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1、第四部分：數列、不等式（5）
(限時：時間45分鐘，滿分100分)
一、選擇題
1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，則f(x)
有( )
A．最大值為0 B．最小值為0
C．最大值為－4 D．最小值為－4
【解析】 ∵x<0，∴－x>0，
∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，等號成立的條件是－x＝，即x＝－1.
【答案】 C
2．若00，
∴x(4－3x)＝·3x(4－3x)
≤·2＝，
當且僅當3x＝4－3x，
2、即x＝時取得等號．
【答案】 D
3．函數y＝log2x＋logx(2x)的值域
是( )
A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)
C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
【解析】 由題意可知x>0且x≠1，
∴y＝log2x＋logx2＋1＝log2x＋＋1，
當x>1時，log2x>0，
∴l(xiāng)og2x＋＋1≥2＋1＝3，
當且僅當(log2x)2＝1，即log2x＝1，
即x＝2時取得等號．
當0
3、x＝時取得等號．
【答案】 D
4．(2020年九江模擬)函數f(x)＝x2－2x＋，x∈(0,3)，則( )
A．f(x)有最大值 B．f(x)有最小值－1
C．f(x)有最大值1 D．f(x)有最小值1
【解析】 ∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，
∴(x－1)2∈[0,4)，∴f(x)＝(x－1)2＋－1≥2－1＝2－1＝1.
當且僅當(x－1)2＝，且x∈(0,3)，
即x＝2時取等號，
∴當x＝2時，函數f(x)有最小值1.
【答案】 D
5．當點(x，y)在直線x＋3y－2＝0上移動時，表達式3x＋27y＋1的最小值為( )
A．3 B．5
4、
C．1 D．7
【解析】 由x＋3y－2＝0得3y＝－x＋2，
∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x＋3－x＋2＋1
＝3x＋＋1≥2＋1＝7.
當且僅當3x＝，即3x＝3，即x＝1時取得等號．
【答案】 D
二、填空題
6．設M是△ABC內一點，且A·A＝2，∠BAC＝30°，定義f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分別是△MBC、△MCA、△MAB的面積，若f(M)＝，則＋的最小值是________．
【解析】 根據題意
·＝||·||cos∠BAC＝2，
可得||·||＝4，
所以S△ABC＝||||sin∠BAC＝1，
則＋x＋y＝1，即x＋y＝
5、，
所以＋＝2(x＋y)·
＝2≥2×(5＋4)＝18
.
【答案】 18
7．(2020年汕頭二模)已知a、b、c都是正數，且a＋2b＋c＝1，
則＋＋的最小值是________．
【解析】 ∵a、b、c都是正數，且a＋2b＋c＝1，
∴＋＋＝(a＋2b＋c)
＝4＋＋＋≥6＋4
(當且僅當a＝c＝b時取等號)．
【答案】 6＋4
8．已知0
6、長為400 m的操場如圖所示，操場的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學生的做操區(qū)域盡可能大，試問如何設計矩形的長和寬？
【解析】 設中間矩形區(qū)域的長，寬分別為x m，y m，中間的矩形區(qū)域面積為S，
則半圓的周長為，
因為操場周長為400，
所以2x＋2×＝400，
即2x＋πy＝400，
∴S＝xy＝·(2x)·(πy)≤·2＝，
由，解得.
∴當且僅當時等號成立，
即把矩形的長和寬分別設計為100 m和 m時，矩形區(qū)域面積最大．
10．經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千米
7、/小時)之間的函數關系式為
y＝(v>0)．
(1)在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/小時)；
(2)若要求在該時段內車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應在什么范圍內？
【解析】 (1)依題意，
y＝≤＝，
當且僅當v＝，
即v＝40時，上式等號成立．
所以ymax＝≈11.1(千輛/小時)．
所以當v＝40千米/小時時，車流量最大，最大車流量約為
11．1千輛/小時．
(2)由條件得>10，
整理得v2－89v＋1 600<0，
即(v－25)(v－64)<0，
解得25
2020年高考數學二輪限時訓練 數列、不等式 5 理
