2020屆高三數(shù)學二輪復(fù)習 解答題規(guī)范練2 理

解答題規(guī)范練(二) 1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m＝，n＝，m·n＝－1. (1)求cos A的值； (2)若a＝2，b＝2，求c的值． 2．如圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交 于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在 平面，垂足E是圓O上(異于C，D)的點，AE＝3， 圓O直徑為9. (1)求證：平面ABCD⊥平面ADE； (2)求二面角DBCE的平面角的正切值． 3．甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙面試合格的概率都為，且面試是否合格互不影響． (1)求至少有一人面試合格的概率； (2)求簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學期望． 4．已知函數(shù)f(x)＝－2x＋4，令Sn＝f＋f＋f＋…＋f＋f(1)． (1)求Sn； (2)設(shè)bn＝(a∈R)且bn<bn＋1對所有正整數(shù)n恒成立，求a的取值范圍． 5.如圖，已知B是橢圓E：＋＝1(a>b>0)上的一點， F是橢圓右焦點，且BF⊥x軸，B. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)A1和A2是長軸的兩個端點，直線l垂直于A1A2的延長線于點D，|OD|＝4，P是l上異于點D的任意一點．直線A1P交橢圓E于M(不同于A1，A2)，設(shè)λ＝·，求λ的取值范圍． 6．已知函數(shù)f(x)＝ln x－. (1)當a>0時，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性； (2)(x)在[1，e]上的最小值為，求實數(shù)a的值； (3)試求實數(shù)a的取值范圍，使得在區(qū)間(1，＋∞)上函數(shù)y＝x2的圖象恒在函數(shù)y＝f(x)圖象的上方． 參考答案 【解答題規(guī)范練(二)】 1．解　(1)∵m＝， n＝，m·n＝－1， ∴2cos2－2sin2＝－1. ∴cos A＝－. (2)由(1)知cos A＝－，且0<A<π，∴A＝. ∵a＝2，b＝2，由正弦定理得＝， 即＝，∴sin B＝. ∵0<B<π，B<A，∴B＝. ∴C＝π－A－B＝.∴c＝b＝2. 2．(1)證明　∵AE垂直于圓O所在的平面，CD在圓O所在的平面上，∴AE⊥CD. 在正方形ABCD中，CD⊥AD， ∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE. ∵CD?平面ABCD， ∴平面ABCD⊥平面ADE. (2)解　∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE， ∴CD⊥DE，∴CE為圓O的直徑，即CE＝9. 設(shè)正方形ABCD的邊長為a，在Rt△CDE中， DE2＝CE2－CD2＝81－a2， 在Rt△ADE中，DE2＝AD2－AE2＝a2－9， 由81－a2＝a2－9，則，a＝3. ∴DE＝6. 以D為坐標原點，分別以ED，CD所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0)，E(－6,0,0)， C(0，－3，0)，A(－6,0,3)， B(－6，－3，3)． 設(shè)平面ABCD的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 即 取x1＝1，則n1＝(1,0,2)． 同理，可求出平面BCE的一個法向量為n2＝(，2,2)． 則cos〈n1，n2〉＝＝，故所求的二面角平面角的正切值為. 3．解　(1)用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格．由題意知A，B，C相互獨立，且P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，至少有一人面試合格的概率是1－P( )＝1－P()()()＝1－××＝. (2)ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝P(B)＋P( C)＋P( ) ＝P()P(B)P()＋P()P()P(C)＋P()P()P() ＝××＋××＋××＝； P(ξ＝1)＝P(AC)＋P(AB)＋P(A ) ＝P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P() ＝××＋××＋××＝； P(ξ＝2)＝P(BC)＝P()P(B)P(C) ＝××＝； P(ξ＝3)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) ＝××＝. 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4．解　(1)法一　因為f(x)＋f(1－x)＝6， Sn＝f＋f＋…＋f＋f(1)， ∴2Sn＝＋＋…＋＋2f(1)＝6n－2. 即Sn＝3n－1. 法二　Sn＝f＋f＋…＋f＋f(1) ＝－2＋4n＝3n－1. (2)由<，得：an<0(*)，顯然a≠0. ①當a<0時，則－>0，∴由(*)式得an<0. 但當n為偶數(shù)時，an>0，矛盾，所以a<0不合題意； ②當a>0時，因為an>0恒成立， 由an<0，得a>＝1＋， 當n＝1時，1＋取最大值，故a>. 綜上所述，a的取值范圍為. 5．解　(1)依題意半焦距c＝1，左焦點為F′(－1,0)． 則2a＝|BF|＋|BF′|，由B，|BF|＝， 由距離公式得|BF′|＝，2a＝4，a＝2，b2＝a2－c2＝22－1＝3. 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)由(1)知，A1(－2,0)，A2(2,0)．設(shè)M(x0，y0)． ∵M在橢圓E上，∴y＝(4－x)． 由P，M，A1三點共線可得P. ∴＝(x0－2，y0)，＝. ∴·＝2(x0－2)＋＝(2－x0)． ∵－2<x0<2，∴λ＝·∈(0,10)． 6．解　(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，當a>0時，f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)． (2)由f′(x)＝0得x＝－a， ①當a≥－1時，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為增函數(shù)． f(x)min＝f(1)＝－a＝得a＝－(舍)． ②當a≤－e時，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上恒為減函數(shù)． 則f(x)min＝f(e)＝1－＝得a＝－(舍)． ③當－e<a<－1時，由f′(x)＝0得x0＝－a. 當1<x<x0時，f′(x)<0，f(x)在(1，x0)上為減函數(shù)； 當x0<x<e時，f′(x)>0，f(x)在(x0，e)上為增函數(shù)． ∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－. 綜上知：a＝－. (3)由題意得：x2>ln x－在(1，＋∞)上恒成立， 即a>xln x－x3在(1，＋∞)上恒成立． 設(shè)g(x)＝xln x－x3(x>1)，則g′(x)＝ln x－3x2＋1. 令h(x)＝ln x－3x2＋1，則h′(x)＝－6x. 當x>1時，h′(x)<0恒成立． ∴h(x)＝g′(x)＝ln x－3x2＋1在(1，＋∞)上為減函數(shù)， 則g′(x)<g′(1)＝－2<0. 所以g(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)， ∴g(x)<g(1)<－1，故a≥－1.