2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力提升訓(xùn)練14 用空間向量法解決立體幾何問題 理

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1、訓(xùn)練14　用空間向量法解決立體幾何問題 (時(shí)間：45分鐘　滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 (　　)． A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定 2．(2020·廣州調(diào)研)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為 (　　)． A. B. C. D. 3．(2020·金華模擬)已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與

2、底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦等于 (　　)． A. B. C. D. 4．(2020·臨沂模擬)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是 (　　)． A．30° B．45° C．60° D．90° 5．(2020·濰坊模擬)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動點(diǎn)E，F(xiàn)且EF＝，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 (　　)． A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱錐ABEF的體積為定值 D．異面直線AE，BF所成

3、的角為定值 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．在空間四邊形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，對角線AC、BD的中點(diǎn)分別為P、Q，則＝________. 7．(2020·武漢調(diào)研)到正方體ABCDA1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)：①有且只有1個(gè)；②有且只有2個(gè)；③有且只有3個(gè)；④有無數(shù)個(gè)．其中正確答案的序號是________． 8．已知ABCDA1B1C1D1為正方體，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量與向量的夾角是60°；④正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|··|.其中正確命題的序號是________． 三、解答題(本

4、題共3小題，共35分) 9．(11分)(2020·浙江)如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)． (1)證明：MN∥平面ABCD； (2)過點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值． 10．(12分)(2020·東北四校一模)如圖，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中點(diǎn)，MB⊥AC. (1)求證：MB⊥平面ABC； (2)求二面角A1BB1C的余弦值． 11．(12分)(2020·唐山二

5、模)如圖，在四棱錐PABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2.E是PB的中點(diǎn)． (1)求證：平面EAC⊥平面PBC； (2)若二面角PACE的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值． 參考答案 訓(xùn)練14　用空間向量法解決立體幾何問題 1．B　[＝＋＋＝＋＋ ＝(＋)＋＋(＋) ＝＋＋， 又是平面BB1C1C的一個(gè)法向量， 且·＝＋＋·＝0， ∴⊥，又MN?面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.] 2．D　[連A1C1與B1D1交與O點(diǎn)，再連BO，∵AB＝BC， ∴?C1O⊥面DD1BB1

6、，則∠OBC1為BC1與平面BB1D1D所成角． cos∠OBC1＝，OC1＝，BC1＝， ∴cos∠OBC1＝＝.] 3．A　[如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長為2，A(0，－1,0)， B1(，0,2)，則＝(，1,2)， O(0,0,0)，B(，0,0)， 則＝(－，0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量由sin θ＝＝.] 4．B　[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP與平面CDP所成二面角(銳角)的余弦值為＝，故所求的二面角的大小是45°.] 5．D　[∵AC⊥平面

7、BB1D1D， 又BE?平面BB1D1D. ∴AC⊥BE，故A正確． ∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直線D1B1上運(yùn)動， ∴EF∥平面ABCD，故B正確． C中由于點(diǎn)B到直線B1D1的距離不變，故△BEF的面積為定值，又點(diǎn)A到平面BEF的距離為，故VABEF為定值． ①當(dāng)點(diǎn)E在D1處，點(diǎn)F為D1B1的中點(diǎn)時(shí)， 建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 可得A(1,1,0)，B(0,1,0)， E(1,0,1)，F(xiàn)，，1， ∴＝(0，－1,1)， ＝，－，1， ∴·＝. 又|AE|＝，|BF|＝， ∴cos〈，〉＝＝＝. ∴此時(shí)異面直線AE與BF成30°角． ②當(dāng)點(diǎn)E

8、為D1B1的中點(diǎn)， 點(diǎn)F在B1處時(shí)，此時(shí)E，，1，F(xiàn)(0,1,1)， ∴＝－，－，1，＝(0,0,1)， ∴·＝1，||＝ ＝， ∴cos〈，〉＝＝＝≠，故選D.] 6．解析　如圖． ＝＋＋，＝＋＋ ∴2＝(＋)＋(＋)＋＋＝0　＋0＋a－2c＋5a＋6b－8c＝6a＋6b－10c，∴＝3a＋3b－5c. 答案　3a＋3b－5c 7．解析　注意到正方體ABCDA1B1C1D1的對角線B1D上的每一點(diǎn)到直線AB，CC1，A1D1的距離都相等，因此到ABCDA1B1C1D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，其中正確答案的序號是④. 答案　④ 8．

9、解析　設(shè)正方體的棱長為1，①中(＋＋)2＝3()2＝3，故①正確；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正確；③中A1B與AD1兩異面直線所成的角為60°，但與的夾角為120°，故③不正確；④中|··|＝0.故④也不正確． 答案　①② 9．(1)證明　因?yàn)镸，N分別是PB，PD的中點(diǎn)，所以MN是△PBD的中位線，所以MN∥BD. 又因?yàn)镸N?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. (2)解　連接AC交BD于O.以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示． 在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，得 AC＝AB＝2，BD＝AB＝6. 又因?yàn)镻A⊥平面A

10、BCD， 所以PA⊥AC. 在直角三角形PAC中， AC＝2，PA＝2， AQ⊥PC，得QC＝2，PQ＝4. 由此知各點(diǎn)坐標(biāo)如下， A(－，0,0)，B(0，－3,0)，C(，0,0)， D(0,3,0)，P(－，0,2)，M， N，Q. 設(shè)m＝(x，y，z)為平面AMN的法向量． 由＝，＝知， 取z＝－1，得m＝(2，0，－1)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面QMN的法向量． 由＝，＝知， 取z＝5，得n＝(2，0,5)． 于是cos〈m，n〉＝＝. 所以二面角AMNQ的平面角的余弦值為. 10．(1)證明　∵側(cè)面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60

11、°， ∴△A1BB1為正三角形， 又∵點(diǎn)M為A1B1的中點(diǎn)，∴BM⊥A1B1， ∵AB∥A1B1，∴BM⊥AB，由已知MB⊥AC， ∴MB⊥平面ABC. (2)解　如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形ABB1A1邊長為2， 得B1(0，－1，)，A(0,2,0)， C(，1,0)，A1(0,1，)． 則＝(0,1，)，＝(0,2,0)， ＝(0，－1，)，＝(，1,0)． 設(shè)面ABB1A1的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 由n1⊥，n1⊥得， 令x1＝1，得n1＝(1,0,0)． 設(shè)面BB1C1C的法向量n2＝(x2，y2，z2)，由n2⊥， n2⊥得令y2＝，得n2

12、＝(－1，，1)， 得cos〈n1，n2〉＝＝＝－. 又二面角A1BB1C為銳角，所以所求二面角的余弦值為. 11．(1)證明　∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC， 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC， ∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC. (2)解　如圖，以C為原點(diǎn)，、、分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)． 設(shè)P(0,0，a)(a＞0)， 則E，－，， ＝(1,1,0)，＝(0,0，a)， ＝，－，， 取m＝(1，－1,0)，則 m·＝m·＝0，m為面PAC的法向量． 設(shè)n＝(x，y，z)為面EAC的法向量，則n·＝n·＝0， 即取x＝a，y＝－a，z＝－2， 則n＝(a，－a，－2)， 依題意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，則a＝2. 于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)． 設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ， 則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝， 即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.