10、區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇0,1],當(dāng)f(x)=0時(shí)x=1,當(dāng)f(x)=1時(shí)x=3或,所以要使值域?yàn)閇0,1],定義域可以為[,3],[1,3],[,1],所以b-a的最小值為.
14.(2020·江蘇)已知實(shí)數(shù)a≠0,函數(shù)f(x)=,若f(1-a)=f(1+a),則a的值為________.
[答案]?。?
[解析] 首先討論1-a,1+a與1的關(guān)系,
當(dāng)a<0時(shí),1-a>1,1+a<1,
所以f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;
f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.
因?yàn)閒(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2,
所以a=-.
當(dāng)a>0時(shí),1-a<
11、1,1+a>1,
所以f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;
f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1.
因?yàn)閒(1-a)=f(1+a),
所以2-a=-3a-1,所以a=-(舍去).
綜上,滿足條件的a=-.
[點(diǎn)評(píng)] 本小題考查分段函數(shù)的求值、解方程等基本知識(shí),考查學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用.
15.(2020·修水一模)設(shè)a>1,若對(duì)于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]滿足方程logax+logay=3,這時(shí)a的取值集合為________.
[答案] {a|a≥2}
[解析] 由logax+logay=3,得loga(xy)=3,即y=,
∵a>1且x>0
12、,∴y=在x∈[a,2a]上單調(diào)遞減.
∴ymax=f(a)==a2,
ymin=f(2a)==,
由題意得,得a≥2.
三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
16.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=a-.
(1)求證:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[解析] (1)證明:當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=a-,
設(shè)00,x1-x2<0.
f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)
=-=<0.
∴f(x1)
13、,即f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
(2)解:由題意a-<2x在(1,+∞)上恒成立,
設(shè)h(x)=2x+,則a
14、析] (1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c,
由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x,
∴∴
∴f(x)=x2-x+1.
(2)由題意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
設(shè)g(x)=x2-3x+1-m,
其圖像的對(duì)稱軸為直線x=,
∴g(x)在[-1,1]上遞減.即只需g(1)>0,
即12-3×1+1-m>0,解得m<-1.
所以m的取值范圍為m∈(-∞,-1).
18
15、.(本小題滿分12分)(2020·南京一模)已知f(x)=x2-x+k,且log2f(a)=2,f(log2a)=k(a>0,a≠1).
(1)求a,k的值;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),f(logax)有最小值?并求出該最小值.
[解析] (1)由題得
由(2)得log2a=0或log2a=1,
解得a=1(舍去)或a=2,
由a=2得k=2.
(2)f(logax)=f(log2x)=(log2x)2-log2x+2,
當(dāng)log2x=即x=時(shí),f(logax)有最小值,最小值為.
19.(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)對(duì)任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,
16、并且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.
(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
[分析] 欲證f(x)為增函數(shù),即證x2>x1時(shí),f(x2)>f(x1).由已知x>0時(shí),f(x)>1,∴x2-x1>0時(shí),f(x2-x1)>1,再結(jié)合條件.f(a+b)=f(a)+f(b)-1,有f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
[解析] (1)證明:設(shè)x1、x2∈R,且x10,∴f(x2-x1)>1.
f(x2)-f(x1)=
17、f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0,
∴f(x1)
18、上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/小時(shí).研究表明:當(dāng)20≤x≤200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))f(x)=x·v(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))
[解析] (1)由題意:當(dāng)0≤x≤20時(shí),v(x)=60;當(dāng)20≤x≤200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b,
再由已知得解得
故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為
v(x)=
(2)依題意并由(1)可得
19、
f(x)=
當(dāng)0≤x≤20時(shí),f(x)為增函數(shù),故當(dāng)x=20時(shí),其最大值為60×20=1200;
當(dāng)20
20、)-x≥0,并且當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)≤2.
(1)求f(1)的值;
(2)證明:a>0,c>0;
(3)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-mx(x∈R)是單調(diào)函數(shù),求證:m≤0或m≥1.
[解析] (1)解:∵對(duì)x∈R,f(x)-x≥0恒成立,
當(dāng)x=1時(shí),f(1)≥1,
又∵1∈(0,2),
由已知得f(1)≤()2=1,
∴1≤f(1)≤1.∴f(1)=1.
(2)證明:∵f(1)=1,∴a+b+c=1.
又∵a-b+c=0,∴b=.∴a+c=.
∵f(x)-x≥0對(duì)x∈R恒成立,
∴ax2-x+c≥0對(duì)x∈R恒成立.
∴∴
∴c>0,故a>0,c>0.
(3)證明:∵a+c=,ac≥,
由a>0,c>0及a+c≥2,得ac≤,
∴ac=,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時(shí),取“=”.
∴f(x)=x2+x+.
∴g(x)=f(x)-mx
=x2+(-m)x+
=[x2+(2-4m)x+1].
∵g(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),
∴2m-1≤-1或2m-1≥1.
∴m≤0或m≥1.