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1、第一講 集合、常用邏輯用語與定積分
研熱點（聚焦突破）
類型一 集合的概念與運算
1．集合中元素的三種性質中互異性對解題的影響最大，特別是含字母參數(shù)的集合．
2．集合之間的關系與運算技巧
A∪B＝A?B?A；A∩B＝A?A?B；
A∩?U(B)＝??A?B.
3．含有n個元素的集合A的子集的個數(shù)為2n個，真子集的個數(shù)為2n－1個．
[例1] (1)(2020年高考湖北卷)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
2、D．4
(2)(2020年高考浙江卷)設集合A＝{x|1
3、(2)首先用區(qū)間表示出集合B，再用數(shù)軸求A∩(?RB)．
解x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，∴B＝[－1，3]，
則?RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
∴A∩(?RB)＝(3，4)．
[答案] (1)D (2)B
跟蹤訓練
1．設全集U＝{x∈Z|≥1}，M∩N＝{1，2}，?U(M∪N)＝{0}，(?UM)∩N＝{4，5}，則M＝( )
A．{1，2，3} B．{－1，1，2，3}
C．{1，2} D．{－1，1，2}
解析：由≥1，得－1≥0，即 ≤0，
解得－1
4、x∈Z，所以U＝{0，1，2，3，4，5}．如圖所示，在韋恩圖中分別表示出已知集合中的元素，由M∩N＝{1，2}，可知1∈M，1∈N，2∈M，2∈N；由?U(M∪N)＝{0}，可知0?M∪N，所以0?M，且M∪N＝{1，2，3，4，5}；由(?UM)∩N＝{4，5}，可知4?M，4∈N，5?M，5∈N.從而N＝{1，2，4，5}，M＝{1，2，3}．故選A.
答案：A
2．已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x| }，若A∩B≠?，則實數(shù)b的取值范圍是________．
解析：由題意得A＝{x|－1
5、兩根為－2和b，又由A∩B≠?，所以b>－1.故填b>－1.
答案：(－1，＋∞)
類型二 命題與命題的真假判斷
1．四種命題有兩組等價關系，即原命題與其逆否命題等價，否命題與逆命題等價．
2．含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷：命題p∨q，只要p，q至少有一為真，即為真命題，換言之，見真則真；命題p∧q，只要p，q至少有一為假，即為假命題，換言之，見假則假；綈p和p為一真一假兩個互為對立的命題．
3．“或”命題和“且”命題的否定：命題p∨q的否定是p∧q；命題p∧q的否定是p∨q.
4．含有量詞的命題的否定
?x∈M，p(x)的否定是?x∈M，p(x)；
?x∈M，p(x)的否
6、定是?x∈M，p(x)．
[例2] (1)(2020年高考湖南卷)命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是( )
A．若α≠，則tan α≠1
B．若α＝，則tan α≠1
C．若tan α≠1，則α≠
D．若tan α≠1，則α＝
(2)(2020年高考福建卷)下列命題中，真命題是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R，2x>x2
C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是 ＝－1
D．a(chǎn)>1，b>1是ab>1的充分條件
[解析] (1)根據(jù)原命題與其逆否命題的關系求解．
由命題與其逆否命題之間的關系可知，原命題的逆否命題是：若tan α≠1，則α≠.
7、(2)應用量詞和充要條件知識解決．
對于?x∈R，都有ex>0，故選項A是假命題；
當x＝2時，2x＝x2，故選項B是假命題；
當＝－1時，有a＋b＝0，但當a＋b＝0時，如a＝0，b＝0時，無意義，故選項C是假命題；
當a>1，b>1時，必有ab>1，但當ab>1時，未必有a>1，b>1，如當a＝－1，b＝－2時，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分條件，選項D是真命題．
[答案] (1)C (2)D
跟蹤訓練
(2020年濰坊模擬)已知命題p：?x∈R，mx2＋1≤0，命題q：?x∈R，(m＋2)x2＋1>0，若p∧q為真命題，則實數(shù)m的取
8、值范圍是( )
A．(－∞，－2) B．[－2，0)
C．(－2，0) D．(0，2)
解析：若p為真命題，則m<0；若q為真命題，則m≥－2.所以，若p∧q為真命題，則m∈[－2，0)．
答案：B
類型三 充要條件的判斷
1．若p?q且qp，則稱p是q的充分不必要條件．
2．若pq且q?p，則稱p是q的必要不充分條件．
3．若p?q，則稱p是q的充要條件．
4．若pq且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．
[例3] (2020年高考天津卷)設φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ
9、)(x∈R)為偶函數(shù)”的( )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
[解析] 由條件推結論和結論推條件后再判斷．
若φ＝0，則f(x)＝cos x是偶函數(shù)，但是若f(x)＝cos (x＋φ)是偶函數(shù)，則φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的充分而不必要條件．
[答案] A
跟蹤訓練
1．(2020年長沙模擬)“a<－2”是“函數(shù)f(x)＝ax＋3在區(qū)間[－1，2]上存在零點”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
10、
解析：當a<－2時，f(－1)f(2)＝(－a＋3)(2a＋3)<0，所以函數(shù)f(x)＝ax＋3在區(qū)間[－1，2]上存在零點；反過來，當函數(shù)f(x)＝ax＋3在區(qū)間[－1，2]上存在零點時，不能得知a<－2，如當a＝4時，函數(shù)f(x)＝ax＋3＝4x＋3在區(qū)間[－1，2]上存在零點．
因此，“a<－2”是“函數(shù)f(x)＝ax＋3在區(qū)間[－1，2]上存在零點”的充分不必要條件，選A.
答案：A
2．已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的必要而不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析：由題意知，p是q的充分不必要條件，
即p的解集是q
11、的解集的子集．
由p：|1－|≤2?－2≤－1≤2?－1≤≤3?－1≤x≤7，
q：x2－2x＋1－m2≤0?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0，(*)
不等式(*)的解為1－m≤x≤1＋m，所以1－m≤－1且1＋m≥7，
所以實數(shù)m的取值范圍是[6，＋∞)．
答案：[6，＋∞)
類型四 定積分
1．定積分的性質
(1) ＝k；
(2) ＝；
(3) ＝(其中a
12、] (2020年高考湖北卷)已知二次函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為( )
A. B. C. D.
[解析] 用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式．
根據(jù)f (x)的圖象可設f (x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)．
因為f (x)的圖象過(0，1)點，所以－a＝1，即a＝－1.
所以f (x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.
所以
[答案] B
跟蹤訓練
1. _________
解析：令y＝，∴x2＋y2＝4，x∈[0，2]．
作出圖象及由定積分的幾何意義知
×π×22＝π.
13、
答案：π
2．(2020年唐山模擬)由曲線y＝x2＋2x與直線y＝x所圍成的封閉圖形的面積為( )
A. B. C. D.
解析：在直角坐標系內，畫出曲線y＝x2＋2x和直線y＝x圍成的封閉圖形，如圖所示，由，得曲線與直線的兩個交點坐標為(－1，－1)和(0，0)，故封閉圖形的面積為
答案：A
析典題（預測高考）
高考真題
【真題】 (2020年高考安徽卷)設平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內，直線b在平面β內，且b⊥m，則“α⊥β ”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C
14、．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】 利用面面垂直的性質定理及空間直線的位置關系，判定充分必要條件．
當α⊥β時，由于α∩β＝m，b?β，b⊥m，由面面垂直的性質定理知，b⊥α.
又∵a?α，∴b⊥a.∴“α⊥β ”是“a⊥b”的充分條件．
而當a?α且a∥m時，∵b⊥m，∴b⊥a.而此時平面α與平面β不一定垂直，∴“α⊥β ”不是“a⊥b”的必要條件，故選A.
【答案】 A
【名師點睛】 本題借助面面垂直與線面垂直的性質及空間直線的位置關系考查充分必要條件的判定，解題時關鍵是理解面面垂直的性質定理．
考情展望
高考對充要條件的考查多以選擇題形式出現(xiàn)．主要涉及函數(shù)性質、三角、平面向量、直線與圓、空間位置關系、不等式性質等相關知識，綜合性較強，解法具有一定的靈活性．
名師押題
【押題】 “cos α＝”是“cos 2α＝－”的( )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】 ∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－，
∴由cos α＝可推出cos 2α＝－.
由cos 2α＝－得cos α＝±，∴由cos 2α＝－不能推出cos α＝.
【答案】 A
2020年高三數(shù)學二輪復習 專題一第一講 集合、常用邏輯用語與定積分教案 理
