2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2章1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)闖關(guān)（含解析） 北師大版

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1、2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2章1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)闖關(guān)（含解析） 北師大版 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 已知橢圓＋＝1上一點(diǎn)P到其一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．5 D．7 解析：選D.由方程知a＝5，設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，則|PF1|＋|PF2|＝10，所以點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10－3＝7. (2020·焦作調(diào)研)橢圓2x2＋y2＝8的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(±2，0) B．(0，±2) C．(±2，0) D．(0，±2) 解析：選B.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1， ∴橢圓焦

2、點(diǎn)在y軸上，且c2＝8－4＝4， ∴焦點(diǎn)為(0，±2)． 已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是(　　) A．2 B．6 C．4 D．12 解析：選C.設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F(如圖)，則△ABC的周長(zhǎng)為(|AB|＋|BF|)＋(|CA|＋|CF|)＝2a＋2a＝4a.而a2＝3，a＝，∴4a＝4， 即△ABC的周長(zhǎng)為4. 已知圓x2＋y2＝1，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP′，則線段PP′的中點(diǎn)M的軌跡方程是________． 解析：設(shè)點(diǎn)M(x，y)，P(x0，y0)，則x＝

3、，y＝y(tǒng)0. ∵P(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.① 將x0＝2x，y0＝y(tǒng)代入①得4x2＋y2＝1. 答案：4x2＋y2＝1 (2020·淮北質(zhì)檢)過(guò)點(diǎn)A(－1，－2)且焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，(0，－)， ∴2a＝＋， ∴a2＝6，∴b2＝a2－c2＝6－3＝3， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 答案：＋＝1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)兩個(gè)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A(，－2)和B(－2，1)兩點(diǎn)； (2)a＝4，c＝； (3)過(guò)點(diǎn)P(－3，2)，且與橢圓＋＝1

4、有相同的焦點(diǎn)． 解：(1)設(shè)所求橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，由A(，－2)和B(－2，1)兩點(diǎn)在橢圓上可得 ，即， 解得. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)因?yàn)閍＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋y2＝1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋x2＝1. (3)因?yàn)樗蟮臋E圓與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在x軸上，且c2＝5. 設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)． 因?yàn)樗髾E圓過(guò)點(diǎn)P(－3，2)，所以有＋＝1① 又a2－b2＝c2＝5，② 由①②解得a2＝15，b2＝10. 故所求橢圓

5、的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. [B級(jí)　能力提升] (2020·上饒檢測(cè))橢圓＋＝1上的一點(diǎn)M到其左焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|等于(　　) A．2　　　　　　　　 B．4 C．8 D. 解析：選B.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，則由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8，ONMF2，所以|ON|＝|MF2|＝4. (2020·南昌質(zhì)檢)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1”表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C.橢圓方程為＋＝1， 當(dāng)m

6、>n>0時(shí)，有<，∴橢圓焦點(diǎn)在y軸上． 當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，有>>0， ∴m>n>0.∴是充要條件． 如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2的值是________． 解析：因?yàn)镕1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且正三角形POF2的面積為，所以S△POF2＝|OF2|·|PO|sin 60°＝c2＝，所以c2＝4. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即(1，)，∴＋＝1， 又b2＋c2＝a2，所以，解得b2＝2. 答案：2 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的三邊分別是a，b，c，且|BC|＝2，求滿足b，a

7、，c成等差數(shù)列且c>a>b的頂點(diǎn)A的軌跡． 解：由已知條件可得b＋c＝2a，則|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，結(jié)合橢圓的定義知點(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)的一個(gè)橢圓上，且橢圓的焦距為2. 以BC所在的直線為x軸，BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示． 設(shè)頂點(diǎn)A所在的橢圓方程為＋＝1(m>n>0)，則m＝2，n2＝22－12＝3，從而橢圓方程為＋＝1.又c>a>b且A是△ABC的頂點(diǎn)，結(jié)合圖形，易知x>0，y≠0. 故頂點(diǎn)A的軌跡是橢圓＋＝1的右半部分(x>0，y≠0)． (創(chuàng)新題) 船上兩根高7.5 m的桅桿相距15 m，一條30 m長(zhǎng)的繩子，兩端系在桅桿的頂上，并按如圖所示的方式繃緊．假設(shè)繩子位于兩根桅桿所在的平面內(nèi)，求繩子與甲板接觸點(diǎn)P到桅桿AB的距離． 解：以兩根桅桿的頂端A，C所在的直線為x軸，線段AC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則P點(diǎn)在以A，C為焦點(diǎn)的橢圓上，依題意，此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.因?yàn)镻點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－7.5，代入橢圓方程可解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－12.25，－7.5)，所以P到桅桿AB的距離為12.25－7.5＝4.75(m)．