2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)

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1、第九單元 第五節(jié) 一、選擇題 1．給定空間中的直線l及平面α，條件“直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【解析】　直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線都垂直，是線面垂直判定定理的條件，故為充要條件． 【答案】　C 2．空間四邊形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E為對角線AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是(　　) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABD C．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED 【解析】　在等腰三角形ABC、A

2、DC中，E為底邊AC的中點(diǎn)，則BE⊥AC，DE⊥AC. 又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE， 故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE. 【答案】　D 3．對兩條不相交的空間直線a和b，必定存在平面α，使得 (　　) A．a(chǎn)?α，b?α B．a(chǎn)?α，b∥α C．a(chǎn)⊥α，b⊥α D．a(chǎn)?α，b⊥α 【解析】　當(dāng)a，b異面時(shí)，A不成立；當(dāng)a，b不平行時(shí)，C不成立；當(dāng)a，b不垂直時(shí)，D不成立．故選B. 【答案】　B 4．設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中正確的是(　　) A．在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直 B．過直線m有且只有一個(gè)平面與平面α垂直 C

3、．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行 D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直 【解析】　在平面α內(nèi)有無數(shù)條彼此平行的直線與直線m垂直，與直線m垂直的直線可能與平面α平行，與直線m平行的平面可能與平面α垂直．故A，C，D錯(cuò)誤． 【答案】　B 5．設(shè)a，b，c是空間三條直線，α，β是空間兩個(gè)平面，則下列命題中，逆命題不成立的是(　　) A．當(dāng)c⊥α?xí)r，若c⊥β，則α∥β B．當(dāng)b?α，且c是a在α內(nèi)的射影時(shí)，若b⊥c，則a⊥b C．當(dāng)b?α?xí)r，若b⊥β，則α⊥β D．當(dāng)b?α，且c?α?xí)r，若c∥α，則b∥c 【解析】　α⊥β，b?α，b不一定垂直于β.故C錯(cuò)誤．

4、【答案】　C 6．命題p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，則必有α∥γ；命題q：若平面α上不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則必有α∥β.對以上兩個(gè)命題，下列結(jié)論中正確的是(　　) A．命題“p且q”為真 B．命題“p或綈q”為假 C．命題“p或q”為假 D．命題“綈p且綈q”為假 【解析】　命題p，命題q皆為假，所以命題C正確． 【答案】　C 7．如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ABC所在的平面，那么(　　) A．PA＝PB>PC B．PA＝PB

5、的中點(diǎn)，△ACB為直角三角形， ∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC， ∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC. 【答案】　C 二、填空題 8．m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個(gè)命題： ①若α∥β，α∥γ，則β∥γ；②若α⊥β，m∥α，則m⊥β； ③若m⊥α，m∥β，則α⊥β；④若m∥n，n?α，則m∥α. 其中真命題的序號是________． 【解析】　由平面平行的傳遞性知①正確，由面面垂直的判定定理知③正確． 【答案】?、佗? 9．P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，AC＝a，連接PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是邊長為a

6、的等邊三角形，則平面ABC和平面PAC的位置關(guān)系為________． 【解析】　 如圖所示，由題意知PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝a，取AC中點(diǎn)D，連接PD、BD，則PD⊥AC，BD⊥AC，則∠BDP為二面角P－AC－B的平面角，又∵AC＝a，∴PD＝BD＝a， 在△PBD中，PB2＝BD2＋PD2， ∴∠PDB＝90°. 【答案】　垂直 10．(精選考題·四川高考)如圖所示，二面角α－l－β的大小是60°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是____________________________________________

7、____________________________． 【解析】　如圖，過點(diǎn)A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過C作l的垂線，垂足為D，連接AD，由線面垂直關(guān)系可知AD⊥l， 故∠ADC為二面角α－l－β的平面角，∴∠ADC＝60°.連接CB，則∠ABC為AB與平面β所成的角． 設(shè)AD＝2，則AC＝，CD＝1，AB＝＝4，∴sin∠ABC＝＝. 【答案】　 三、解答題 11．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證： (1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. 【證明】　(

8、1)在四棱錐P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC, ∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD， 而PD?平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 12．(精選考題·江蘇高考)

9、如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°. (1)求證：PC⊥BC； (2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離． 【解析】　(1)證明：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， ∴PD⊥BC. 由∠BCD＝90°，得BC⊥DC. 又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PCD. ∵PC?平面PCD，∴PC⊥BC. (2)如圖，連接AC.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h. ∵AB∥DC，∠BCD＝90°， ∴∠ABC＝90°. 從而由AB＝2，BC＝1， 得△ABC的面積S△ABC＝1. 由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱錐P－ABC的體積V＝S△ABC·PD＝. ∵PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴PD⊥DC. 又PD＝DC＝1，∴PC＝＝. 由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面積S△PBC＝. 由V ＝S△PBCh＝×h＝，得h＝. 因此點(diǎn)A到平面PBC的距離為.