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1、第十四章 系列4第四節(jié) 4-5不等式證明第一部分 三年高考薈萃
一、選擇題
1.（山東理4）不等式的解集是
A．[-5，7] B．[-4，6]
C． D．
【答案】D m
二、填空題
1.（陜西理15）（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評10.分）
A．（不等式選做題）若關(guān)于的不等式存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。
答案
2.（江西理15）（2）（不等式選做題）對于實(shí)數(shù),若的最大值為
【答案】5
三、解答題
1.（福建理21）本題設(shè)有（1）
2、、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，做答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
設(shè)不等式的解集為M．
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小．
答案
（3）選修4—5：不等式選講
本小題主要考查絕對值不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7分。
解：（I）由
所以
（II）由（I）和，
所以
故
2.（遼寧理24）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)=|x-2|x
3、-5|．
（I）證明：≤≤3；
（II）求不等式≥x2x+15的解集．
解：
（I）因?yàn)镋C=ED，所以∠EDC=∠ECD.
因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA，
所以CD//AB. …………5分
（II）由（I）知，AE=BE，因?yàn)镋F=FG，故∠EFD=∠EGC
從而∠FED=∠GEC.
連結(jié)AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，
又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓 …………10分
解：
4、（I）
當(dāng)
所以 ………………5分
（II）由（I）可知，
當(dāng)?shù)慕饧癁榭占?
當(dāng)；
當(dāng).
綜上，不等式 …………10分
3.（全國新課標(biāo)理24）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)，其中．
（I）當(dāng)a=1時，求不等式的解集．
（II）若不等式的解集為｛x|，求a的值．
解：
（Ⅰ）當(dāng)時，可化為
．
由此可得 或．
故不等式的解集為
或．
(Ⅱ) 由得
此不等式化為不等式組
或
即 或
因?yàn)?，所以不等式組的解集為
由題設(shè)可得= ，故
5、
2020年高考題
一、填空題
1.（2020陜西文）（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A.（不等式選做題）不等式<3的解集為. 。
【答案】
解析：
B.（幾何證明選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD＝ cm.
【答案】
解析：,由直角三角形射影定理可得
二、簡答題
2.（2020遼寧理）（24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時，等號成立。
6、證明：（證法一）
因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由平均值不等式得
①
所以 ② ……6分
故.
又 ③
所以原不等式成立. ……8分
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，①式和②式等號成立。當(dāng)且僅當(dāng)時，③式等號成立。
即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時，原式等號成立。 ……10分
（證法二）
因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得
所以
7、 ①
同理 ② ……6分
故
③
所以原不等式成立. ……8分
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，①式和②式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，時，③式等號成立。
即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時，原式等號成立。 ……10分
3.（2020福建理）本題設(shè)有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分。如果多做，則按所做的前兩題計分。作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，
8、并將所選題號填入括號中。
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=，，且，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求直線在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程。
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xoy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）。在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為。
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)圓C與直線交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
求|PA|+|PB|。
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)。
（Ⅰ）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；
9、（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
（1）選修4-2：矩陣與變換
【命題意圖】本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由題設(shè)得，解得；
（Ⅱ）因?yàn)榫仃嘙所對應(yīng)的線性變換將直線變成直線（或點(diǎn)），所以可取直線上的兩（0，0），（1，3），
由，得：點(diǎn)（0，0），（1，3）在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像是（0，0），（-2，2），從而
直線在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程為。
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
【命題意圖】本小題主要考查直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力。
10、
【解析】（Ⅰ）由得即
（Ⅱ）將的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，
即由于，故可設(shè)是上述方程的兩實(shí)根，
所以故由上式及t的幾何意義得：
|PA|+|PB|==。
（3）選修4-5：不等式選講
【命題意圖】本小題主要考查絕對值的意義、絕對值不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由得，解得，
又已知不等式的解集為，所以，解得。
（Ⅱ）當(dāng)時，，設(shè)，于是
=，所以
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，。
4.（2020江蘇卷）21.[選做題]本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答。若多做，則按作答的前兩題評分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過
11、程或演算步驟。
D． 選修4-5：不等式選講
（本小題滿分10分）
設(shè)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：。
[解析] 本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的能力。滿分10分。
（方法一）證明：
因?yàn)閷?shí)數(shù)a、b≥0，
所以上式≥0。即有。
（方法二）證明：由a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得
當(dāng)時，，從而，得；
當(dāng)時，，從而，得；
所以。
2020年高考題
一、 簡答題
1、（09海南24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
如圖，O為數(shù)軸的原點(diǎn)，A,B,M為數(shù)軸上三點(diǎn)，C為線段OM上的動點(diǎn)，設(shè)x表示C與原點(diǎn)的距離，y 表示C到A距離4倍與C道B距離的6倍的和.
（1）將y表示成x的函數(shù)；
（2）要使y的值不超過70，x 應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？
解
（Ⅰ）
（Ⅱ）依題意，x滿足
{
解不等式組，其解集為【9，23】
所以
2、（09江蘇）D. 選修4 - 5：不等式選講
設(shè)≥＞0,求證：≥.
證明：
因?yàn)椤荩?,所以≥0，＞0，從而≥0，
即≥.
2020版高考數(shù)學(xué) 3年高考2年模擬 第14章 第四節(jié) 4-5不等式的證明
