2020高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn) 概率與統(tǒng)計(jì) 計(jì)算題2

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1、【命中考心】2020高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)之概率與統(tǒng)計(jì) 計(jì)算題2 計(jì)算題 11.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到時(shí)下面試驗(yàn)結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106）

2、 [106，110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 （I）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （II）已知用B配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤(rùn)y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為 從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X（單位：元）．求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）． 解 （Ⅰ）由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3． 由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42

3、（Ⅱ）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04，，054，0.42，因此 P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42， 即X的分布列為 －2 2 4 0.04 0.54 0.42 X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 12.紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A，乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。 （Ⅰ）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率； （Ⅱ）用表示紅隊(duì)

4、隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解：（I）設(shè)甲勝A的事件為D， 乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F， 則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。 因?yàn)? 由對(duì)立事件的概率公式知 紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有： 由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立， 因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為 （II）由題意知可能的取值為0，1，2，3。 又由（I）知是兩兩互斥事件， 且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立， 因此 由對(duì)立事件的概率公式得 所以的分布列為： 0 1 2 3 P 0．1 0．35 0．4 0．15 因此

5、 13．（本小題滿分13分） 如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表： 時(shí)間（分鐘） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的頻率 0．1 0．2 0．3 0．2 0．2 L2的頻率 0 0．1 0．4 0．4 0．1 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站。 （Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ （Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(duì)（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列

6、和數(shù)學(xué)期望。 解（Ⅰ）Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i=1,2．用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得 P（A1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P（A2）=0．1+0．4=0．5， P（A1） ＞P（A2）, 甲應(yīng)選擇Li P（B1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9， P（B2） ＞P（B1）, 乙應(yīng)選擇L2． （Ⅱ）A,B分別表示針對(duì)（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，由（Ⅰ）知,又由題意知，A,B獨(dú)立，

7、 的分布列為 X 0 1 2 P 0．04 0．42 0．54 14.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）。有人獨(dú)立來該租車點(diǎn)則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)。 （Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率； （Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望； 解析： （1）所付費(fèi)用相同即為元

8、。設(shè)付0元為，付2元為，付4元為 則所付費(fèi)用相同的概率為 （2）設(shè)甲，乙兩個(gè)所付的費(fèi)用之和為，可為 分布列 15.學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戲中， （i）摸出3個(gè)白球的概率； （ii）獲獎(jiǎng)的概率； （Ⅱ）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望 . （I）（i）解：設(shè)“在1

9、次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件則 （ii）解：設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則，又 且A2，A3互斥，所以 （II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2. 所以X的分布列是 X 0 1 2 P X的數(shù)學(xué)期望 16.某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請(qǐng)人中： （Ⅰ）恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率； （Ⅱ）申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列與期望 解：這是等可能性事件的概率

10、計(jì)算問題. （I）解法一：所有可能的申請(qǐng)方式有34種，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式種，從而恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為 解法二：設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). 記“申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A，則 從而，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計(jì)算公式知，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為 （II）ξ的所有可能值為1，2，3.又 綜上知，ξ有分布列 ξ 1 2 3 P 從而有 17．甲、乙兩工人同時(shí)加工一種圓柱零件，在他們所加工的零件中各抽取個(gè)進(jìn)行

11、直徑檢測(cè)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（單位：）： （1）分別計(jì)算上面兩個(gè)樣本的平均數(shù)和方差； （2）若零件規(guī)定直徑為,根據(jù)兩個(gè)樣本的平均數(shù)和方差，說明誰加工的零件的質(zhì)量較穩(wěn)定。 17．【解析】（1）因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)在上下波動(dòng)， 所以； ， 。 (2)由于甲的方差小，故甲工人加工零件的質(zhì)量比較穩(wěn)定。 18．對(duì)一批襯衣進(jìn)行抽檢，結(jié)果如下表： （1） 完成上面統(tǒng)計(jì)表； （2） （2）事件為任取一件襯衣為次品，求； （3） （3）為了保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換，銷售件襯衣，至少需要進(jìn)貨多少件襯衣？ 18．【解析】（1）后三格中分別填入0.045

12、，0.05，0.05；……4分 （2）P(A)≈0.05； （3）設(shè)進(jìn)貨襯衣x件，則，解得x≥1053，需要進(jìn)貨至少1053件襯衣。 19．某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購滿元商品得張獎(jiǎng)券，多購多得。張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)個(gè)，一等獎(jiǎng)個(gè)，二等獎(jiǎng)個(gè)。設(shè)張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為、、，求： （1）； （2）張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率； （3）張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率。 19．【解析】（1），，． （2）∵A,B,C兩兩互斥， ． （3） =． 20．如圖，一面旗幟由部分構(gòu)成，這部分必須分別著上不同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色可供

13、選擇，利用樹狀圖列出所有可能結(jié)果，并計(jì)算下列事件的概率： 1 2 3 （1）紅色不被選中； （2）第部分是黑色并且第部分是紅色． 20．【解析】如圖所有可能結(jié)果共有種． （1）紅色不被選中的有6種結(jié)果，故概率為； （2）第部分是黑色并且第2部分是紅色的結(jié)果有2種，故概率為． 21．口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的個(gè)球，編號(hào)分別為，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)，如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏． （1）求甲贏且編號(hào)的和為的事件發(fā)生的概率； （2）這種游戲規(guī)則公平

14、嗎?試說明理由． 21．【解析】（1）設(shè)“甲勝且兩數(shù)字之和為6”為事件A，事件A包含的基本事件為 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共個(gè)． 又甲、乙二人取出的數(shù)字共有5×5=25（個(gè)）等可能的結(jié)果， 所以． 答：編號(hào)的和為6的概率為． （2）這種游戲規(guī)則不公平． 設(shè)“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C， 則甲勝即兩數(shù)字之和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)為13個(gè)： (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (5,1), (5,3), (5,1) 所

15、以甲勝的概率，從而乙勝的概率． 由于P(B)≠P(C)，所以這種游戲規(guī)則不公平． 22．某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段，…后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題： （1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖； （2）估計(jì)這次考試的及格率（分及以上為及格）和平均分； （3）從成績(jī)是分以上（包括分）的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率． 22．（理）【解析】（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故第四組的頻率： f4=1-(0.025+0.15*2+0.01+0.005)*

16、10=0.032分 直方圖如右所示 （2）依題意，60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75 所以，抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是75% 利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分 45·f1+55·f2+65·f3+75·f4+85·f5+95·f6 ＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =71 估計(jì)這次考試的平均分是71分 （3）[70,80)，[80,90) ，[90,100]的人數(shù)是18,15,3。所以從成績(jī)是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選兩人，他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率。