2020高考數(shù)學 課后作業(yè) 2-8 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應用

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1、2-8 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應用 1.(2020·湘潭調研)下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是(　　) [答案]　C [解析]　能用二分法求零點的函數(shù)必須在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)·f(b)<0.A、B選項中不存在f(x)<0，D選項中零點兩側函數(shù)值同號，故選C. 2．(文)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且f(x)在(－2,2)內有一個零點，則f(－2)·f(2)的值(　　) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定 [答案]　D [解析]　若函數(shù)f(x)在(－2,2)內有且僅有一個零點

2、，且是變號零點，才有f(－2)·f(2)<0，故由條件不能確定f(－2)·f(2)的值的符號． (理)(2020·北京東城一模)已知函數(shù)f(x)＝()x－x，在下列區(qū)間中，含有函數(shù)f(x)零點的是(　　) A．(0，) B．(，) C．(，1) D．(1,2) [答案]　B [解析]　f(0)＝1>0，f()＝()－()>0，f()＝()－()<0， ∵f()·f()<0，且函數(shù)f(x)的圖象為連續(xù)曲線， ∴函數(shù)f(x)在(，)內有零點． [點評]　一個簡單的零點存在性判斷題涵蓋了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性與零點存在性定理，難度不大，但有一定的綜合性，要多加強這種小題訓練

3、，做題不一定多，但卻能將應掌握的知識都訓練到． 3．(文)(2020·杭州模擬)函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內零點的個數(shù)為(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 [答案]　C [解析]　在同一坐標系內作出函數(shù)y＝|x－2|與y＝lnx的圖象，∵lne＝1，e<3，∴由圖象可見兩函數(shù)圖象有兩個交點，∴函數(shù)f(x)有兩個零點． (理)(2020·吉林市質檢)函數(shù)f(x)＝x－sinx在區(qū)間[0,2π]上的零點個數(shù)為(　　) A．1個　 　 B．2個　 　 C．3個　 　D．4個 [答案]　B [解析]　在同一坐標系中作出函數(shù)y＝x與y＝sinx的

4、圖象，易知兩函數(shù)圖象在[0,2π]內有兩個交點． 4．(2020·深圳一檢)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是(　　) A．x1

5、＝＋1>1，即x3>1，從而可知x10)上是單調函數(shù)，且f(0)·f(a)<0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內根的個數(shù)是(　　) A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0 [答案]　B [解析]　∵f(0)·f(a)<0，∴f(x)在[0，a]中至少有一個零點，又∵f(x)在[0，a]上是單調函數(shù)，∴f(x)在[0，a]上有且僅有一個零點．又∵f(x)是偶函數(shù)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在[－a,0)中也只有一個零點，故f(x)在[－a，a]內有兩個零點，即方程f(x)＝0在區(qū)間[

6、－a，a]內根的個數(shù)為2個．故選B. 6．(文)(2020·北京西城區(qū)抽檢)某航空公司經(jīng)營A、B、C、D這四個城市之間的客運業(yè)務．它的部分機票價格如下：A—B為2000元；A—C為1600元；A—D為2500元；B—C為1200元；C—D為900元．若這家公司規(guī)定的機票價格與往返城市間的直線距離成正比，則B—D的機票價格為(　　) (注：計算時視A、B、C、D四城市位于同一平面內) A．1000元 B．1200元 C．1400元 D．1500元 [答案]　D [解析]　注意觀察各地價格可以發(fā)現(xiàn)：A、C、D三點共線，A、C、B構成以C為頂點的直角三角形，如圖可知BD＝5×30

7、0＝1500. [點評]　觀察、分析、聯(lián)想是重要的數(shù)學能力，要在學習過程中加強培養(yǎng)． (理) (2020·濟南一中)如圖，A、B、C、D是四個采礦點，圖中的直線和線段均表示公路，四邊形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四個采礦點的采礦量之比為6：2：3：4，且運礦費用與路程和采礦量的乘積成正比．現(xiàn)從P、Q、R、S中選一個中轉站，要使中轉費用最少，則應選(　　) A．P點　　　 B．Q點　　　 C．R點　　　 D．S點 [答案]　B [解析]　設圖中每個小正方形的邊長均為1，A、B、C、D四個采礦點的采礦量分別為6a,2a,3a,4a(a>0)

8、，設si(i＝1,2,3,4)表示運礦費用的總和，則只需比較中轉站在不同位置時si(i＝1,2,3,4)的大?。绻x在P點，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果選在Q點，s2＝6a×2＋2a＋3a×2＋4a×3＝32a，如果選在R處，s3＝6a×4＋2a×3＋3a＋4a×2＝33a，如果選在S處，s4＝6a×4＋2a×3＋3a×2＋4a＝40a，顯然，中轉站選在Q點時，中轉費用最少． 7．定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)，當x≥0時，y＝f(x)單調遞增，f(1)·f(2)<0.則函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點個數(shù)是________． [答案]　2 [解析]　由已知

9、可知，在[0，＋∞)上存在惟一x0∈(1,2)，使f(x0)＝0，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以存在x′0∈(－2，－1)，使f(x′0)＝0，且x′0＝－x0.故函數(shù)的圖象與x軸有2個交點． 8. (2020·浙江金華十校聯(lián)考)有一批材料可以建成200m長的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成場地的最大面積為________(圍墻的厚度不計)． [答案]　2500m2 [解析]　設所圍場地的長為x，則寬為，其中0

10、． 9．(文)(2020·揭陽市模擬)某農場，可以全部種植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等農作物，且產品全部供應距農場d(km)(d<200km)的中心城市，其產銷資料如表：當距離d達到n(km)以上時，四種農作物中以全部種植稻米的經(jīng)濟效益最高．(經(jīng)濟效益＝市場銷售價值－生產成本－運輸成本)，則n的值為________. 作物 項目 水果 蔬菜 稻米 甘蔗 市場價格(元/kg) 8 3 2 1 生產成本(元/kg) 3 2 1 0.4 運輸成本(元/kg·km) 0.06 0.02 0.01 0.01 單位面積相對產量(kg) 10 15 40 3

11、0 [答案]　50 [解析]　設單位面積全部種植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的經(jīng)濟效益分別為y1、y2、y3、y4，則y1＝50－0.6d，y2＝15－0.3d，y3＝40－0.4d，y4＝18－0.3d， 由?50≤d<200，故n＝50. (理)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________. [答案]　－8 [解析]　解法1：由已知，定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖象一定過原點，又f(x)在區(qū)間[0,2]上為增函數(shù)，

12、所以方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[0,2]上有且只有一個根，不妨設為x1； ∵f(x1)＝－f(－x1)＝－[－f(－x1＋4)]＝f(－x1＋4)，∴－x1＋4∈[2,4]也是一個根，記為x2，∴x1＋x2＝4. 又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴f(x)是周期為8的周期函數(shù)， ∴f(x1－8)＝f(x1)＝m，不妨將此根記為x3， 且x3＝x1－8∈[－8，－6]；同理可知x4＝x2－8∈[－6，－4]， ∴x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x2＋x1－8＋x2－8＝－8. 解法2：∵f(x)為奇函數(shù)，且f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－4)＝f(

13、－x)，以2－x代入x得： f(－2－x)＝f(－2＋x) ∴f(x)的圖象關于直線x＝－2對稱， 又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)的圖象關于直線x＝2也對稱． 又f(x－8)＝f((x－4)－4)＝－f(x－4)＝f(x)， ∴f(x)的周期為8. 又在R上的奇函數(shù)f(x)有f(0)＝0，f(x)在[0,2]上為增函數(shù)，方程f(x)＝m，在[－8,8]上有四個不同的根x1、x2、x3、x4. ∴必在[－2,2]上有一實根，不妨設為x1，∵m>0，∴0≤x1≤2，∴四根中一對關于直線x＝2對稱一對關于直線x＝－6對稱，故x1＋x2＋x3＋x4＝2×2＋2×(－6)＝－8. 10．

14、當前環(huán)境問題已成為問題關注的焦點，2020的哥本哈根世界氣候大會召開后，為減少汽車尾氣對城市空氣的污染，某市決定對出租車實行使用液化氣替代汽油的改裝工程，原因是液化氣燃燒后不產生二氧化硫、一氧化氮等有害氣體，對大氣無污染，或者說非常?。埜鶕?jù)以下數(shù)據(jù)：①當前汽油價格為2.8元/升，市內出租車耗油情況是一升汽油大約能跑12千米；②當前液化氣價格為3元/千克，一千克液化氣平均可跑15～16千米；③一輛出租車日平均行程為200千米． (1)從經(jīng)濟角度衡量一下使用液化氣和使用汽油哪一種更經(jīng)濟(即省錢)； (2)假設出租車改裝液化氣設備需花費5000元，請問多長時間省出的錢等于改裝設備花費的錢．

15、[解析]　(1)設出租車行駛的時間為t天，所耗費的汽油費為W元，耗費的液化氣費為P元， 由題意可知，W＝×2.8＝(t≥0且t∈N) ×3≤P≤×3　(t≥0且t∈N)， 即37.5t≤P≤40t.又>40t，即W>P， 所以使用液化氣比使用汽油省錢． (2)①設37.5t＋5000＝，解得t≈545.5， 又t≥0，t∈N，∴t＝546. ②設40t＋5000＝，解得t＝750. 所以，若改裝液化氣設備，則當行駛天數(shù)t∈[546,750]時，省出的錢等于改裝設備的錢. 11.某電視新產品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，

16、第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關系的是(　　) A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 [答案]　C [解析]　觀察前四個月的數(shù)據(jù)規(guī)律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)變化規(guī)律符合指數(shù)型函數(shù)模型的增長規(guī)律，故選C. [點評]　也可以將x＝1,2,3,4，依次代入四個選項中，通過對比差異大小來作判斷，但計算量比較大． 12．(文)(2020·舟山月考)函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)是(　　) A．0　

17、　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 [答案]　D [解析]　令－x(x＋1)＝0得x＝0或－1，滿足x≤0； 當x>0時，∵lnx與2x－6都是增函數(shù)， ∴f(x)＝lnx＋2x－6(x>0)為增函數(shù)， ∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上有且僅有一個零點， 故f(x)共有3個零點． (理)(2020·瑞安中學)函數(shù)f(x)在[－2,2]內的圖象如圖所示，若函數(shù)f(x)的導函數(shù)f ′(x)的圖象也是連續(xù)不間斷的，則導函數(shù)f ′(x)在(－2,2)內有零點(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．至少3個 [答案]　D

18、 [解析]　f ′(x)的零點，即f(x)的極值點，由圖可知f(x)在(－2,2)內，有一個極大值和兩個極小值，故f(x)在(－2，2)內有三個零點，故選D. 13．(2020·安徽江南十校聯(lián)考)某流程圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝＋ C．f(x)＝ D．f(x)＝lgsinx [答案]　C [解析]　根據(jù)程序框圖知輸出的函數(shù)為奇函數(shù)，并且此函數(shù)存在零點．經(jīng)驗證：f(x)＝不存在零點；f(x)＝＋不存在零點；f(x)＝的定義域為全體實數(shù)，且f(－x)＝＝－f(x)，故此函數(shù)為奇函數(shù)，且令f(x)＝＝0，得x＝0

19、，函數(shù)f(x)存在零點；f(x)＝lgsinx不具有奇偶性． 14．(文)(2020·山東濟寧一模)已知a是函數(shù)f(x)＝2x－x的零點，若00 D．f(x0)的符號不確定 [答案]　B [解析]　 分別作出y＝2x與y＝x的圖象如圖， 當0

20、n＝(n∈N*) B．an＝n(n－1)(n∈N*) C．an＝n－1(n∈N*) D．an＝2n－2(n∈N*) [答案]　C [解析]　當x≤0時，f(x)＝2x－1；當0

21、文)某加工廠需定期購買原材料，已知每公斤原材料的價格為1.5元，每次購買原材料需支付運費600元．每公斤原材料每天的保管費用為0.03元，該廠每天需消耗原材料400公斤，每次購買的原材料當天即開始使用(即有400公斤不需要保管)． (1)設該廠每x天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在x天內總的保管費用y1(元)關于x的函數(shù)關系式； (2)求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y(元)最少，并求出這個最小值． [解析]　(1)每次購買原材料后，當天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用

22、掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次購買原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天． ∴每次購買的原材料在x天內的保管費用為 y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x. (2)由(1)可知，購買一次原材料的總的費用為6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)， ∴購買一次原材料平均每天支付的總費用為 y＝＋6x＋594＝2＋594＝714. 當且僅當＝6x，即x＝10時，取得等號． ∴該廠10天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費用最少，最少費用為714元． (理)(2020·日照模擬)張林

23、在李明的農場附近建了一個小型工廠，由于工廠生產須占用農場的部分資源，因此李明每年向張林索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定的凈收入．工廠在不賠付農場的情況下，工廠的年利潤x(元)與年產量t(噸)滿足函數(shù)關系x＝2000，若工廠每生產一噸產品必須賠付農場s元(以下稱s為賠付價格)． (1)將工廠的年利潤w(元)表示為年產量t(噸)的函數(shù)，并求出工廠獲得最大利潤的年產量； (2)若農場每年受工廠生產影響的經(jīng)濟損失金額y＝0.002t2(元)，在工廠按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下，農場要在索賠中獲得最大凈收入，應向張林的工廠要求賠付價格s是多少？ [解析]　(1)工廠的實際年利潤為： w＝2

24、000－st(t≥0)． w＝2000－st＝－s(－)2＋， 當t＝()2時，w取得最大值． 所以工廠取得最大年利潤的年產量t＝()2(噸)． (2)設農場凈收入為v元， 則v＝st－0.002t2. 將t＝()2代入上式， 得v＝－. 又v′＝－＋ ＝， 令v′＝0，得s＝20. 當00； 當s>20時，v′<0. 所以當s＝20時，v取得最大值． 因此李明向張林要求賠付價格s為20元/噸時，獲得最大凈收入． 1．(2020·江蘇南通九校)若a>1，設函數(shù)f(x)＝ax＋x－4的零點為m，g(x)＝logax＋x－4的零點為n，則＋的取

25、值范圍是(　　) A．(3.5，＋∞) B．(1，＋∞) C．(4，＋∞) D．(4.5，＋∞) [答案]　B [分析]　欲求＋的取值范圍，很容易聯(lián)想到基本不等式，于是需探討m、n之間的關系，觀察f(x)與g(x)的表達式，根據(jù)函數(shù)零點的意義，可以把題目中兩個函數(shù)的零點和轉化為指數(shù)函數(shù)y＝ax和對數(shù)函數(shù)y＝logax與直線y＝－x＋4的交點的橫坐標，因為指數(shù)函數(shù)y＝ax和對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，故其圖象關于直線y＝x對稱，又因直線y＝－x＋4垂直于直線y＝x，指數(shù)函數(shù)y＝ax和對數(shù)函數(shù)y＝logax與直線y＝－x＋4的交點的橫坐標之和是直線y＝x與y＝－x＋4的交點的

26、橫坐標的2倍，這樣即可建立起m，n的數(shù)量關系式，進而利用基本不等式求解即可． [解析]　令ax＋x－4＝0得ax＝－x＋4，令logax＋x－4＝0得logax＝－x＋4， 在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝ax，y＝logax，y＝－x＋4的圖象，結合圖形可知，n＋m為直線y＝x與y＝－x＋4的交點的橫坐標的2倍，由，解得x＝2，所以n＋m＝4， 因為(n＋m)＝1＋1＋＋≥4，又n≠m，故(n＋m)>4，則＋>1. 2．(2020·溫州十校模擬)已知函數(shù)f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若對于任一實數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是(　

27、　) A．(0,2) B．(0,8) C．(2,8) D．(－∞，0) [答案]　B [解析]　當m≤0時，顯然不合題意；當m>0時，f(0)＝1>0，①若對稱軸≥0即04，只要Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)<0即可，即4

28、b]上的“1級矩形”函數(shù)，則滿足條件的常數(shù)對(a，b)共有(　　) A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 [答案]　C [分析]　由“k級矩形”函數(shù)的定義可知，f(x)＝x3的定義區(qū)間為[a，b]時，值域為[a，b]，可考慮應用f(x)的單調性解決． [解析]　∵f(x)＝x3在[a，b]上單調遞增， ∴f(x)的值域為[a3，b3]． 又∵f(x)＝x3在[a，b]上為“1級矩形”函數(shù)， ∴，解得或或， 故滿足條件的常數(shù)對共有3對． [點評]　自定義題是近年來備受命題者青睞的題型，它能較好地考查學生對新知識的閱讀理解能力，而這恰是學生后續(xù)學習必須具備的能力，解決

29、這類問題的關鍵是先仔細審題，弄清“定義”的含義，把“定義”翻譯為我們已掌握的數(shù)學知識．然后加以解決． 4. 如圖，有四個平面圖形分別是三角形、平行四邊形、直角梯形、圓．垂直于x軸的直線l：x＝t(0≤t≤a)經(jīng)過原點O向右平行移動，l在移動過程中掃過平面圖形的面積為y(圖中陰影部分)，若函數(shù)y＝f(t)的大致圖象如圖，那么平面圖形的形狀不可能是(　　) [答案]　C [解析]　A、B、D的面積都是隨著t的增大而增長的速度越來越快，到t＝時，增長的速度又減慢，而C圖則從t＝開始勻速增大與f(t)不符． 5．(2020·天津市南開區(qū)?？?已知函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，a

30、≠1)，那么函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．至少1個 [答案]　D [解析]　在同一坐標系中作出函數(shù)y＝ax與y＝x＋a的圖象，a>1時，如圖(1)，0

31、′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù)．若存在零點，則 ，解得a＋1≤b≤8＋2a.因此能使函數(shù)在區(qū)間[1,2]上有零點的有：a＝1,2≤b≤10，故b＝2，b＝4，b＝8.a＝2,3≤b≤12，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝3,4≤b≤14，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝4,5≤b≤16，故b＝8，b＝12.根據(jù)古典概型可得有零點的概率為. 7．設函數(shù)y＝x3與y＝()x－2的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) [答案]　B [解析]　令g(x)＝x3－22－x，可求

32、得g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，g(3)>0，g(4)>0.易知函數(shù)g(x)的零點所在區(qū)間為(1,2)． 8．(2020·福建理，4)函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 [答案]　C [解析]　令x2＋2x－3＝0得，x＝－3或1 ∵x≤0，∴x＝－3，令－2＋lnx＝0得，lnx＝2 ∴x＝e2>0，故函數(shù)f(x)有兩個零點． 9．(2020·龍巖模擬)如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am(0

33、BCD.設此矩形花園的面積為Sm2，S的最大值為f(a)，若將這棵樹圍在花園內，則函數(shù)u＝f(a)的圖象大致是(　　) [答案]　C [解析]　設BC＝x，則DC＝16－x，由得a≤x≤12，矩形面積S＝x(16－x)　(a≤x≤12)，顯然當a≤8時，矩形面積最大值U＝64，為常數(shù)，當a>8時，在x＝a時，矩形面積取最大值u＝a(16－a)，在[a,12]上為減函數(shù)，故選C. 10．已知y＝x(x－1)(x＋1)的圖象如圖所示，今考慮f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，則方程f(x)＝0. ①有三個實根 ②當x<－1時，恰有一實根 ③當－1

34、一實根 ④當01時，恰有一實根 正確的有________． [答案]?、佗? [解析]　∵f(－2)＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0， 即f(－2)·f(－1)<0， ∴在(－2，－1)內有一個實根，結合圖象知，方程在(－∞，－1)上恰有一個實根．所以②正確． 又∵f(0)＝0.01>0，結合圖象知f(x)＝0在(－1,0)上沒有實數(shù)根，所以③不正確． 又∵f(0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f(1)>0.所以f(x)＝0在(0.5,1)上必有一實根，在(0，0.5)上也有一個實根．∴f(x)＝0在(0,1)上有兩個實根．所以④不正確． 由f(1)>0結合圖象知，f(x)＝0在(1，＋∞)上沒有實根，∴⑤不正確，由此可知①正確．