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1、高三數(shù)學基礎(chǔ)知識專練 數(shù)列的通項與求和
一．填空題(共大題共14小題，每小題5分，共70分)
1、設(shè)數(shù)列{an}的首項且，則a4= ..
2、在數(shù)列{an}中，a1=1,a2=2，且an+2－an=1+(－1)n(n∈N*)，則S100= ..
3、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2－4n+2，則|a1|+|a2|+…+|a10|的值是____.
4、已知直線l上有一列點P1(x1,y1),P2(x2,y2)…Pn(xn,yn),…其中n∈N*,x1=1，x2=2，點Pn+2分有向線段所成的比為.請寫出xn+2與xn+1, xn之間的關(guān)系式____
2、_.
5、某純凈水制造廠在凈化水過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需過濾的次數(shù)為________.
6、數(shù)列{an}的前n項和為Sn=npan(n∈N*)且a1≠a2，則常數(shù)p的值為________.
7、已知數(shù)列{an}，構(gòu)造一個新數(shù)列a1,a2－a1,a3－a2,…an-an-1…此數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則an= .
8、在小于100的正整數(shù)中被3除余2的所有數(shù)的和是___________.
9、一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測時，發(fā)現(xiàn)一個正三角形的島嶼(邊長為)，如圖1；第二次觀測時，發(fā)現(xiàn)它每邊中央處還
3、有正三角形海岬，形成了六角的星形，如圖2；第三次觀測時，發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央處又有一處向外突出的正三角形海岬，如圖3，把這個過程無限地繼續(xù)下去，就得到著名的數(shù)學模型——柯克島.若把第1,2，3，…n次觀測到的島的海岸線長記為a1,a2,…an則an(n∈N*)的表達式為________.
10、設(shè)a1,a2,…,a50是從－1,0,1這三個整數(shù)中取值的數(shù)列，若a1+a2+…+a50=9且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107，則a1,a2,…,a50中有0的個數(shù)為_______.
11、對任意實數(shù)x,y，函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(y)=f(x+y)－xy－1，若
4、f(1)=1，1
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7
7
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5
則對于正整數(shù)n,f(n)的表達式為__________.
12、如下圖，它滿足：(1)第n行首尾兩數(shù)均為n；(2)表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第n行(n≥2)第2個數(shù)是______.
13、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d≠0{an}的部分項組成的數(shù)列ak1,ak2,…,akn恰為等比數(shù)列，其中k1=1,k2=5,k3=17，則kn= .
14、已知，觀察下列運算，
定義使為整數(shù)的k(k∈N*)叫做企盼數(shù).試確定當時，企盼數(shù)k=_____.
5、
二.解答題
15. 設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式．
16. 已知數(shù)列，其中是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列（）.
（1）若，求；
（2）試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍；
（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，……，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列. 提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？
參考答案
1、
2
6、、2600
3、66
4、
5、14
6、
7、
8、1650
9、
10、11
11、
12、
13、
14、
15. 解：(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．
當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝．
(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代
7、入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．由①可得S3＝．
由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．
下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論．
(i)n＝1時已知結(jié)論成立．
(ii)假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即Sk＝，
當n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1時結(jié)論也成立．
綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立．
于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1時，a1＝＝，所以｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，…．
16. （1）.
（2）， ，
當時，.
（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列，其中是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，當時，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.
研究的問題可以是：試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍.
研究的結(jié)論可以是：由，
依次類推可得
當時，的取值范圍為等.
2020屆高考數(shù)學 考前30天基礎(chǔ)知識專練7
