2020高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集錦 向量的運(yùn)算

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1、向量的運(yùn)算 【兩年真題重溫】 【2020新課標(biāo)全國(guó)理,10】已知與均為單位向量,其夾角為,有下列四個(gè)命題: :; :; :; :. 其中的真命題是( ) A., B., C., D., 【答案】A 【解析】本題考查向量的基本運(yùn)算和性質(zhì). ,展開易得. 【2020新課標(biāo)全國(guó)文,2】a,b為平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),則a,b夾角的余弦值等于 (A) (B) (C) (D) 【答案】 C 【解析】本題考查向量的坐

2、標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式.因a=(4,3),b=(x,y), 2a+b=(3,18)=(8+x,6+y),解得x=-5,y=12. cos= 【命題意圖猜想】 1. 2020年新課標(biāo)高考理對(duì)向量的考查體現(xiàn)在求向量的夾角和模的運(yùn)算,難度中等,文科則表現(xiàn)在向量的垂直關(guān)系的應(yīng)用,較為簡(jiǎn)單;2020年理科沒有涉及向量問題,而文科考查以【最新考綱解讀】 【回歸課本整合】 1、平面向量的數(shù)量積: (1)兩個(gè)向量的夾角:對(duì)于非零向量,,作, 稱為向量,的夾角,當(dāng)=0時(shí),,同向,當(dāng)=時(shí),,反向,當(dāng)=時(shí),,垂直. (2)平面向量的數(shù)量積:如果兩個(gè)非零向量,,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做

3、與的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積),記作:,即=.④平面向量數(shù)量積:. ⑤向量的模:. 3、向量的運(yùn)算律:(1)交換律:,,;(2)結(jié)合律:,;(3)分配律:,.提醒:(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別:對(duì)于一個(gè)向量等式,可以移項(xiàng),兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù),兩邊同時(shí)取模,兩邊同乘以一個(gè)向量,但不能兩邊同除以一個(gè)向量,即兩邊不能約去一個(gè)向量,切記兩向量不能相除(相約);(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律,即,為什么? 4、向量平行(共線)的充要條件:=0.如(13)設(shè),則k=_____時(shí),A,B,C共線. 5、向量垂直的充要條件:.特別地. 則有 .方向上的單位向量,設(shè)則有AP平

4、分,又共線,所以O(shè)A平分.同理可證BO平分,CO平分,從而O是內(nèi)心. 3. 向量平行和垂直的重要應(yīng)用 向量平行和垂直的重要應(yīng)用,是高考的熱點(diǎn).命題方向有兩點(diǎn):一是利用已知條件去判斷垂直或平行;二是利用平行或垂直的條件去確定參數(shù)的值.需牢固掌握判斷的充要條件. (1)向量平行(共線)的充要條件:=0; (2)向量垂直的充要條件:. 例4 設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn),且 C A B D E F 圖1 則與( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 【解

5、法一】利用三角形的加法法則:幾何法.如圖1, 在 在 在 A.4 B.5 C.6 D.8 H N C(M) B A D 解析一:(幾何法) 對(duì)于幾何含義: 如圖所示,當(dāng)和重合時(shí),投影為正且最大. o M D N , 則. 解析二:(代數(shù)法) 建立如圖的坐標(biāo)系,則取得最大值6. 4.平面向量共線的坐標(biāo)表示 (1)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a∥b的充要條件a=λb與x1y2-x2y1=0在本質(zhì)上是相同的,只是形式上有差異. (2)要記準(zhǔn)

6、坐標(biāo)公式特點(diǎn),不要用錯(cuò)公式. 5.求向量的夾角時(shí)要注意:(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律;(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角關(guān)系是鈍角. 6.如果高考單獨(dú)考查向量運(yùn)算,如代數(shù)或幾何運(yùn)算,一般試題難度較低,位置較為靠前,此時(shí)為得全分的題目;如果向量和其他知識(shí)相結(jié)合,考查最值問題,一般以后幾道選擇題出現(xiàn),難度較大,此時(shí)應(yīng)充分考慮向量的幾何意義或坐標(biāo)法進(jìn)行解決.在利用坐標(biāo)法解決問題時(shí),可考慮一般問題特殊化,即恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化代數(shù)運(yùn)算.如果探求一些范圍問題,適當(dāng)?shù)拇禉z驗(yàn)是一個(gè)良策. (A)

7、 (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】在中,有因E為DC的中點(diǎn),故因點(diǎn)F為BC的一個(gè)三分點(diǎn),故故選D. 4.【唐山市2020學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試】 在中,,則 (A) 10 (B) -10 (C) 4 (D) 4 [答案]B 【答案】A 【解析】 因=,其中,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的區(qū)域以為鄰邊的平行四邊形,則為內(nèi)切圓的半徑. 由余弦定理可知 又因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心,故到三角形各邊的距離均為此時(shí)三角形的面積可以分割為三個(gè)小三角形的面積的和,即答案:D 解析:由向量加法法則可知四邊形ABCD是平行四邊形,故選D 9.【山東省棗莊市2020

8、屆高三上學(xué)期期末測(cè)試試題】 若平面向量?jī)蓛伤傻慕窍嗟龋瑒t_______. 【答案】2或5 【解析】①三個(gè)向量a、b、c兩兩所成的角均相等且為120o時(shí), . ②三個(gè)向量a、b、c兩兩所成的角均相等且為0o時(shí),. 10.【福州市2020屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】 已知,,與的夾角為,,則與的夾角為 A. B. C. D. 【答案】B ,因 函數(shù)取得最大值故答案為C. A.-1 B.1 C. D.2 【答案】 B  【解析】 |a+b-c|==,由于a·b=0,所以上式=,又由于(a-c)·(b-c)≤0,得(a+b)·c≥c2=1,所以|a+b-c|=≤1,故選B. 16.【北京市東城區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè)】 若非零向量滿足,則與的夾角為 . 【答案】 【解析】如圖與構(gòu)成等邊三角形,則與的夾角為 17.【北京市石景山區(qū)2020學(xué)年高三第一學(xué)期期末考試】 的最小值是_____________. 【答案】 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是的重心,所以, 因?yàn)?,所以? 所以,

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