2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題3 第2講 三角變換及解三角形同步練習(xí) 新人教A版

2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)同步練習(xí)：專題3 三角函數(shù)與平面向量 第2講 一、選擇題 1．(2020·遼寧理，4)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，則＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2 C. D. [答案]　D [解析]　∵asinAsinB＋bcos2A＝a， ∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA， sinB＝sinA，∴b＝a，∴＝. 2．(2020·福建理，3)若tanα＝3，則的值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 [答案]　D [解析]　由＝＝2tanα＝2×3＝6，故選D. 3．(2020·浙江理，6)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，則cos(α＋)＝(　　) A. B. － C. D. － [答案]　C [解析]　∵(＋α)－(－)＝α＋， ∴cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－) ∵0<α<，－<β<0， ∴<＋α<，<－<. 又cos(＋α)＝，cos(－)＝， ∴sin(＋α)＝，sin(－)＝. ∴cos(α＋)＝×＋×＝，選C. 4．(2020·四川理，6)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A的取值范圍是(　　) A．(0，] B．[，π) C．(0，] D．[，π) [答案]　C [解析]　∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC， ∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc， 由余弦定理得：cosA＝≥≥， ∴0<A≤，故選C. 5．(2020·新課標(biāo)理，5)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝(　　) A．－ B．－ C. D. [答案]　B [解析]　依題意：tanθ＝2，∴cosθ＝±， ∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－或 cos2θ＝＝＝－，故選B. 6．(2020·湖南理，6)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，則(　　) A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能確定 [答案]　A [解析]　∵∠C＝120°，c＝a， ∴在△ABC中，由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab 將c＝a代入上式得 2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2＝b2＋ab， ∴a2－b2＝ab>0，∴a>b. 7．(2020·天津理，6)如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD， 則sinC的值為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　如圖，根據(jù)條件，設(shè)BD＝2 在△ABC中，由正弦定理： ＝ 在△ABD中，由余弦定理：cosA＝＝， ∴sinA＝ ∴sinC＝＝＝＝＝，故選D. 8．(2020·浙江五校二次聯(lián)考)若△ABC的角A，B，C對邊分別為a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，則b＝(　　) A．5 B．25 C. D．5 [答案]　A [解析]　解法一：由S△ABC＝acsin45°＝2?c＝4， 再由余弦定理可得b＝5. 解法二：作三角形ABC中AB邊上的高CD， 在Rt△BDC中求得高CD＝，結(jié)合面積求得 AB＝4，AD＝，從而b＝＝5. 二、填空題 9．(2020·江蘇啟東中學(xué)模擬)在△ABC中，BC＝1，∠B＝，當(dāng)△ABC的面積等于時(shí)，tanC＝________. [答案]　－2 [解析]　S△ABC＝acsinB＝， ∴c＝4.由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝13， ∴cosC＝＝－，sinC＝， ∴tanC＝－＝－2. 10．(2020·山東理，15)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，則角A的大小為________． [答案]　 [解析]　sinB＋cosB＝sin＝， ∵0<B<π，∴<B＋<π，∴B＝， 又∵＝，∴sinA＝，∵a<b，∴A<B，故A＝. 11．(文)(2020·江西文，14)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若p(4，y)是角θ終邊上的一點(diǎn)，且sinθ＝－，則y＝________. [答案]?。? [解析]　|OP|＝，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義得，＝－，解得y＝±8， 又∵sinθ＝－<0及P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)， 可知θ為第四象限角，∴y＝－8. (理)(2020·上海理，8)函數(shù)y＝sin(＋x)cos(－x)的最大值為________． [答案]　 [解析]　∵y＝sin(＋x)cos(－x) ＝cosx(cosx＋sinx)＝cos2x＋sinxcosx ＝·＋sin2x＝(cos2x＋sin2x＋)＝sin(2x＋)＋， 故最大值為. 12．(2020·安徽理，14)已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為________． [答案]　15 [解析]　設(shè)三角形的三邊依次為a－4，a，a＋4，最大角為θ.由余弦定理得 (a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)cos120°， 則a＝10，所以三邊長為6,10,14， S△ABC＝×6×10×sin120°＝15. 三、解答題 13．(文)(2020·江蘇，15)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c. (1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值； (2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值． [解析]　(1)由題設(shè)知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.從而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝. 因?yàn)?<A<π，所以A＝. (2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得 a2＝b2－c2， 故△ABC是直角三角形，且B＝. 所以sinC＝cosA＝. (理)(2020·湖北理，16)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝. (1)求△ABC的周長； (2)求cos(A－C)的值． [解析]　(1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4，∴c＝2. ∴△ABC的周長為a＋b＋c＝1＋2＋2＝5. (2)∵cosC＝，∴sinC＝＝＝.∴sinA＝＝＝. ∵a<c，∴A<C，故A為銳角， ∴cosA＝＝＝， ∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝. 14．(文)(2020·江西文，17)在△ABC中，角A、B、C的對邊是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC (1)求cosA的值； (2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求邊c的值． [解析]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 有ccosB＋bcosC＝a，代入已知條件得3acosA＝a， 即cosA＝ (2)由cosA＝得sinA＝ 則cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC， 代入cosB＋cosC＝得cosC＋sinC＝，從而得 sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝　(0<φ<) 則C＋φ＝，于是sinC＝， 由正弦定理得c＝＝. (理)(2020·江西理，17)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知sinC＋cosC＝1－sin (1)求sinC的值 (2)若 a2＋b2＝4(a＋b)－8，求邊c的值 [解析]　(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC， 即sin(2cos＋1)＝2sin2 由sin≠0得2cos＋1＝2sin， 即sin－cos＝， 兩邊平方得：sinC＝. (2)由sin－cos＝>0得<<， 即<C<π，則由sinC＝得cosC＝－. 由a2＋b2＝4(a＋b)－8得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，得a＝2，b＝2， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋2， 所以c＝＋1. 15．(2020年5月南通、揚(yáng)州、泰州)已知向量m＝與n＝(3，sinA＋cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角． (1)求角A的大小； (2)若BC＝2，求△ABC的面積S的最大值，并判斷S取得最大值時(shí)△ABC的形狀． [解析]　(1)因?yàn)閙∥n， 所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0. 所以＋sin2A－＝0， 即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1. 因?yàn)锳∈(0，π)，所以2A－∈. 故2A－＝，A＝. (2)設(shè)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，則由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc. 而b2＋c2≥2bc，∴bc＋4≥2bc，∴bc≤4(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號成立)， 所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝， 當(dāng)△ABC的面積取最大值時(shí)，b＝c. 又A＝，故此時(shí)△ABC為等邊三角形．