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1、專題四 立體幾何第1講 空間幾何體
自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引
真題感悟
1．(2020·遼寧)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．
解析 將三視圖還原為直觀圖后求解．
根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)長方體挖去一個(gè)圓柱，所以S＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.
答案 38
2．(2020·遼寧)已知正三棱錐P-ABC，點(diǎn)P、A、B、C都在半徑為的球面上，若PA、PB、PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為________．
解析 先求出△ABC的中心，再求出高，建立方程求解．
如圖，設(shè)PA＝a，
則AB＝a，PM＝a.
設(shè)球的半徑為R，
2、
所以2＋2＝R2，
將R＝代入上式，
解得a＝2，所以d＝－＝.
答案
考題分析
高考考查本部分內(nèi)容時(shí)一般把三視圖與空間幾何體的表面積與體積相結(jié)合，題型以小題為主，解答此類題目需仔細(xì)觀察圖形，從中獲知線面的位置關(guān)系與數(shù)量大小，然后依據(jù)公式計(jì)算．
網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建
高頻考點(diǎn)突破
考點(diǎn)一：
空間幾何體與三視圖
【例1】已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為
[審題導(dǎo)引] 條件中的俯視圖與側(cè)視圖給出了邊長，故可根據(jù)三視圖的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行選擇．
[規(guī)范解答] 空間幾何體的正視圖和側(cè)視
3、圖的“高平齊”，故正視圖的高一定是2，正視圖和俯視圖“長對正”，故正視圖的底面邊長為2，根據(jù)側(cè)視圖中的直角說明這個(gè)空間幾何體最前面的面垂直于底面，這個(gè)面遮住了后面的一個(gè)側(cè)棱，綜合以上可知，這個(gè)空間幾何體的正視圖可能是C.
[答案] C
【規(guī)律總結(jié)】
解決三視圖問題的技巧
空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，正視圖和俯視圖的“長對正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”．也就是說正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度．在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分
4、的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”．在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的“虛線”．
【變式訓(xùn)練】
1．(2020·豐臺二模)一個(gè)正四棱錐的所有棱長均為2，其俯視圖如圖所示，則該正四棱錐的正視圖的面積為
A. B. C．2 D．4
解析 正四棱錐的直觀圖如圖所示，BH＝，SB＝2，
∴SH＝，其正視圖為底面邊長為2，高為的等腰三角形，
∴正四棱錐的正視圖的面積為S＝×2×＝.
答案 A
考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積與體積
【例2】 (1)一個(gè)幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為
A．4 m3 B
5、.m3 C．3m3 D. m3
(2)(2020·豐臺一模)若正四棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是
A．4
B．4＋4
C．8
D．4＋4
[審題導(dǎo)引] (1)把三視圖還原為幾何體，畫出其直觀圖，然后分別計(jì)算各個(gè)部分的體積，最后整合得到結(jié)果；
(2)作出幾何體的直觀圖，根據(jù)正視圖中的幾何體的數(shù)量可得直觀圖的數(shù)量，可求其表面積．
[規(guī)范解答] (1)這個(gè)空間幾何體的直觀圖如圖所示，把右半部分割補(bǔ)到上方的后面以后，實(shí)際上就是三個(gè)正方體，故其體積是3 m3.故選C.
(2)正四棱錐的直觀圖如圖所示，
由正視圖與俯視圖可知SH＝3，
A
6、H＝，AB＝2，
∴△SAB的高SE＝＝，
∴所求的表面積為
S＝4××2×＋2×2
＝4＋4.
[答案] (1)C (2)B
【規(guī)律總結(jié)】
組合體的表面積和體積的計(jì)算方法
實(shí)際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺、球，而是由柱、錐、臺、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體的表面積或體積的基本方法就是“分解”，將組合體分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺、球或其一個(gè)部分，分別計(jì)算其體積，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個(gè)組合體的表面積或體積轉(zhuǎn)化為這些“部分的表面積或體積”的和或差．
[易錯(cuò)提示] 空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個(gè)空間幾何體中“暴
7、露”在外的所有面的面積，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和．對于簡單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計(jì)算時(shí)不要多算也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和．
【變式訓(xùn)練】
2．(2020·濟(jì)南模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．
解析 由三視圖可知該幾何體為三棱錐，其高為3，
底面積為S＝×3×1＝，
∴體積V＝××3＝.
答案
3．某品牌香水瓶的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積為__
8、______cm2
解析 這個(gè)空間幾何體上面是一個(gè)四棱柱、中間部分是一個(gè)圓柱、下面是一個(gè)四棱柱．上面四棱柱的面積為2×3×3＋12×1－＝30－；中間部分的面積為2π××1＝π，下面部分的面積為2×4×4＋16×2－＝64－.故其面積是94＋.
答案 94＋
考點(diǎn)三：球與球的組合體
【例3】正四棱錐S－ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為________．
[審題導(dǎo)引] 如圖所示，根據(jù)對稱性，只要在四棱錐的高線SE上找到一個(gè)點(diǎn)O使得OA＝OS，則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)就在同一個(gè)球面上．
[規(guī)范解答] 如圖所示，在Rt△SEA中，SA＝
9、，AE＝1，故SE＝1.設(shè)球的半徑為r，則OA＝OS＝r，OE＝1－r.在Rt△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即點(diǎn)O即為球心，故這個(gè)球的體積是.
[答案]
【規(guī)律總結(jié)】
巧解球與多面體的組合問題
求解球與多面體的組合問題時(shí)，其關(guān)鍵是確定球心的位置，可以根據(jù)空間幾何體的對稱性判斷球心的位置，然后通過作出輔助線或輔助平面確定球的半徑和多面體中各個(gè)幾何元素的關(guān)系，達(dá)到求解解題需要的幾何量的目的．
【變式訓(xùn)練】
4．(2020·普陀區(qū)模擬)若一個(gè)底面邊長為，側(cè)棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球的體積為________．
解析 設(shè)正六棱柱的上，下底面的中
10、心分別為O1，O2，
則O1O2的中點(diǎn)即為球心O，
如圖所示，AO2＝，O2O＝，
∴R＝AO＝＝，
∴V＝πR3＝π×3＝π.
答案 π
名師押題高考
【押題1】某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則該三棱錐的體積為________．
解析 由于側(cè)視圖和俯視圖“寬相等”，故側(cè)視圖的底邊長是2，由此得側(cè)視圖的高為2，此即為三棱錐的高；俯視圖的面積為6，由題設(shè)條件，此即為三棱錐的底面積．所以所求的三棱錐的體積是×6×2＝4.
答案 4
[押題依據(jù)] 幾何體的三視圖是高考的熱點(diǎn)問題，通常與幾何體的體積和表面積結(jié)合考查．本題給出幾何體的三視圖及其數(shù)量大小，要求考
11、生據(jù)此計(jì)算幾何體的體積，此類型可以說是高考的必考點(diǎn)，故押此題．
【押題2】正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且正四面體的高為4，則這個(gè)球的表面積是________．
解析 我們不妨設(shè)該正四面體的棱長為a，其外接球的半徑是R，內(nèi)切球的半徑是r，則該正四面體的高h(yuǎn)＝R＋r，如圖所示，則在Rt△OO1A中，OO1＝r，OA＝R，O1A＝a，
從而有解得R＝a，r＝a.
根據(jù)R＝a，h＝a＝4?R＝3?S＝4πR2＝36π.
答案 36π
[押題依據(jù)] 本題主要考查空間幾何體與球的組合體知識，這類題是高考考查球及其組合體的常考題型，有兩類重要組合模型，即球的內(nèi)接與球的外切．
2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 第1講 空間幾何體教案
