《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、§6 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較
1.了解指數(shù)增長、冪增長、對數(shù)增長的意義.
2.能夠解決相應(yīng)的實際問題.
三種增長函數(shù)模型的比較
在區(qū)間(0,+∞)上盡管y=ax(a>1),y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)都是________,但它們增長的速度不同,而且不在一個“檔次”上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度會越來越____,會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(x>0,n>0)和y=logax(a>1)的增長速度.由于指數(shù)函數(shù)值增長非??欤藗兂7Q這種現(xiàn)象為“________”.
【做一做1-1】 當(dāng)a>1時,下列結(jié)論:
①指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a
2、越大時,其函數(shù)值的增長越快;
②指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越小時,其函數(shù)值的增長越快;
③對數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越大時,其函數(shù)值的增長越快;
④對數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越小時,其函數(shù)值的增長越快.
其中正確的結(jié)論是( ).
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【做一做1-2】 當(dāng)x越來越大時,下列函數(shù)中,增長速度最快的是( ).
A.y=2x B.y=x10 C.y=lg x D.y=10x2
【做一做1-3】 當(dāng)x>0,n>
3、1時,冪函數(shù)y=xn是________函數(shù),并且當(dāng)x>1時,n越大其函數(shù)值的增長就________.
答案:增函數(shù) 快 指數(shù)爆炸
【做一做1-1】 B
【做一做1-2】 A
【做一做1-3】 增 越快
如何選擇增長型函數(shù)描述實際問題?
剖析:選擇的標(biāo)準(zhǔn)是:指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度快的變化規(guī)律;對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律;而冪函數(shù)增長模型介于兩者之間,適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律.
題型一 比較函數(shù)增長的差異
【例1】 分析指數(shù)函數(shù)y=2x與對數(shù)函數(shù)y=log2x在區(qū)間[1,+∞)上函數(shù)的增長情況.
分析:解答本題時,應(yīng)分析對于
4、相同的自變量的增量,比較指數(shù)函數(shù)的增量與對數(shù)函數(shù)的增量的差異.
反思:在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=2x和y=log2x的圖像,從圖像上可觀察出函數(shù)的增減變化情況.如圖所示:
題型二 比較大小問題
【例2】 比較下列各組數(shù)的大?。?
(1),;(2)0.32,log20.3,20.3.
分析:先觀察各組數(shù)值的特點,然后考慮構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的性質(zhì)或圖像進(jìn)行求解.
反思:解決這類題目的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),若指數(shù)相同而底數(shù)不同,則考慮冪函數(shù);若指數(shù)不同底數(shù)相同,則考慮指數(shù)函數(shù);若底數(shù)不同,指數(shù)也不同,需引入中間量,利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,也可以借助冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像.
5、題型三 實際應(yīng)用
【例3】 某公司為了實現(xiàn)1 000萬元利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達(dá)到10萬元時,按銷售利潤進(jìn)行獎勵,且獎金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加,但獎勵總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個獎勵模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型能符合公司要求?
分析:獎勵模型符合公司要求,即當(dāng)x∈[10,1 000]時,能夠滿足y≤5,且≤25%,可以先從函數(shù)圖像得到初步的結(jié)論,再通過具體計算,確認(rèn)結(jié)果.
反思:從這個例題可以看到,底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比一次項系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)模型增長速度要
6、快得多,而后者又比真數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)模型增長要快,從而我們可以體會到對數(shù)增長,直線上升,指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增大的含義.
答案:【例1】 解:指數(shù)函數(shù)y=2x,當(dāng)x由x1=1增加到x2=3時,Δx=2,Δy=23-21=6;
對數(shù)函數(shù)y=log2x,當(dāng)x由x1=1增加到x2=3時,Δx=2,而Δy=log23-log21≈1.585 0.
由此可知,在區(qū)間[1,+∞)內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=2x隨著x的增長函數(shù)值的增長速度快,而對數(shù)函數(shù)y=log2x的增長速度緩慢.
【例2】 解:(1)函數(shù)y1=x為減函數(shù),又>,
∴.
又函數(shù)y2=在(0,+∞)上是增函數(shù),且>,
∴.∴.
7、(2)令函數(shù)y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出上述三個函數(shù)的圖像如圖,然后作x=0.3,此直線必與上述三個函數(shù)圖像相交.由圖像知log20.3<0.32<20.3.
【例3】 解:借助計算器或計算機作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的圖像如圖所示:
觀察圖像發(fā)現(xiàn),在區(qū)間[10,1 000]上模型y=0.25x,y=1.002x的圖像都有一部分在y=5的上方,這說明只有按模型y=log7x+1進(jìn)行獎勵才能符合公司要求,下面通過計算確認(rèn)上述判斷.
首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元.
對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[
8、10,1 000]上是單調(diào)遞增的,當(dāng)x∈(20,1 000]時,y>5,因此該模型不符合要求.
對于模型y=1.002x,利用計算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x是增函數(shù),故當(dāng)x∈(806,1 000]時,y>5,因此,也不符合題意.
對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1 000]上單調(diào)遞增且當(dāng)x=1 000時,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.
再計算按模型y=log7x+1獎勵時,獎金是否超過利潤x的25%,即當(dāng)x∈[10,1 000]時,利用計算器或計算機作f(x)=log7x+1-0.25x的圖像,
9、由圖像可知f(x)是減函數(shù),因此f(x)<f(10)≈-0.316 7<0,即log7x+1<0.25x.
所以當(dāng)x∈[10,1 000]時,y<0.25x.這說明,按模型y=log7x+1獎勵不超過利潤的25%.
綜上所述,模型y=log7x+1確實符合公司要求.
1 下列所給函數(shù),增長最快的是( ).
A.y=5x B.y=x5 C.y=log5x D.y=5x
2函數(shù)y=2x與y=x2的圖像的交點個數(shù)是( ).
A.0 B.1 C.2
10、 D.3
3當(dāng)2<x<4時,2x,x2,log2x的大小關(guān)系是( ).
A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2x
C.2x>log2x>x2 D.x2>log2x>2x
4若a>1,n>0,那么當(dāng)x足夠大時,ax,xn,logax中最大的是________.
5汽車在行駛中,由于慣性作用,剎車制動后,還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住,我們稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要因素.在一個限速為100 km/h的高
11、速公路上,甲車的剎車距離y(m)與剎車速度x(km/h)的關(guān)系可用模型y=ax2來描述,在限速為100 km/h的高速公路上,甲車在速度為50km/h時,剎車距離為10 m,則甲車剎車距離為多少米時,交通部門可以判定此車超速?
答案:1.D 2.D
3.B 思路一:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=log2x,y=x2,y=2x的圖像,在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的圖像,所以x2>2x>log2x.
思路二:比較三個函數(shù)值的大小,作為選擇題,可以采用特殊值代入法.可取x=3,經(jīng)檢驗容易知道選B.
4.a(chǎn)x 由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長快慢的差別易知ax>xn>logax.
5.解:本題函數(shù)模型已經(jīng)給出,但是a的值需要先求出,利用給定的速度為50 km/h時,剎車距離為10 m這一條件,把數(shù)值代入y=ax2,即10=502a,就可以求出參數(shù)a=;交通部門判定此車超速的依據(jù)是此車車速超過100 km/h的限速,因為函數(shù)y=ax2在x>0時是單調(diào)遞增的,所以可以把x=100代入確定的解析式,求出剎車距離y=×1002=40(米).
故當(dāng)剎車距離超過40米時,可以判定此車超速.