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1、專題升級訓練18 隨機變量及其分布列
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)
1.已知P(ξ=1)=,P(ξ=-1)=,則D(ξ)等于( ).
A.2 B.4 C.1 D.6
2.同時擲3枚均勻硬幣,恰好有2枚正面向上的概率為( ).
A.0.5 B.0.25 C.0.125 D.0.375
3.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次,記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是( ).
A. B. C.
2、 D.
4.甲、乙兩隊進行排球決賽,現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍,乙隊需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊勝每局的概率相同,則甲隊獲得冠軍的概率為( ).
A. B. C. D.
5.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=( ).
A. B. C. D.
6.兩個實習生每人加工一個零件,加工為一等品的概率分別為和,兩個零件是否加工為一等品相互獨立,則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為( ).
A. B.
3、C. D.
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
7.隨機變量ξ的分布列如下:
ξ
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差數(shù)列,若E(ξ)=,則D(ξ)的值為__________.
8.連續(xù)擲一枚均勻的正方體骰子(6個面分別標有1,2,3,4,5,6),現(xiàn)定義數(shù)列an=Sn是其前n項和,則S5=3的概率是__________.
9.畢業(yè)生小王參加人才招聘會,分別向A,B兩個公司投遞個人簡歷.假定小王得到A公司面試的概率為,得到B公司面試的概率為p,且兩個公司是否讓其面試是獨立的.記ξ為小王得到面試的公司個數(shù).若ξ=0時的概率P(ξ=
4、0)=,則隨機變量ξ的數(shù)學期望E(ξ)=__________.
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
10.(本小題滿分15分)已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和.
(1)求X的分布列;
(2)求X的數(shù)學期望E(X).
11.(本小題滿分15分)某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù),如下表所示.
一次購物量
1至
4件
5至
8件
5、
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顧客數(shù)(人)
x
30
25
y
10
結算時間
(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%.
(1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結算時間的平均值;
(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)
12.(本小題滿分16分)“天宮一號”的順利升空標志著我國火箭運載的技術日趨完善.據(jù)悉,擔任“天宮一號”發(fā)射任務的是長征二號FT1火箭.為了確保發(fā)射萬無一失,科學家對長征二號FT1運載火箭進行了170余項技術狀態(tài)更改,增
6、加了某項新技術.該項新技術要進入試用階段前必須對其中三項不同指標甲、乙、丙進行通過量化檢測.假設該項新技術的指標甲、乙、丙獨立通過檢測合格的概率分別為,,,指標甲、乙、丙檢測合格分別記4分、2分、4分,若某項指標不合格,則該項指標記0分,各項指標檢測結果互不影響.
(1)求該項技術量化得分不低于8分的概率;
(2)記該項技術的三個指標中被檢測合格的指標個數(shù)為隨機變量ξ,求ξ的分布列與數(shù)學期望.
參考答案
一、選擇題
1.C 解析:E(ξ)=1×+(-1)×=0,
D(ξ)=12×+(-1)2×=1.
2.D 解析:擲3枚均勻硬幣,設正面向上的個數(shù)為X,則X服從二項分布,即X~
7、B,∴P(X=2)=··==0.375.
3.C 解析:事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是
1-P(·)=1-×=.
4.D 解析:由甲、乙兩隊每局獲勝的概率相同,知甲每局獲勝的概率為,甲要獲得冠軍有兩種情況:第一種情況是再打一局甲贏,甲獲勝概率為;第二種情況是再打兩局,第一局甲輸,第二局甲贏.則其概率為×=.故甲獲得冠軍的概率為+=.
5.B 解析:∵P(A)==,P(AB)==,
∴P(B|A)==.
6.B 解析:記兩個零件中恰有一個一等品的事件為A,
則P(A)=×+×=.
二、填空題
7. 解析:由題意知:解得
∴D(ξ)=×+×+×=.
8. 解析:該試驗可看
8、作一個獨立重復試驗,結果為-1發(fā)生的概率為,結果為1發(fā)生的概率為,S5=3即5次試驗中-1發(fā)生一次,1發(fā)生四次,故其概率為=.
9. 解析:由題意,得P(ξ=2)=p,P(ξ=1)=(1-p)+p=,
ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
p
由++p=1,得p=.
所以E(ξ)=0×+1×+2×p=.
三、解答題
10.解:(1)由題意得X取3,4,5,6,且
P(X=3)==,
P(X=4)==,
P(X=5)==,
P(X=6)==.
所以X的分布列為
X
3
4
5
6
P
(2)由(1)知E(X)=3·P(X=3)+
9、4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)=.
11.解:(1)由已知得25+y+10=55,x+y=35,
所以x=15,y=20.
該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計,其估計值為=1.9(分鐘).
(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”,A1,A2,A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”,“該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘”,“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”,將頻率視為概率,得
P(A1)
10、==,P(A2)==,P(A3)==.
因為A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,
所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)
=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=++=.
故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為.
12.解:(1)記該項新技術的三個指標甲、乙、丙獨立通過檢測合格分別為事件A,B,C,則事件“得分不低于8分”表示為ABC+AC.
∵ABC與AC為互斥事件,且A,B,C彼此獨立,
∴P(ABC+AC)=P(ABC)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P()P(C)=××+××=.
(2)該項新技術的三個指標中被檢測合格的指標個數(shù)ξ的取值為0,1,2,3.
∵P(ξ=0)=P()=××=,
P(ξ=1)=P(A+B+C)
=××+××+××=,
P(ξ=2)=P(AB+AC+BC)
=××+××+××=,
P(ξ=3)=P(ABC)=××=,
∴隨機變量ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
∴E(ξ)=++==.