0)，B(2,3)，且對稱軸為x＝3，求函數(shù)f(x)的解析式． 2．圖像變換 (1)首先將二次函數(shù)的解析式整理成頂點式y(tǒng)＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，再由二次函數(shù)y＝x2的圖像經過下列的變換得到： ①將函數(shù)y＝x2的圖像各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腳___倍，橫坐標不變，得到函數(shù)y＝ax2的圖像． 函數(shù)y＝f(x)的圖像上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶(a≠0)倍，橫坐標不變，得到函數(shù)y＝af(x)的圖像． ②將函數(shù)y＝ax2的圖像

3、向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|個單位得到______的圖像． 將函數(shù)y＝f(x)的圖像向左平移a(a＞0)個單位得函數(shù)y＝f(x＋a)的圖像．將函數(shù)y＝f(x)的圖像向右平移a(a＞0)個單位得函數(shù)y＝f(x－a)的圖像．簡稱為“左加(＋)右減(－)”． ③將函數(shù)y＝a(x＋h)2的圖像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|個單位得到________的圖像． 將函數(shù)y＝f(x)的圖像向上平移b(b＞0)個單位得函數(shù)y＝f(x)＋b的圖像；將函數(shù)y＝f(x)的圖像向下平移b(b＞0)個單位得函數(shù)y＝f(x)－b的圖像．簡稱為“上加(＋)下減(－)”． (2)一般地，二

4、次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，____決定了二次函數(shù)圖像的開口大小和方向；____決定了二次函數(shù)圖像的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；____決定了二次函數(shù)圖像的上下平移，而且“k正上移，k負下移”． 【做一做2】 將函數(shù)y＝4x2＋2x＋1寫成y＝a(x＋h)2＋k的形式，并說明它的圖像是由y＝4x2的圖像經過怎樣的變換得到的？ 答案：1．(1)ax2＋bx＋c　 【做一做1－1】 解：設函數(shù)解析式為f(x)＝a(x＋2)(x－4)， 又∵函數(shù)圖像過頂點， ∴－＝a(1＋2)(1－4)，解得a＝. ∴函數(shù)解析式為f(x)＝(x＋2)(x－4)， 即f(x)＝

5、x2－x－4. 【做一做1－2】 解：設所求函數(shù)解析式為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由已知得解得 ∴所求解析式為f(x)＝－x2＋6x－5. 2．(1)①a?、趛＝a(x＋h)2　③y＝a(x＋h)2＋k (2)a　h　k 【做一做2】 解：y＝4＋1－ ＝42＋. 要得到y(tǒng)＝42＋的圖像需將y＝4x2先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度． 怎樣快速畫二次函數(shù)圖像的草圖？ 剖析：下面舉例說明．例如畫出函數(shù)y＝3x2－6x－9的草圖． 函數(shù)的解析式化為頂點式y(tǒng)＝3(x－1)2－12.可得頂點坐標(1，－12)；與x軸的交點是點(－1,0)和點(3,0)

6、；對稱軸是直線x＝1；拋物線的開口向上． 畫法步驟： (1)描點畫線：在平面直角坐標系中，描出點(1，－12)，(－1,0)，(3,0)，畫出直線x＝1； (2)連線：用光滑曲線連接點(1，－12)，(－1,0)，(3,0)，在連線的過程中，要保持關于直線x＝1對稱，即得函數(shù)y＝3x2－6x－9的草圖，如圖所示． 由此可見，畫拋物線時，重點體現(xiàn)拋物線的特征：“三點一線一開口”．“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是拋物線上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向．根據這些特征在坐標系中可快速畫出拋物線的草圖． 題型一

7、 求二次函數(shù)的解析式 【例1】 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值為8，試確定此二次函數(shù)的解析式． 反思：求二次函數(shù)解析式的方法，應根據已知條件的特點，靈活運用解析式的形式，選取最佳方案，利用待定系數(shù)法求之． (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 已知拋物線上任意三點時，通常設函數(shù)解析式為一般式，然后列出三元一次方程組求解． (2)頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a，h，k為常數(shù)，a≠0) 當已知拋物線的頂點坐標和拋物線上另一點時，通常設函數(shù)解析式為頂點式． (3)兩根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1

8、，x2是常數(shù)，a≠0) 當已知拋物線與x軸的交點或交點的橫坐標時，通常設函數(shù)解析式為兩根式． 題型二 圖像變換 【例2】 函數(shù)f(x)＝x2的圖像經過怎樣的變換，得到函數(shù)g(x)＝4x2－2x－1的圖像？ 分析：將函數(shù)g(x)＝4x2－2x－1的解析式化為頂點式． 反思：所有二次函數(shù)的圖像均可以由函數(shù)f(x)＝x2的圖像經過變換得到．變換前，先將二次函數(shù)的解析式化為頂點式后，再確定變換的步驟． 題型三 圖像的應用 【例3】 已知二次函數(shù)y＝2x2－4x－6. (1)求此函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸、頂點坐標，并畫出函數(shù)圖像． (2)求此函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點坐標，并求出以

9、此三點為頂點的三角形的面積． (3)x為何值時，y＞0，y＝0，y＜0? 分析：(1)已知二次函數(shù)，通過配方可求得對稱軸及頂點坐標，再由函數(shù)的對稱性列表描點可畫出圖像； (2)函數(shù)圖像與x軸、y軸相交的條件分別是y＝0、x＝0，可求對應的變量值，進一步求出三角形的面積； (3)觀察圖像可得到圖像在x軸上方(即y＞0)時x的取值范圍，y＝0與y＜0時亦可得． 反思：根據配方法得到函數(shù)的性質，作圖時，注意關鍵點的選取，如與x軸、y軸的交點，頂點和開口方向，對稱軸及增減性等，使畫圖的操作更方便，圖像更準確． 答案：【例1】 解法1：利用二次函數(shù)一般式． 設f(x)＝ax2＋bx＋c

10、(a≠0)，由題意得 解得 ∴所求二次函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法2：利用二次函數(shù)的兩根式． 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)有最大值8，∴＝8. 解得a＝－4，或a＝0(舍)． ∴所求函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法3：利用二次函數(shù)的頂點式． 設f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)， ∴拋物線的對稱軸為x＝＝，即m＝. 又∵f(x)的最大值為8，∴n＝8. ∴f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，

11、 ∴a2＋8＝－1，解得a＝－4. ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 【例2】 解：g(x)＝4x2－2x－1＝42－. 變換的步驟是： (1)將函數(shù)f(x)＝x2的圖像各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變，得到函數(shù)f(x)＝4x2的圖像； (2)將函數(shù)f(x)＝4x2的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)f(x)＝42的圖像； (3)將函數(shù)f(x)＝42的圖像向下平移個單位，得到f(x)＝42－的圖像，即得到函數(shù)g(x)＝4x2－2x－1的圖像． 【例3】 解：(1)配方，得y＝2(x－1)2－8. ∵a＝2＞0，∴函數(shù)圖像開口向上，對稱軸是直線x＝1，頂點坐標是(1，

12、－8)． 列表： x －1 0 1 2 3 y 0 －6 －8 －6 0 描點并畫圖，得函數(shù)y＝2x2－4x－6的圖像，如圖所示． (2)由圖像得，函數(shù)圖像與x軸的交點坐標為A(－1,0)、B(3,0)，與y軸的交點坐標為C(0，－6)． S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12. (3)由函數(shù)圖像知，當x＜－1或x＞3時，y＞0；當x＝－1或x＝3時，y＝0；當－1＜x＜3時，y＜0. 1 下列關于二次函數(shù)y＝x2＋x＋1圖像的開口方向和頂點的說法，正確的是( )． A．開口向下，頂點(1,1) B．開口向上，頂點(1,1) C．

13、開口向下，頂點 D．開口向上，頂點 2 將函數(shù)y＝x2的圖像向右平移2個單位，再向下平移1個單位后所得函數(shù)解析式為( )． A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1 3 一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系中的圖像大致是( )． 4函數(shù)y＝4x2的圖像各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，橫坐標不變，所得圖像的函數(shù)解析式為__________． 5已知二次函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸是直線x＝－1

14、，并且經過點(1,13)和(2,28)，求二次函數(shù)f(x)的解析式． 答案：1．D　2.C 3．C　選項A，y＝ax＋b中，a＞0而y＝ax2＋bx＋c的圖像開口向下，矛盾； 選項B，y＝ax＋b中，a＞0，b＞0，從而y＝ax2＋bx＋c的圖像的對稱軸x＝＜0，矛盾； 選項D，y＝ax＋b中，a＜0，b＜0，但y＝ax2＋bx＋c的圖像開口向上，矛盾． 4．y＝x2 5．分析：設出二次函數(shù)的頂點式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)f(x)的解析式． 解：設f(x)＝a(x＋1)2＋k， 由題意得f(1)＝13，f(2)＝28，則有 解得a＝3，k＝1，即f(x)＝3(x＋1)2＋1.