2020高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn) 三角函數(shù) 解答題專項(xiàng)4

【命中考心】2020高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)之三角函數(shù) 解答題專項(xiàng)4 1在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且 （1）求的值； （2）若b=2，求△ABC面積的最大值． 解：(1) 由余弦定理：conB= sin+cos2B= - （2）由 ∵b=2， +=ac+4≥2ac,得ac≤,S△ABC=acsinB≤(a=c時(shí)取等號(hào)) 故S△ABC的最大值為 2在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且 （I）求cosB的值； （II）若，且，求b的值. 解：（I）由正弦定理得， 因此 …………6分 （II）解：由， 所以a＝c＝ 3已知向量m =, 向量n = （2，0），且m與n所成角為， 其中A、B、C是的內(nèi)角。 (1)求角B的大小; (2)求 的取值范圍。 解：（1） m =，且與向量n = （2，0）所成角為， 又 ……………………………………………………………..6分 （2）由（1）知，，A+C= === ， ， 4已知向量， （I）求A的大小；（II）求的值. 解：（1）由m//n得 ……2分 即 ………………4分 舍去 ………………6分 （2） 由正弦定理， ………………8分 ………………10分 5在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，C＝2A，， （1）求的值； （2）若，求邊AC的長(zhǎng)。 解：（1） 　 　 ?。?）　?、? 　又　　　② 　由①②解得a=4，c=6 　 　，即AC邊的長(zhǎng)為5. 6已知是△的兩個(gè)內(nèi)角，向量，若. （Ⅰ）試問是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出；否則請(qǐng)說明理由； （Ⅱ）求的最大值，并判斷此時(shí)三角形的形狀. 解：（Ⅰ）由條件………………………………………………（2分） ∴………………………………………………………（4分） ∴ ∴為定值.………………………（6分） （Ⅱ）………………………………………（7分） 由（Ⅰ）知，∴………………………………（8分） 從而≤………………（10分） ∴取等號(hào)條件是， 即 取得最大值， 7在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知a+b=5，c =，且 (1) 求角C的大??； （2）求△ABC的面積. 解：(1) ∵A+B+C=180° 由 …………1分 ∴ ………………3分 整理，得 …………4分 解 得： ……5分 ∵ ∴C=60° ………………6分 （2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab …………7分 ∴ ………………8分 由條件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分 ……10分 ∴ …………12分 8已知角為的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊分別為，若，，，且． （1）若的面積，求的值． （2）求的取值范圍． 解：（1），，且. ，即，又，………..2分 又由， 由余弦定理得： ，故…………………………………………………. 5分 （2）由正弦定理得：，又， ………………8分 ，則.則，即的取值范圍是…10分 9在銳角△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB． (1)若a2－ab＝c2－b2，求A、B、C的大??； (2)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求｜3m－2n｜的取值范圍． 10在中，角的對(duì)邊分別為，，，且。 ⑴求角的大??； ⑵當(dāng)取最大值時(shí)，求角的大小 解：⑴由，得，從而 由正弦定理得 ，， （6分） ⑵ 由得，時(shí)， 即時(shí)，取最大值2 11在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且. （I）求角B的大??； （II）若，求△ABC的面積. 解：（I）解法一：由正弦定理得 將上式代入已知 即 即 ∵ ∵ ∵B為三角形的內(nèi)角，∴. 解法二：由余弦定理得 將上式代入 整理得 ∴ ∵B為三角形內(nèi)角，∴ （II）將代入余弦定理得 ， ∴ ∴. 12中，、、是三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，關(guān)于 的不等式的解集是空集． （1）求角的最大值； （2）若，的面積，求當(dāng)角取最大值時(shí)的值． 解析：（1）顯然 不合題意， 則有， 即， 即， 故，∴角的最大值為。 …………………6分 （2）當(dāng)=時(shí)，，∴， 由余弦定理得， ∴，∴。 13在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足（2a－c）cosB=bcosC. （Ⅰ）求角B的大?。? （Ⅱ）設(shè)的最大值是5，求k的值. 解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC， ∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分 ∵0<A<π,∴sinA≠0. ∴cosB=.…………………………………………………………………5分 ∵0<B<π，∴B=.…………………………………………………………6分 （II）=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分 =－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）……………………………………10分 設(shè)sinA=t，則t∈. 則=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈.…………………………12分 ∵k>1，∴t=1時(shí)，取最大值. 依題意得，－2+4k+1=5，∴k=. 14已知銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，向量 與向量是共線向量.　 （Ⅰ）求角A. （Ⅱ）求函數(shù)的最大值. 解：（Ⅰ） 共線 ……2分 　　　　 …………4分　 又為銳角，所以………6分 （Ⅱ） 　　　　 　　　　……………9分 　　　　…………10分 　　　　時(shí)，…………12分 15在三角形ABC中，=（cos,sin）, =(cos,－sin且的夾角為 （1）求C； （2）已知c=,三角形的面積S=,求a+b（a、b、c分別∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊） 解：（1） cosC= C= （2） c2=a2+b2－2abcosC c= =a2+b2－ab=(a+b)2－3ab. S=absinC=absin=ab= Ab=6 (a+b)2=+3ab=+18= a+b= 16已知中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別是，且； （1）求 （2）若，求面積的最大值。 解：（Ⅰ） （Ⅱ） 又 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，△ABC面積取最大值，最大值為. 17在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且滿足csinA=acosC． （Ⅰ）求角C的大?。? （Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值時(shí)角A、B的大小。 解析：（I）由正弦定理得 因?yàn)樗? （II）由（I）知于是 取最大值2． 綜上所述，的最大值為2，此時(shí) 18 △ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．己知A—C=90°，a+c=b，求 C． 解：由及正弦定理可得 …………3分 又由于故 …………7分 因?yàn)椋? 所以 19在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知． （I）求的值；（II）若cosB=，b=2，的面積S。 解： （I）由正弦定理，設(shè) 則 所以 即， 化簡(jiǎn)可得 又， 所以 因此 （II）由得 由余弦定理 解得a=1。因此c=2 又因?yàn)樗? 因此 20在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊， 且 （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，試判斷的形狀. 解：（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得 即 由余弦定理得 故 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 又，得 因?yàn)椋? 故 所以是等腰的鈍角三角形。 21在△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，且 （Ⅰ）求A的大??； （Ⅱ）求的最大值. 解： （Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得 即 由余弦定理得 故 ，A=120° ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 故當(dāng)B=30°時(shí)，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分 22△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)S為△ABC的面積，滿足。 （Ⅰ）求角C的大??； （Ⅱ）求的最大值。 23設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）求的取值范圍． 解：（Ⅰ）由，根據(jù)正弦定理得，所以， 由為銳角三角形得． （Ⅱ） ． 由為銳角三角形知， ，． ， 所以． 由此有， 所以，的取值范圍為． 24在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，， ，求及 解：由得 ∴ ∴ ∴，又 ∴ 由得 即 ∴ 由正弦定理得 25在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，且 (Ⅰ)確定角C的大?。? （Ⅱ）若c＝,且△ABC的面積為,求a＋b的值。 解（1）由及正弦定理得， 21世紀(jì)教育網(wǎng) 是銳角三角形， （2）解法1：由面積公式得 由余弦定理得21世紀(jì)教育網(wǎng) 由②變形得 解法2：前同解法1，聯(lián)立①、②得 消去b并整理得解得 所以故