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1、第十一章 概率名師檢測題
時間:120分鐘 分值:150分
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)
1.下列說法正確的一項是( )
A.互斥事件一定是對立事件,對立事件不一定是互斥事件
B.互斥事件不一定是對立事件,對立事件一定是互斥事件
C.事件A、B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率大
D.事件A、B同時發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率小
解析:由互斥事件與對立事件的意義可知,選B.
答案:B
2.某學(xué)校共有2020名學(xué)生,現(xiàn)將從中選派5名
2、學(xué)生去國家大劇院參加音樂晚會,若采用以下方法選?。合扔煤唵坞S機抽樣從2020名學(xué)生中剔除8名學(xué)生,再從2000名學(xué)生中隨機抽取5名,則其中學(xué)生甲被選派的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:依題意,對于簡單隨機抽樣來說,每個個體被選取的概率均相等,因此學(xué)生甲被選取的概率是,選D.
答案:D
3.設(shè)集合P={b,1},Q={c,1,2},PQ,若b,c∈{2,3,4,5,6,7,8,9},則b=c的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:依題意得當(dāng)b=2時,c可從3,4,5,6,7,8,9中選取,此時b≠c;當(dāng)b從3,4,5,6,7,
3、8,9中選取時,b=c.因此,b=c的概率為=,選C.
答案:C
4.10張獎券中只有3張有獎,5個人購買,每人1張,至少有1人中獎的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:無人中獎的概率為=.故至少有1人中獎的概率為1-=.
答案:D
點評:本題主要考查排列,組合,等可能事件的概率計算等知識,注意“至少”的出現(xiàn),一般是先求出其對立事件的概率.
5.羊村村長慢羊羊決定從喜羊羊、美羊羊、懶羊羊、暖羊羊、沸羊羊中選派兩只羊去割草,則喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:從5只羊中任選兩只,有C52=10種選法,喜
4、羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的結(jié)果有C21·C31=6種,故喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為==.選C.
答案:C
6.在正方體上任取三個頂點連成三角形,則所得的三角形是等腰三角形的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:依題意得,從正方體的八個頂點中任取三個頂點可形成的等腰三角形的個數(shù)按所選取的三個頂點是否來自于該正方體的同一個面來分類:(1)若所選取的三個頂點來自于該正方體的同一個面,這樣的三角形共有4×6=24個;(2)若所選取的三個頂點不是來自于該正方體的同一個面,這樣的三角形共有8個.而從正方體的八個頂點中任取三個頂點可形成的三角形共有C83=56個.
5、于是,所求的概率等于=,選D.
答案:D
7.兩個同學(xué)做同一道數(shù)學(xué)題,他們做對的概率分別是0.8和0.9,則該題至少被一個同學(xué)做對的概率是( )
A.0.72 B.0.83
C.0.7 D.0.98
解析:依題意,P=1-(1-0.8)×(1-0.9)=1-0.02=0.98,選D.
答案:D
8.一枚硬幣連擲5次,則至少一次正面向上的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:依題意得,一枚硬幣連擲5次,至少一次正面向上的概率等于1-5=,選B.
答案:B
9.在正方體的頂點、面的中心和體中心共15個點中任取三個點,那么所取三點共線的概率是( )
6、
A. B.
C. D.
解析:三點共線的情形有:面對角線,體對角線,相對面中心連線.概率P==.
答案:D
10.要從10名女生和5名男生中選出6名學(xué)生組成課外興趣小組,如果按性別依比例分層隨機抽樣,則組成此課外興趣小組的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:按分層抽樣的方法從10名女生和5名男生中選出6名學(xué)生,則女生中選4人,男生中選2人,共有C104C52種選法.而從15名學(xué)生中選6名學(xué)生共有C156種選法,故其概率P=,故選A.
答案:A
11.某籃球選手每次投籃命中的概率為,各次投籃相互獨立,令此選手投籃n次的命中率為an(an為進球數(shù)與n
7、之比),則事件“a6=,an≤,n=1,2,3,4,5”發(fā)生的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:依題意,因為a6=,an≤(n=1,2,3,4,5),所以第六次一定投中,第一次一定投不中,且第二次到第五次中只能投中兩次.若第二次投不中,則第三次到第五次投中兩次有3種方法,若第二次投中,則第三次必投不中,從而第四次到第五次投中一次有2種方法,因此事件a6=,an≤(n=1,2,3,4,5)發(fā)生的概率為=,選擇C.
答案:C
12.若一個四位數(shù)字的數(shù),前兩位數(shù)字之積恰好等于后面兩位數(shù),則稱這個數(shù)為“吉積數(shù)”.如“0900”,“1909”,“9218”等都為“吉積數(shù)”.
8、某地汽車牌照某批次的號碼前兩位是固定的英文字母,后面是四位數(shù)字,丁先生買了新車,給汽車上牌照時最多有三次選擇機會(有放回地隨機選擇號碼).丁先生選號時剛好是選這批號碼的第一位車主,如果他想選一個末尾數(shù)字沒有4的“吉積數(shù)”,則丁先生成功的最大概率最接近的值為( )
A.3% B.1%
C.0.88% D.2.64%
解析:顯然,在一個“吉積數(shù)”的車牌號中,確定了第1個和第2個數(shù)位上的數(shù)字,后面兩個數(shù)字自然就確定了.而每個數(shù)位上的數(shù)字有10種選擇,所以“吉積數(shù)”共有:C101C101=100個.而尾數(shù)為4的“吉積數(shù)”有:1404,2204,2714,3824,4104,4624,6
9、424,6954,7214,8324,8864,9654共12個,∴尾數(shù)不含4的“吉積數(shù)”有C101C101-12=88個,而這批車牌號碼一共有104個,∴選擇一次成功的概率為:P==0.0088.而丁先生一共有3次選擇的機會,∴成功的最大概率為0.0088×3=0.0264=2.64%,故選D.
答案:D
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上.)
13.某籃球運動員在三分線投球的命中率是,他投球10次,恰好投進3個球的概率為________.(用數(shù)值作答)
解析:C10337=.
答案:
14.從正二十邊形
10、的對角線中任取一條,則其與此正二十邊形的所有邊都不平行的概率為________.
解析:正二十邊形共有=170條對角線,在平面直角坐標(biāo)系中作一個單位圓,將單位圓與y軸正半軸的交點記作A1,然后按順時針方向在單位圓上等距離地依次取19個點,依次記為A2、A3、A4、A5、…、A20;
顯然,第11個點A11在單位圓與y軸負半軸的交點上,順次連接A1、A2、A3、A4、A5、…、A20,即可得到正二十邊形A1A2A3A4A5…A20,再連接A1A3、A2A4、A3A5、…、A10A12.
顯然A1A3不平行于任何一條邊,而與A1A3平行的對角線有:A20A4,A19A5,A18A6,A17A
11、7,A16A8,A15A9,A14A10,A13A11,共8條;
類似地,A2A4、A3A5、…、A10A12也均不平行于任何一條邊,且對于這9條對角線的每一條,也均有8條對角線與之平行;
故與正二十邊形的邊不平行的直線有10×9=90條.
其概率為P==.
答案:
15.一對酷愛運動的年輕夫婦,讓剛滿十個月大的嬰兒把“0,0,2,8,北,京”六張卡片排成一行,若嬰兒能使得卡片排成的順序為“2020北京”或“北京2020”,則受到父母的夸獎,那么嬰兒受到夸獎的概率為______.
解析:將“0,0,2,8,北,京”這六張卡片進行排列共有C62·A44=360(從6個位置中任選2個位
12、置作為0的位置,有C62種方法,然后再將“2,8,北,京”在余下的4個位置上進行排列共有A44種方法)種方法,在這些排列中只有兩種方法滿足要求,因此所求的概率是=.
答案:
16.分別寫有a,a,g,g,g,h,n,n,u的九張卡片隨意排成一列,恰能拼成“黃岡”的漢語拼音的概率是________.
解析:依題意,將a,a,g,g,g,h,n,n,u排成一列共有C91C81C72C52C33=15120種不同的排法,能組成“黃岡”的漢語拼音的只有1種,因此概率為.
答案:
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)甲、乙
13、兩人在同一位置向目標(biāo)射擊,已知在一次射擊中,甲、乙擊中目標(biāo)的概率分別為與.求:
(1)甲射擊兩次,至少一次擊中目標(biāo)的概率;
(2)甲、乙兩人各射擊兩次,他們一共擊中目標(biāo)2次的概率.
解析:(1)甲射擊一次,未擊中目標(biāo)的概率為1-=,
因此,甲射擊兩次,至少擊中目標(biāo)一次的概率為1-2=.
(2)設(shè)“甲、乙兩人各射擊兩次,甲擊中目標(biāo)2次,乙未擊中”為事件A;“甲、乙兩人各射擊兩次,乙擊中目標(biāo)2次,甲未擊中”為事件B;“甲、乙兩人各射擊兩次,甲、乙各擊中1次”為事件C,則
P(A)=2×2=;
P(B)=2×2=;
P(C)=C21×·C21×=.
因為事件“甲、乙兩人各射擊兩次,
14、共擊中目標(biāo)2次”為A+B+C,而A,B,C彼此互斥,
所以,甲、乙兩人各射擊兩次,共擊中目標(biāo)2次的概率為
P=P(A)+P(B)+P(C)=.
18.(本小題滿分12分)因冰雪災(zāi)害,某柑桔基地果林嚴(yán)重受損,為此有關(guān)專家提出一種拯救果樹的方案,該方案需分兩年實施且相互獨立,該方案預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.4、0.4;第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分別是0.3、0.3、0.4.
(1)求兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達到災(zāi)前產(chǎn)量的概率;
(2)求兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率.
解析:(1)令A(yù)
15、表示兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達到災(zāi)前產(chǎn)量這一事件,
則P(A)=0.2×0.4+0.4×0.3=0.2.
(2)令B表示兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件,
則P(B)=0.2×0.6+0.4×0.6+0.4×0.3=0.48.
19.(本小題滿分12分)甲、乙、丙三個同學(xué)都解同一道競賽題,若各自單獨解題,每個同學(xué)解出正確答案的概率都為;若任意兩個同學(xué)合成一組解,則這一組得出正確答案的概率為;若三個同學(xué)合成一組,則得出正確答案的概率為.問:怎樣安排,才能使這道題的解答正確的概率最大?說明理由.
解析:記A、B、C分別為事件“分三組解題、分二組解題、分一組解題,得出正確答案”
則P(A)=
16、1-P()=1-3=
P(B)=1-P()=1-·=
P(C)=.P(B)>P(C)>P(A)
∴三個同學(xué)分兩人一組,一人一組解題,解出正確答案的概率最大.
20.(本小題滿分12分)某城市有30%的家庭訂閱了A報,有60%的家庭訂閱了B報,有20%的家庭同時訂閱了A報和B報,從該城市中任取4個家庭.
(1)求這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報的概率;
(2)求這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報的概率;
(3)求這4個家庭中恰好有2個家庭A、B報都沒有訂閱的概率.
解析:(1)設(shè)“這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報”的事件為A,
P(A)=C43(0.3)3×(0.7)
17、=0.0756.
(2)設(shè)“這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報”的事件為B,
P(B)=1-(0.6)4=1-0.1296=0.8704.
(3)設(shè)“這4個家庭中恰好有2個家庭A、B報都沒有訂閱”的事件為C,
因為有30%的家庭訂閱了A報,有60%的家庭訂閱了B報.有20%的家庭同時訂閱了A報和B報.所以兩份報紙都沒有訂閱的家庭有30%.
所以P(C)=C42(0.3)2×(0.7)2=0.2646.
21.(本小題滿分12分)某家具城進行促銷活動,促銷方案是:顧客每消費1000元,便可以獲得獎券一張,每張獎券中獎的概率為,若中獎,則家具城返還顧客現(xiàn)金1000元.某顧客購買一張價
18、格為3400元的餐桌,得到3張獎券.
(1)求家具城恰好返還顧客現(xiàn)金1000元的概率;
(2)求家具城至少返還顧客現(xiàn)金1000元的概率.
解析:(1)家具城恰好返還給該顧客現(xiàn)金1000元即該顧客的三張獎券有且只有一張中獎
P=C31×2=.
(2)解法一:設(shè)家具城至少返還給該顧客現(xiàn)金1000元為事件A,這位顧客的三張獎券有且只有一張中獎為事件A1,這位顧客有且只有兩張中獎為事件A2,這位顧客三張都中獎為事件A3,則A=A1+A2+A3,A1、A2、A3是互斥事件.
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=C31×2+C322×+C333
=++=.
解法二:家具城至少
19、返還給該顧客現(xiàn)金1000元即這位顧客的三張獎券中至少有一張中獎,設(shè)為事件B.則它的對立事件為:三張獎券都沒有中獎
P(B)=1-P()
∵P()=C300×3=
∴P(B)=1-P()=.
22.(本小題滿分12分)某足球俱樂部2020年1月份安排4次體能測試,規(guī)定每位運動員一開始就要參加測試,一旦某次測試合格就不必參加以后的測試,否則4次測試都要參加.若運動員李明4次測試每次合格的概率依次組成一公差為的等差數(shù)列,他第一次測試合格的概率不超過,且他直至第二次測試才合格的概率為.
(1)求李明第一次參加測試就合格的概率P1;
(2)求李明1月份參加測試合格的概率.
解析:(1)設(shè)四
20、次測試合格的概率為a,a+,a+,a+,則(1-a)=,即a2-a+=0,解得a=或a=(舍去).
∴P1=a=.
∴李明第一次參加測試就合格的概率P1為.
(2)解法一:由(1)知李明四次測試合格的概率分別為
,,,,
直至第3次測試才合格的概率為
P3=××=;
直至第4次測試才合格的概率為
P4=×××=,
∴P1+P2+P3+P4=+++=,
∴李明1月份參加測試合格的概率為.
解法二:由(1)知李明四次測試合格的概率分別為,,,,則李明四次測試不合格的概率分別為,,,,
∴1月份李明參加測試不合格的概率為
×××=,
∴李明1月份參加測試合格的概率為1-=.