2020屆高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)階段性測(cè)試題十一 計(jì)數(shù)原理與概率 北師大版
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1、階段性測(cè)試題十一(計(jì)數(shù)原理與概率)理 階段性測(cè)試題十一(概率)文 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿(mǎn)分150分.考試時(shí)間120分鐘. 第Ⅰ卷(選擇題 共50分) 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.(文)(2020·濟(jì)南模擬)一副撲克牌除去大、小王兩張撲克后還剩52張,從中任意摸一張,摸到紅心的概率為( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 所有基本事件總數(shù)為52,事件“摸到一張紅心”包含的基本事件數(shù)為13,則摸到紅心的概率為. (理)(202
2、0·平頂山一模)將編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球放入編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球,若恰好有三個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同,則不同的投放方法的種數(shù)為( ) A.6 B.10 C.20 D.30 [答案] B [解析] 從編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球中選出三個(gè)與盒子編號(hào)相同的球的投放方法有C=10種;另兩個(gè)球的投放方法有1種,所以共有10種不同的投放方法.選擇B. 2.(文)(2020·武漢一模)甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率為30%,甲不輸?shù)母怕蕿?0%,則甲、乙兩人下盤(pán)棋,你認(rèn)為最可能出現(xiàn)的情況是( ) A.甲獲勝 B.乙獲勝
3、C.甲、乙下成和棋 D.無(wú)法得出 [答案] C [解析] 兩人下成和棋的概率為50%,乙勝的概率為20%,故甲、乙兩人下一盤(pán)棋,最有可能出現(xiàn)的情況是下成和棋. (理)(2020·福州模擬)來(lái)自中國(guó)、英國(guó)、瑞典的乒乓球裁判員各兩名,執(zhí)行世錦賽的一號(hào)、二號(hào)和三號(hào)場(chǎng)地的乒乓球裁判工作,每個(gè)場(chǎng)地有兩名來(lái)自不同國(guó)家的裁判,則不同的安排方案共有( ) A.48種 B.24種 C.36種 D.96種 [答案] A [解析] 一號(hào)場(chǎng)地的安排方案有CCC=12種,即表示從3個(gè)國(guó)家中選擇2個(gè),而后再?gòu)乃x擇的2個(gè)國(guó)家中各選擇一名裁判,最后剩余1個(gè)國(guó)家的兩名裁判,和另外2個(gè)國(guó)家各
4、剩的一名裁判,將其分到兩個(gè)場(chǎng)地易求得AA=4種安排方案,綜上,共有12×4=48種安排方案. 3.(2020·徐州調(diào)研)從1,2,3,…,9這9個(gè)數(shù)中任取兩數(shù),其中: ①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù); ②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù); ③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù); ④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù). 上述事件中,是對(duì)立事件的是( ) A.① B.②④ C.③ D.①③ [答案] C [解析]?、壑小爸辽儆幸粋€(gè)是奇數(shù)”即“兩個(gè)奇數(shù)或一奇一偶”,而從1~9中任取兩數(shù)共有三個(gè)事件:“兩個(gè)奇數(shù)”、“一奇一偶”、“兩個(gè)偶數(shù)”,故“至少有一個(gè)是奇數(shù)”與“兩個(gè)偶數(shù)
5、”是對(duì)立事件. 4.(2020·新課標(biāo)理)有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為( ) A. B. C. D. [答案] A [解析] 甲乙兩位同學(xué)參加3個(gè)小組的所有可能性共3×3=9(種),其中甲、乙兩人參加同一個(gè)小組的情況有3種,故甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為P==. 5.(文)(2020·太原模擬)從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中,不重復(fù)地任意取兩個(gè)數(shù),兩個(gè)數(shù)一奇一偶的概率是( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 基本事件總數(shù)為6,兩個(gè)數(shù)一奇
6、一偶的情況有4種,故所求概率為P==. (理)(2020·黃石一模)在(1+x+x2)(1-x)10的展開(kāi)式中,含x4項(xiàng)的系數(shù)是( ) A.135 B.-135 C.375 D.-117 [答案] A [解析] (1+x+x2)(1-x)10=(1-x3)(1-x)9,且(1-x)9的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr+1=C(-x)r=C·(-1)r·xr,因此(1+x+x2)(1-x)10的展開(kāi)式中,含x4項(xiàng)的系數(shù)等于1×C·(-1)4-C(-1)1=135. 6.(2020·新鄉(xiāng)一模)如圖所示,墻上掛有邊長(zhǎng)為a的正方形木板,它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心,半徑為的
7、圓弧,某人向此板投鏢,假設(shè)每次都能擊中木板 ,且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣,則擊中陰影部分的概率是( ) A.1- B. C.1- D.與a的取值有關(guān) [答案] A [解析] 由題意,陰影部分的面積為a2-4××π()2=(1-)a2,故所求概率為1-. 7.(文)取一根長(zhǎng)度為4m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得的兩段都不少于1m的概率是( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 把繩子4等份,當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時(shí),兩段繩子都不少于1m,故所求概率為P==. (理)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,比賽規(guī)則為“3局2勝”,即以先贏兩局者
8、為勝,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每局比賽中甲獲勝的概率為0.6,則本次比賽甲獲勝的概率為( ) A.0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648 [答案] D [解析] 據(jù)題意甲取勝有兩種情形. (1)甲先勝兩局概率為P1=0.62=0.36. (2)甲前兩局中勝一局,第三局勝的概率為 P2=2×0.6×(1-0.6)×0.6=0.288, ∴甲獲勝的概率為P=P1+P2=0.648. 8.(文)(2020·揚(yáng)州一模)連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m,n,記向量a=(m,n)與向量b=(1,-1)的夾角為θ,則θ∈的概率是( ) A. B. C. D. [
9、答案] C [解析] 基本事件總數(shù)為36, 由cosθ=≥0得 a·b≥0,即m-n≥0,包含的基本事件有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共21個(gè),故所求概率為P==. (理)(2020·浙江溫州五校聯(lián)考)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P 1-p 則X的均值的最小值是( ) A. B.0 C.2 D.隨p的變化而變化 [答案
10、] A [解析] EX=0×+1×+2×=2-p, 又∵≥0,1-p≥0,∴0≤p≤, 當(dāng)p=時(shí),EX的值最小,最小值為2-=. 9.(文)(2020·西安一模)已知k∈Z,=(k,1),=(2,4),若||≤4,則△ABC是直角三角形的概率為( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] ∵||≤4,∴k2+1≤16,∴k2≤15,∴k=-3,-2,-1,0,1,2,3.又=(2-k,3).若·=-k2+2k+3=0,則k=-1,k=3;若·=0,則k=8(舍去); 若·=0,則k=-2,∴P=. (理)(2020·咸陽(yáng)一模) 如圖所示,在一個(gè)邊長(zhǎng)
11、為1的正方形AOBC內(nèi), 曲線y=x2和曲線y=圍成一個(gè)葉形圖(陰影部分), 向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(設(shè)點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的),則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] S陰=(-x2)dx ==,S正=1,∴P==,故選B. 10.(文)在長(zhǎng)為1的線段上任取兩點(diǎn),則這兩點(diǎn)之間的距離小于的概率為( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 兩點(diǎn)設(shè)為a,b,則0≤a≤1,0≤b≤1,兩點(diǎn)之間的距離小于,則|a-b|<,畫(huà)出可行域,為圖中陰影部分,面積為,即概率為. (
12、理)(2020·鄭州一模)拋擲兩個(gè)骰子,至少有一個(gè)4點(diǎn)或5點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),就說(shuō)這次實(shí)驗(yàn)成功,則在10次實(shí)驗(yàn)中,成功次數(shù)X的均值是( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 由題意一次試驗(yàn)成功的概率為1-×=,10次試驗(yàn)為10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),則成功次數(shù) X~B(10,),所以E(X)=. 第Ⅱ卷(非選擇題 共100分) 二、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題5分,共25分,把正確答案填在題中橫線上) 11.(文)(2020·許昌一模)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足|x|≤2,|y|≤1,則任取其中x,y,使x2+y2≤1的概率為_(kāi)_______. [答案] [解析] 點(diǎn)(x,
13、y)在由直線x=±2和y=±1圍成的矩形上或其內(nèi)部,使x2+y2≤1的點(diǎn)(x,y)在以原點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓上或其內(nèi)部,故所求概率為P==. (理)(2020·許昌一模)已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4,記函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件為事件A,則事件A發(fā)生的概率為_(kāi)_______. [答案] [解析] 由題意知,事件A所對(duì)應(yīng)的線性約束條件為,其對(duì)應(yīng)的可行域如圖中陰影部分所示, 所以事件A的概率P(A)==. 12.(文)(2020·延安模擬)假設(shè)小軍、小燕和小明所在的班級(jí)共有50名學(xué)生,并且這50名學(xué)生早上到校先后的可能性相同,則“小燕比小明先到校,
14、小明又比小軍先到校”的概率為_(kāi)_______. [答案] [解析] 將3人排序共包含6個(gè)基本事件,由古典概型得P=. (理)(2020·重慶理)將一枚均勻的硬幣拋擲6次,則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為_(kāi)_______. [答案] [解析] 本題主要考查古典概型的概率計(jì)算. 將一枚硬幣投擲6次,共有26=64種不同結(jié)果,正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多,即正面出現(xiàn)4次、5次、6次,共有C+C+C=22種不同結(jié)果,所以P==. 13.(文)集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,則所取兩數(shù)m>n的概率是_
15、_______. [答案] [解析] 基本事件總數(shù)為5×5=25個(gè).m=2時(shí),n=1;m=4時(shí),n=1,3;m=6時(shí),n=1,3,5;m=8時(shí),n=1,3,5,7;m=10時(shí),n=1,3,5,7,9,共15個(gè).故P==. (理)(2020·大綱全國(guó)卷)(1-)20的二項(xiàng)展開(kāi)式中,x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為_(kāi)_______. [答案] 0 [解析] 本小題考查的內(nèi)容是二項(xiàng)式中系數(shù)的求法. Tr+1=C120-r·(-)r=C·(-1)r·x 令r=2,x的系數(shù)為C, 令r=18,x9的系數(shù)為C,C-C=0. 14.(文)(2020·徐州一模)將一個(gè)各面上均涂有顏色的正方體鋸成
16、64個(gè)同樣大小的正方體,從這些小正方體中任取一個(gè),恰有2面涂有顏色的概率是________. [答案] [解析] 先將正方體均勻切割成8個(gè)小正方體,再將每個(gè)小正方體同樣切割成8個(gè)更小的正方體,這樣共有24個(gè)2面涂有顏色的小正方體. ∴概率為=. (理)(2020·長(zhǎng)沙調(diào)研)兩名戰(zhàn)士在一次射擊比賽中,戰(zhàn)士甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4、0.1、0.5;戰(zhàn)士乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1、0.6、0.3,那么兩名戰(zhàn)士獲勝希望大的是______. [答案] 乙 [解析] 戰(zhàn)士甲得分的隨機(jī)變量的分布列為: X 1 2 3 P甲 0.4 0.1 0.5 ∴
17、EX=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1.
戰(zhàn)士乙得分的隨機(jī)變量分布列為:
Y
1
2
3
P乙
0.1
0.6
0.3
∴EY=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2.
∵EX 18、率為P==.
(理)(2020·西寧一模)為振興旅游業(yè),某省2020年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的優(yōu)惠卡,向省外人士發(fā)行的是金卡,向省內(nèi)人士發(fā)行的是銀卡.某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到該省旅游,其中是省外游客,其余是省內(nèi)游客.在省外游客中有持金卡,在省內(nèi)游客中有持銀卡.在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客,則恰有1人持銀卡的概率為_(kāi)_______.
[答案]
[解析] 由題意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省內(nèi)游客有9人,其中6人持銀卡.設(shè)事件A為“隨機(jī)采訪該團(tuán)2名游客,恰有1名游客持銀卡”,則P(A)==.
三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共75分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明 19、過(guò)程或演算步驟)
16.(本小題滿(mǎn)分12分)(2020·成都一模)先后隨機(jī)投擲2枚正方體骰子,其中x表示第1枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),y表示第2枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).
(1)求點(diǎn)P(x,y)在直線y=x-1上的概率;
(2)求點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足y2<4x的概率.
[解析] (1)每枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都有6種情況,
所以基本事件總數(shù)為6×6=36個(gè).
記“點(diǎn)P(x,y)在直線y=x-1上”為事件A,A有5個(gè)基本事件:A={(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)},
∴P(A)=.
(2)記“點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足y2<4x”為事件B,則事件B有17個(gè)基本事件:
當(dāng)x=1時(shí),y 20、=1;當(dāng)x=2,y=1,2;
當(dāng)x=3時(shí),y=1,2,3;當(dāng)x=4時(shí),y=1,2,3;
當(dāng)x=5時(shí),y=1,2,3,4;當(dāng)x=6時(shí),y=1,2,3,4.
∴P(B)=.
17.(本小題滿(mǎn)分12分)(文)一盒中裝有各色球12個(gè),其中5個(gè)紅球,4個(gè)黑球,2個(gè)白球,1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球,求:
(1)取出1球是紅球或黑球的概率;
(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.
[解析] 可按互斥事件和對(duì)立事件求概率的方法,利用公式進(jìn)行求解.
(1)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法,得黑球有4種取法,得紅球或黑球共有5+4=9種不同取法,任取1球有12種取法.
∴任取1球是紅球或 21、黑球的概率為=.
(2)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法,得黑球有4種取法,得白球有2種取法.從而得紅球或黑球或白球的概率為=.
(理)課外活動(dòng)小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名隊(duì)長(zhǎng),現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng),依下列條件各有多少種選法?
(1)只有一名女生;
(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選;
(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選;
(4)至多有兩名女生當(dāng)選.
[解析] (1)一名女生,四名男生.
故共有C·C=350(種).
(2)將兩隊(duì)長(zhǎng)作為一類(lèi),其他11人作為一類(lèi),
故共有C·C=165(種).
(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩類(lèi):
只有一名隊(duì)長(zhǎng)和兩名隊(duì)長(zhǎng).
故共有 22、C·C+C·C=825(種).
或采用間接法:C-C=825(種).
(4)至多有兩名女生含有三類(lèi):有兩名女生、只有一名女生、沒(méi)有女生.
故選法為C·C+C·C+C=966(種).
18.(本小題滿(mǎn)分12分)(文)設(shè)不等式組表示的區(qū)域?yàn)锳,不等式組表示的區(qū)域?yàn)锽.
(1)在區(qū)域A中任取一點(diǎn)(x,y),求點(diǎn)(x,y)∈B的概率;
(2)若x,y分別表示甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)數(shù),求點(diǎn)(x,y)在區(qū)域B中的概率.
[解析] (1)設(shè)集合A中的點(diǎn)(x,y)∈B為事件M,區(qū)域A的面積為S1=36,區(qū)域B的面積為S2=18,
∴P(M)===.
(2)設(shè)點(diǎn)(x,y)在集合B中為事 23、件N,甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)數(shù)(x,y)為36,其中在集合B中的點(diǎn)有21個(gè),
故P(N)==.
(理)一個(gè)口袋里有2個(gè)紅球和4個(gè)黃球,從中隨機(jī)地連取3個(gè)球,每次取一個(gè),記事件A為“恰有一個(gè)紅球”,事件B為“第3個(gè)是紅球”.
求:(1)不放回時(shí),事件A、B的概率;
(2)每次抽后放回時(shí),A、B的概率.
[解析] (1)由不放回抽樣可知,第一次從6個(gè)球中抽一個(gè),第二次只能從5個(gè)球中取一個(gè),第三次從4個(gè)球中取一個(gè),基本事件共6×5×4=120個(gè),又事件A中含有基本事件3×2×4×3=72個(gè),(第一個(gè)是紅球,則第2,3個(gè)是黃球,取法有2×4×3種,第2個(gè)是紅球和第3個(gè)是紅球取法一樣多 24、),
∴P(A)==.
因?yàn)榧t球數(shù)占總球數(shù)的,在每一次抽到都是隨機(jī)地等可能事件,
∴P(B)=.
(2)由放回抽樣知,每次都是從6個(gè)球中取一個(gè),有取法63=216種,事件A含基本事件3×2×4×4=96種.
∴P(A)==.
第三次抽到紅球包括B1={紅,黃,紅},B2={黃,黃,紅},B3={黃,紅,紅},B4={紅,紅,紅}四種兩兩互斥的情形,P(B1)==;
P(B2)==;
P(B3)==;
P(B4)==,
∴P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4)
=+++=.
19.(本小題滿(mǎn)分12分)(文)(2020·北京文)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各 25、四名同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù),乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無(wú)法確認(rèn),在圖中以X表示.
(1)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹(shù)棵數(shù)的平均數(shù)和方差;
(2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19的概率.
(注:方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中為x1,x2,…,xn的平均數(shù))
[解析] (1)當(dāng)X=8時(shí),由莖葉圖可知,乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是:8,8,9,10.
所以平均數(shù)為==;
方差為
s2=[(8-)2+(8-)2+(9-)2+(10-)2]=.
(2)記甲組四名同學(xué)為A1,A2,A3,A4,他們植樹(shù)的棵數(shù)依次為9,9,11 26、,11;乙組四名同學(xué)為B1,B2,B3,B4,他們植樹(shù)的棵數(shù)依次為9,8,9,10,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),所有可能的結(jié)果有16個(gè),它們是:
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4)
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4)
(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4)
(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4)
用C表示:“選出的兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19”這一事件,則C中的結(jié)果有4個(gè),它們是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率為P(C)==.
( 27、理)(2020·北京理)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù),乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無(wú)法確認(rèn),在圖中以X表示.
(1)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹(shù)棵數(shù)的平均數(shù)和方差;
(2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(注:方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中為x1,x2,…,xn的平均數(shù))
[解析] (1)當(dāng)X=8時(shí),由莖葉圖可知,乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是:8,8,9,10,
所以平均數(shù)為==;
方差為s2=[(8-)2+(8-)2+(9-)2+(10-)2]=.
(2)當(dāng)X=9時(shí),由莖 28、葉圖可知,甲組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是:9,9,11,11;乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是:9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),共有4×4=16種可能的結(jié)果,這兩名同學(xué)植樹(shù)總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹(shù)9棵,乙組選出的同學(xué)植樹(shù)8棵”,所以該事件有2種可能的結(jié)果,因此P(Y=17)==.
同理可得P(Y=18)=;P(Y=19)=;P(Y=20)=;P(Y=21)=.
所以隨機(jī)變量Y的分布列為:
Y
17
18
19
20
21
P
EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y 29、=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)
=17×+18×+19×+20×+21×=19.
20.(本小題滿(mǎn)分13分)(文)袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè),其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè).已知從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球,取到標(biāo)號(hào)是2的小球是概率是.
(1)求n的值;
(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球,記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a,第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.記事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率.
[解析] (1)由題意可知:=,
解得n=2.
(2)不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球的所有基本事件為:(0,1),(0,21),(0,2 30、2),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12個(gè),
事件A包含的基本事件為(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4個(gè).
∴P(A)==.
(理)(2020·合肥一模)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元,一年后的利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為、、;已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是p(0
31、,2時(shí),一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬(wàn)元、1.25萬(wàn)元、0.2萬(wàn)元.隨機(jī)變量ξ1、ξ2分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬(wàn)元一年后的利潤(rùn).
(1)求ξ1,ξ2的概率分布和數(shù)學(xué)期望Eξ1、Eξ2;
(2)當(dāng)Eξ1 32、
2p(1-p)
p2
所以Eξ2=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2
=-p2-0.1p+1.3.
(2)由Eξ1 33、析] (1)設(shè)“a∥b”為事件A,由a∥b,得x=2y.
基本事件空間為Ω={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)},共包含12個(gè)基本事件;
其中A={(0,0),(2,1)},包含2個(gè)基本事件.
則P(A)==,即向量a∥b的概率為.
(2)設(shè)“a,b的夾角是鈍角”為事件B,由a,b的夾角是鈍角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y.
基本事件空間為Ω=,
B=,
則P(B)===,
即向量a,b的夾角是鈍角的概率是.
(理)(2020·山東理) 34、紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽,甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤(pán).已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5,假設(shè)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率;
(2)用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤(pán)數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.
[解析] (1)設(shè)甲勝A的事件為D,乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,
則,,分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件.
因?yàn)镻(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5
由對(duì)立事件的概率公式知P()=0.4,P()=0.5,
P()=0.5.
紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有:DE,DF,EF,DEF 35、.
由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤(pán)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,
因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為
P=P(DE)+P(DF)+P(EF)+P(DEF)
=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5
=0.55.
(2)由題意知ξ可能的取值為0,1,2,3.
又由(1)知 F、E、D 是兩兩互斥事件,且各盤(pán)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,
因此P(ξ=0)=P( )=0.4×0.5×0.5=0.1,
P(ξ=1)=P( F)+P(E)+P(D )=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35.
P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15.
由對(duì)立事件的概率公式得
P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4.
所以ξ的分布列為:
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
因此Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.
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