高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的表示法》同步練習(xí)1 北師大版必修1（通用）

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1、函數(shù)的表示方法 一、選擇題 1.在股票買賣過程中,經(jīng)常用到兩種曲線,一種是即時(shí)價(jià)格曲線y＝f(x)(實(shí)線表示),另一種是平均價(jià)格曲線y＝g(x)(虛線表示)〔如f(2)＝3是指開始買賣后兩個(gè)小時(shí)的即時(shí)價(jià)格為3元;g(2)＝3表示兩個(gè)小時(shí)內(nèi)的平均價(jià)格為3元〕,下圖給出的四個(gè)圖象中,其中可能正確的是( ) 解析:解答該題要注意平均變化率是一個(gè)累積平均效應(yīng),因此可以得到正確選項(xiàng)為C. 答案:C 2.定義運(yùn)算設(shè)F(x)＝f(x)g(x),若f(x)＝sinx,g(x)＝cosx,x∈R,則F(x)的值域?yàn)? ) A.［-1,1］ B. C. D

2、. 解析:由已知得 即F(x)＝ F(x)＝sinx, 當(dāng),kZ時(shí),F(x)∈［-1,］; F(x)＝cosx,當(dāng),k∈Z時(shí),F(x)∈(-1,),故選C. 答案:C 3.已知?jiǎng)t的值為( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:∵ ∴ , ∴. 故選C. 答案:C 4.函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),且x＜1時(shí),f(x)＝x2+1,則x＞1時(shí),f(x)的解析式為( ) A.f(x)＝x2-4x+4

3、 B.f(x)＝x2-4x+5 C.f(x)＝x2-4x-5 D.f(x)＝x2+4x+5 解析:因?yàn)閒(x+1)為偶函數(shù), 所以f(-x+1)＝f(x+1),即f(x)＝f(2-x). 當(dāng)x＞1時(shí),2-x＜1,此時(shí),f(2-x)＝(2-x)2+1,即f(x)＝x2-4x+5. 答案:B 5.函數(shù)的圖象的大致形狀是( ) 解析:該函數(shù)為一個(gè)分段函數(shù),即為當(dāng)x＞0時(shí)函數(shù)f(x)＝ax的圖象單調(diào)遞增;當(dāng)x＜0時(shí),函數(shù)f(x)＝-ax的圖象單調(diào)

4、遞減.故選B. 答案:B 6.如圖,設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn),動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的的長為l,弦AP的長為d,則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是( ) 解析:函數(shù)在［0,π］上的解析式為 . 在［π,2π］上的解析式為, 故函數(shù)d＝f(l)的解析式為,l∈［0,2π］. 答案:C 二、填空題 7.設(shè)函數(shù)若f(1)+f(a)＝2,則a的所有可能的值是__________. 解析:由已知可得,①當(dāng)a≥0時(shí),有e0+ea-1＝1+ea-1＝2,∴ea-1＝1.∴a-1＝0.∴a＝1.②當(dāng)-1＜a＜0時(shí),有1+sin(a2π)＝2,∴s

5、in(a2π)＝1. ∴. 又-1＜a＜0,∴0＜a2＜1, ∴當(dāng)k＝0時(shí),有,∴. 綜上可知,a＝1或. 答案:1或 8.用一根長為12m的鋁合金條做成一個(gè)“目”字形窗戶的框架(不計(jì)損耗),要使這個(gè)窗戶通過的陽光最充足,則框架的長與寬應(yīng)分別為_________. 解析:由題意可知,即是求窗戶面積最大時(shí)的長與寬,設(shè)長為xm,則寬為()m, ∴ 解得當(dāng)x＝3時(shí),. ∴長為3m,寬為1.5m. 答案:3m,1.5m 9.某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm,秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),當(dāng)時(shí)間t＝0時(shí),點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合.將A、B兩點(diǎn)間的距離d(cm)表示成t(s)

6、的函數(shù),則d＝________,其中t∈［0,60］. 解析:由題意,得當(dāng)時(shí)間經(jīng)過t(s)時(shí),秒針轉(zhuǎn)過的角度的絕對值是弧度,因此當(dāng)t∈(0,30)時(shí),,由余弦定理,得 , ;當(dāng)t∈(30,60)時(shí),在△AOB中,,由余弦定理,得,,且當(dāng)t＝0或30或60時(shí),相應(yīng)的d(cm)與t(s)間的關(guān)系仍滿足. 綜上所述, ,其中t∈［0,60］. 答案: 三、解答題 10.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f［f(x)-x2+x］＝f(x)-x2+x. (1)若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)＝a,求f(a); (2)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)＝x0,求函數(shù)f(x)

7、的解析表達(dá)式. 解:(1)因?yàn)閷θ我鈞∈R, 有f［f(x)-x2+x］＝f(x)-x2+x, 所以f［f(2)-22+2］＝f(2)-22+2. 又由f(2)＝3,得f(3-22+2)＝3-22+2,即f(1)＝1. 若f(0)＝a,則f(a-02+0)＝a-02+0,即f(a)＝a (2)因?yàn)閷θ我鈞∈R,有f［f(x)-x2+x］＝f(x)-x2+x, 又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)＝x0, 所以對任意x∈R,有f(x)-x2+x＝x0. 在上式中令x＝x0,有f(x0)-x02+x0＝x0, 又因?yàn)閒(x0)＝x0,所以x0-x02＝0. 故x0＝0或

8、x0＝1. 若x0＝0,則f(x)-x2+x＝0,即f(x)＝x2-x. 但方程x2-x＝x有兩個(gè)不同實(shí)根,與題設(shè)條件矛盾, 故x0≠0. 若x0＝1,則有f(x)-x2+x＝1,即f(x)＝x2-x+1. 易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件. 綜上,所求函數(shù)為f(x)＝x2-x+1(x∈R). 11.對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y＝f(x)、y＝g(x),規(guī)定:函數(shù)h(x)＝ . (1)若函數(shù),g(x)＝x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式; (2)求(1)中函數(shù)h(x)的值域; (3)若g(x)＝f(x+α),其中α是常數(shù),且α∈［0,π］,請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y＝f(x)及

9、一個(gè)α的值,使得h(x)＝cos4x,并予以證明. 解:(1) (2)當(dāng)x≠1時(shí),, 若x＞1,則h(x)≥4,當(dāng)x＝2時(shí)等號成立; 若x＜1,則h(x)≤0,當(dāng)x＝0時(shí)等號成立. ∴函數(shù)h(x)的值域是(-∞,0］∪{1}∪［4,+∞). (3)解法一:令f(x)＝sin2x+cos2x,, 則＝cos2x-sin2x, 于是h(x)＝f(x)·f(x+α) ＝(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)＝cos4x. 解法二:令,, 則, 于是h(x)＝f(x)·f(x+α)＝()() ＝1-2sin22x＝cos4x. 12.設(shè)函數(shù)f(x)＝|x2-4

10、x-5|. (1)在區(qū)間［-2,6］上畫出函數(shù)f(x)的圖象; (2)設(shè)集合A＝{x|f(x)≥5},B＝(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).試判斷集合A和B之間的關(guān)系,并給出證明; (3)當(dāng)k＞2時(shí),求證:在區(qū)間［-1,5］上,y＝kx+3k的圖象位于函數(shù)f(x)圖象的上方. 解:(1) (2)BA.證明如下:方程f(x)＝5的解分別是,0,4和,由于f(x)在(-∞,-1］和［2,5］上單調(diào)遞減,在［-1,2］和［5,+∞)上單調(diào)遞增,因此,A＝(-∞,)∪［0,4］∪［,+∞), 由于＜6,＞-2, ∴BA. (3)證明:當(dāng)x∈［-1,5］時(shí), f(x)＝-x2+4x+5, g(x)＝k(x+3)-(-x2+4x+5) ＝x2+(k-4)x+(3k-5) ＝. ∵k＞2, ∴. 又-1≤x≤5, ①當(dāng),即2＜k≤6時(shí), 取,. ∵16≤(k-10)2＜64, ∴(k-10)2-64＜0,則g(x)min＞0. ②當(dāng),即k＞6時(shí),取x＝-1, g(x) min＝2k＞0. 由①②可知, 當(dāng)k＞2時(shí),g(x)＞0,x∈［-1,5］, 因此,在區(qū)間［-1,5］上,y＝k(x+3)的圖象位于函數(shù)f(x)圖象的上方.