《2020屆高考數(shù)學 總復習階段性測試題六 數(shù)列 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020屆高考數(shù)學 總復習階段性測試題六 數(shù)列 北師大版(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、階段性測試題六(數(shù)列)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.
滿分150分.考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷(選擇題 共50分)
一、選擇題(本大題共10個小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.(2020·洛陽一模)在等比數(shù)列{an}中,a2020=8a2020,則公比q的值為( )
A.2 B.3
C.4 D.8
[答案] A
[解析] ∵a2020=8a2020,
∴q3==8,∴q=2.
2.(2020·濰坊3月聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中,Sn是{an}的前n項和,已知S6=2,S9=
2、5,則S15等于( )
A.15 B.30
C.45 D.60
[答案] A
[解析] 設數(shù)列{an}的公差為d,則,
解得,
所以S15=15×(-)+×=15.
3.(2020·淮南模擬)等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,且a1>0,則a3等于( )
A.3 B.
C.4 D.
[答案] C
[解析] 設公比為q,則a5-a1=a1(q4-1)=15. ①
a4-a2=a1(q3-q)=6. ②
兩式相除得=,解得q=2或.
∵a4-a2
3、>0,∴q=2代入①式得a1=1.∴a3=4.
4.(2020·信陽一模)已知{an}是等差數(shù)列,a4=15,S5=55,則過點P(3,a3),Q(4,a4)的直線斜率為( )
A.4 B.
C.-4 D.-
[答案] A
[解析] ∵{an}為等差數(shù)列,
∴S5==5a3=55,
∴a3=11,
∴kPQ==a4-a3=15-11=4.
5.(2020·天津理)已知{an}為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項,Sn為{an}的前n項和,n∈N*,則S10的值為( )
A.-110 B.-90
C.90 D.110
[答案] D
4、
[解析] 本題主要考查等比中項、等差數(shù)列前n項和.
由條件:a=a3·a9即(a1+6d)2=(a1+2d)·(a1+8d)
∴a1=20,S10=10×20+×(-2)=110.故選D.
6.(2020·原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn=an-m(a≠0且a≠1),那么使“數(shù)列{an}是等比數(shù)列”成立的條件是( )
A.m=1 B.m≥1
C.m≤1 D.m為任意實數(shù)
[答案] A
[解析] ∵an=Sn-Sn-1=(an-m)-(an-1-m)
=an-1(a-1)(n≥2).
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件是an=an-1(a-1)滿足a1,即
5、a1=a-1=S1=a-m,
即m=1.
7.(2020·合肥一模)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,若a1=1,則S4=( )
A.7 B.8
C.15 D.16
[答案] C
[解析] 不妨設數(shù)列{an}的公比為q,
則4a1,2a2,a3成等差數(shù)列可轉(zhuǎn)化為2(2q)=4+q2,
得q=2.
S4==15.
8.(文)(2020·鄭州一模)等差數(shù)列{an}的通項公式是an=1-2n,其前n項和為Sn,則數(shù)列{}的前11項和為( )
A.-45 B.-50
C.-55 D.-66
[答案] D
[解析] 由等差
6、數(shù)列{an}的通項公式得a1=-1,
所以其前n項和
Sn===-n2.
則=-n.所以數(shù)列{}是首項為-1,公差為-1的等差數(shù)列,所以其前11項的和為11×(-1)+×(-1)=-66.
(理)(2020·鄭州一模)已知數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1,若{}為等差數(shù)列,則a11=( )
A.0 B.
C. D.2
[答案] B
[解析] 由已知可得=,=是等差數(shù)列{}的第3項和第7項,其公差d==,
由此可得=+(11-7)d=+4×=.
解之得a11=.
9.(文)(2020·四川文)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),
7、則a6=( )
A.3×44 B.3×44+1
C.45 D.45+1
[答案] A
[解析] 該題考查已知一個數(shù)列的前n項和Sn與an+1的關系,求通項公式an.注意的問題是用an=Sn-Sn-1時(n≥2)的條件.
an+1=3Sn ①
an=3Sn-1 ②
①-②得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an,
即an+1=4an,
∴=4(n≥2).當n=2時,a2=3a1=3,
∴=3≠=4(n≥2),
∴an為從第2項
8、起的等比數(shù)列,且公比q=4,
∴a6=a2·q4=3·44.
(理)(2020·四川理)數(shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,則a8=( )
A.0 B.3
C.8 D.11
[答案] B
[解析] 本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及累加法求通項,由b3=-2,b10=12,∴d=2,∴bn=-6+2(n-1)=2n-8.
由關系式:b7=a8-a7,各式相加:b1+b2+…b7=a8-a1=a8-3
b6=a7-a6,
…
b1=a2-a1,
∴=a8-3,∴a8=3,故選B.
10.若數(shù)列{a
9、n}的通項公式為an=5()2n-2-4()n-1(n∈N+),{an}的最大項為第x項,最小項為第y項,則x+y等于( )
A.3 B.4
C.5 D.6
[答案] A
[解析] an=5·[()n-1]2-4·()n-1
=5[()n-1-]2-,
∴當()n-1=,即n=2時,an最小,
當()n-1=1時,即n=1時,an最大.
∴x=1,y=2,∴x+y=3.
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題(本大題共5個小題,每小題5分,共25分,把正確答案填在題中橫線上)
11.(2020·許昌月考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足-=1,則
10、數(shù)列{an}的公差是________.
[答案] 2
[解析] Sn=,∴=,
由-=1得-=1,
∴a3-a2=2,∴數(shù)列{an}的公差為2.
12.(2020·九江調(diào)研)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1,若數(shù)列{an+c}恰為等比數(shù)列,則c的值為________.
[答案] 1
[解析] ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),
∴數(shù)列{an+1}是以首項a1+1=2,公比為2的等比數(shù)列,∴c=1.
13.(2020·湖北理)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4
11、升,則第5節(jié)的容積為________升.
[答案]
[解析] 本題考查等差數(shù)列通項公式、前n項和公式的基本運算.
設此等差數(shù)列為{an},公差為d,則
∴解得
∴a5=a1+4d=+4×=.
14.(2020·延安模擬)等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,則數(shù)列{an}的通項公式為________.
[答案] an=24-n
[解析] 由a4=a1·q3,a6=a3q3得
=q3=×=.
∴q=,又a1(1+q2)=10,∴a1=8.
∴an=a1·qn-1=8×()n-1=24-n.
15.(文)(2020·蕪湖一模)已知數(shù)列{an}滿足a1
12、=33,an+1-an=2n,則的最小值為________.
[答案]
[解析] an-an-1=2(n-1)
……
a2-a1=2,
相加得an-a1=2+4+…+2(n-1)
=2[1+2+…+(n-1)]=2·=n(n-1),
∴an=n2-n+33,
∴=n+-1,n=6時,=6+-1=為最?。?
(理)(2020·溫州一模)若數(shù)列{an}是正項數(shù)列,且++…+=n2+3n(n∈N+),則++…+=________.
[答案] 2n2+6n
[解析] 令n=1得=4,即a1=16,
當n≥2時,=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2,
所以
13、an=4(n+1)2,
當n=1時,也適合,
所以an=4(n+1)2(n∈N+).
于是=4(n+1),
故++…+=2n2+6n.
三、解答題(本大題共6個小題,共75分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
16.(本小題滿分12分)(2020·商丘模擬)已知等差數(shù)列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}的前n項和Sn.
[分析] 本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式.
[解析] 設{an}的公差為d,則
,
即,
解得或.
因此Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),
或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).
17.(本小題滿
14、分12分)(文)(2020·重慶文)設{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=a2+4.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設{bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn.
[解析] (1)設等比數(shù)列{an}的公比為q,由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,
即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍),∴q=2,
∴an=a1·qn-1=2·2n-1=2n.
(2)數(shù)列bn=1+2(n-1)=2n-1,
∴Sn=+n×1+×2
=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.
(理)(2020·浙江文)已知公差不為0的等差
15、數(shù)列{an}的首項a1為a(a∈R),且,,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)對n∈N*,試比較+++…+與的大?。?
[解析] (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意可知()2=·,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),從而a1d=d2,
因為d≠0,所以d=a1=a,
故通項公式an=na.
(2)記Tn=++…+,因為a2n=2n·a,
所以Tn=(++…+)
=·=[1-()n]
從而,當a>0時,Tn<
當a<0時,Tn>.
18.(本小題滿分12分)(2020·青島質(zhì)檢)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常數(shù),n=1
16、,2,3,…),且a1、a2、a3成公比不為1的等比數(shù)列.
(1)求c的值;
(2)求{an}的通項公式.
[解析] (1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,
因為a1、a2、a3成等比數(shù)列,
所以(2+c)2=2(2+3c),
解得c=0或c=2.
當c=0時,a1=a2=a3,不符合題意,故c=2.
(2)當n≥1時,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,
……
an-an-1=(n-1)c,
所以an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=c.
又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).
當n=1時,上式也成立,所以an=
17、n2-n+2.
19.(本小題滿分12分)(2020·安陽一模)已知數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn,且n,an,Sn成等差數(shù)列(n∈N+).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求Sn>57時n的取值范圍.
[解析] (1)∵n,an,Sn成等差數(shù)列,
∴Sn=2an-n,Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2),
∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1(n≥2),
∴an=2an-1+1(n≥2),
兩邊加1得an+1=2(an-1+1)(n≥2),
∴=2(n≥2).
又由Sn=2an-n得a1=1.
∴數(shù)列{an+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,
18、
∴an+1=2·2n-1,
即數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.
(2)由(1)知,Sn=2an-n=2n+1-2-n,
∴Sn+1-Sn=2n+2-2-(n+1)-(2n+1-2-n)
=2n+1-1>0,
∴Sn+1>Sn,{Sn}為遞增數(shù)列.
由題設,Sn>57,即2n+1-n>59.
又當n=5時,26-5=59,∴n>5.
∴當Sn>57時,n的取值范圍為n≥6(n∈N+).
20.(本小題滿分13分)(2020·濰坊調(diào)研)設數(shù)列{an}是公差大于0的等差數(shù)列,a3,a5分別是方程x2-14x+45=0的兩個實根.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(
19、2)設bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解析] (1)因為方程x2-14x+45=0的兩個根分別為5、9,所以由題意可知a3=5,a5=9,所以d=2,
所以an=a3+(n-3)d=2n-1.
(2)由(1)可知,bn==n·,
∴Tn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n·, ①
∴Tn=1×+2×+…+(n-1)×+n· ②
①-②得,Tn=+++…++-n·=1-,所以Tn=2-.
21.(本小題滿分14分)(2020·蘇州一模)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=a(a>0).數(shù)列{bn}滿足bn=anan+1(n∈N*).
20、
(1)若{an}是等差數(shù)列,且b3=12,求a的值及{an}的通項公式;
(2)若{an}是等比數(shù)列,求{bn}的前n項和Sn;
(3)當{bn}是公比為a-1的等比數(shù)列時,{an}能否為等比數(shù)列?若能,求出a的值;若不能,請說明理由.
[解析] (1)∵{an}是等差數(shù)列,a1=1,a2=a,
∴an=1+(n-1)(a-1).
又∵b3=12,∴a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12,
解得a=2或a=-.
∵a>0,∴a=2.∴an=n.
(2)∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a1=1,a2=a(a>0),
an=an-1,∴bn=anan+1=a2n-1.
∵=a2,
∴數(shù)列{bn}是首項為a,公比為a2的等比數(shù)列.
當a=1時,Sn=n;
當a≠1時,Sn==.
(3)數(shù)列{an}不能為等比數(shù)列.
∵bn=anan+1,∴==,
則=a-1.
∴a3=a-1.
假設數(shù)列{an}能為等比數(shù)列.
由a1=1,a2=a,得a3=a2.
∴a2=a-1,
∵此方程無解,∴數(shù)列{an}一定不能為等比數(shù)列.