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1、2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)同步練習(xí)：專(zhuān)題3 三角函數(shù)與平面向量 第2講
一、選擇題
1．(2020·遼寧理，4)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，則＝( )
A．2 B．2
C. D.
[答案] D
[解析] ∵asinAsinB＋bcos2A＝a，
∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，
sinB＝sinA，∴b＝a，∴＝.
2．(2020·福建理，3)若tanα＝3，則的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案] D
[解析] 由＝＝2tan
2、α＝2×3＝6，故選D.
3．(2020·浙江理，6)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，則cos(α＋)＝( )
A. B. －
C. D. －
[答案] C
[解析] ∵(＋α)－(－)＝α＋，
∴cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]
＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)
∵0<α<，－<β<0，
∴<＋α<，<－<.
又cos(＋α)＝，cos(－)＝，
∴sin(＋α)＝，sin(－)＝.
∴cos(α＋)＝×＋×＝，選C.
4．(2020·四川理，6)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2
3、C－sinBsinC，則A的取值范圍是( )
A．(0，] B．[，π)
C．(0，] D．[，π)
[答案] C
[解析] ∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，
∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，
由余弦定理得：cosA＝≥≥，
∴0
4、－1＝－或
cos2θ＝＝＝－，故選B.
6．(2020·湖南理，6)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，則( )
A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)0，∴a>b.
7．(2020·天津理，6)如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2B
5、D，
則sinC的值為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 如圖，根據(jù)條件，設(shè)BD＝2
在△ABC中，由正弦定理：
＝
在△ABD中，由余弦定理：cosA＝＝，
∴sinA＝
∴sinC＝＝＝＝＝，故選D.
8．(2020·浙江五校二次聯(lián)考)若△ABC的角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，則b＝( )
A．5 B．25
C. D．5
[答案] A
[解析] 解法一：由S△ABC＝acsin45°＝2?c＝4，
再由余弦定理可得b＝5.
解法二：作三角形ABC中AB邊上的高CD，
6、在Rt△BDC中求得高CD＝，結(jié)合面積求得
AB＝4，AD＝，從而b＝＝5.
二、填空題
9．(2020·江蘇啟東中學(xué)模擬)在△ABC中，BC＝1，∠B＝，當(dāng)△ABC的面積等于時(shí)，tanC＝________.
[答案]?。?
[解析] S△ABC＝acsinB＝，
∴c＝4.由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝13，
∴cosC＝＝－，sinC＝，
∴tanC＝－＝－2.
10．(2020·山東理，15)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，則角A的大小為_(kāi)_______．
[答案]
[解析] sinB＋co
7、sB＝sin＝，
∵0
8、)cos(－x)
＝cosx(cosx＋sinx)＝cos2x＋sinxcosx
＝·＋sin2x＝(cos2x＋sin2x＋)＝sin(2x＋)＋，
故最大值為.
12．(2020·安徽理，14)已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為_(kāi)_______．
[答案] 15
[解析] 設(shè)三角形的三邊依次為a－4，a，a＋4，最大角為θ.由余弦定理得
(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)cos120°，
則a＝10，所以三邊長(zhǎng)為6,10,14，
S△ABC＝×6×10×sin120°＝15.
三、解答題
13．(文)(
9、2020·江蘇，15)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.
(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
[解析] (1)由題設(shè)知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.從而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.
因?yàn)?
10、C＝.
(1)求△ABC的周長(zhǎng)；
(2)求cos(A－C)的值．
[解析] (1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4，∴c＝2.
∴△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cosC＝，∴sinC＝＝＝.∴sinA＝＝＝.
∵a
11、
[解析] (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC
有ccosB＋bcosC＝a，代入已知條件得3acosA＝a，
即cosA＝
(2)由cosA＝得sinA＝
則cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，
代入cosB＋cosC＝得cosC＋sinC＝，從而得
sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝ (0<φ<)
則C＋φ＝，于是sinC＝，
由正弦定理得c＝＝.
(理)(2020·江西理，17)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知sinC＋cosC＝1－sin
(1)求sinC的值
12、(2)若 a2＋b2＝4(a＋b)－8，求邊c的值
[解析] (1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，
即sin(2cos＋1)＝2sin2
由sin≠0得2cos＋1＝2sin，
即sin－cos＝，
兩邊平方得：sinC＝.
(2)由sin－cos＝>0得<<，
即
13、BC的內(nèi)角．
(1)求角A的大?。?
(2)若BC＝2，求△ABC的面積S的最大值，并判斷S取得最大值時(shí)△ABC的形狀．
[解析] (1)因?yàn)閙∥n，
所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0.
所以＋sin2A－＝0，
即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1.
因?yàn)锳∈(0，π)，所以2A－∈.
故2A－＝，A＝.
(2)設(shè)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.
而b2＋c2≥2bc，∴bc＋4≥2bc，∴bc≤4(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立)，
所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝，
當(dāng)△ABC的面積取最大值時(shí)，b＝c.
又A＝，故此時(shí)△ABC為等邊三角形．
2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題3 第2講 三角變換及解三角形同步練習(xí) 新人教A版
