【優(yōu)化方案】2020高中數(shù)學(xué) 第2章章末綜合檢測(cè) 蘇教版選修2-1

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1、 (時(shí)間：120分鐘；滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．把答案填在題中橫線上) 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且過(guò)點(diǎn)P(2,4)，則該拋物線的方程是________． 解析：設(shè)拋物線y2＝mx，將點(diǎn)P(2,4)代入拋物線方程， ∴m＝8，∴方程為y2＝8x. 答案：y2＝8x 2．已知兩定點(diǎn)F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是________． 解析：依題意知，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2，故點(diǎn)P的軌跡為線段F1F2. 答案：

2、線段F1F2 3．以雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是________． 解析：由題意知圓心坐標(biāo)應(yīng)為(5,0)．又因?yàn)辄c(diǎn)(5,0)到漸近線y＝±x的距離為4，所以圓的方程為x2＋y2－10x＋9＝0. 答案：x2＋y2－10x＋9＝0 4．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若P為雙曲線上任意一點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：設(shè)P(x0，y0)，∵|PF1|＝e＝ex0＋a，|PF2|＝e＝ex0－a，又|PF1|＝2|PF2|，∴ex0＋a＝2(ex0－a)，即e＝.∵x0≥a，∴e≤3.

3、又∵e>1， ∴10，n>0，故a＝，b＝，所以c＝.所以e＝＝2.①　又＝1，② 由①②得所以mn＝. 答案： 6．設(shè)A、B是拋物線x2＝4y上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，OA⊥OB，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－1，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：據(jù)題意可知A(－1，)，故＝(－1，)， 設(shè)B(x0，)，故＝(x0，)， 則OA⊥OB?·＝0， 即(－1，)·

4、(x0，)＝－x0＋＝0?x0＝16. 答案：16 7．已知雙曲線的方程是－＝1，則以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________，拋物線的準(zhǔn)線方程是________． 解析：由雙曲線方程－＝1可知，焦點(diǎn)在x軸上， a＝2，所以右頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，0)， 即拋物線的焦點(diǎn)F(2，0)． 設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)． 由＝2得p＝4. ∴所求拋物線方程為y2＝8x， 準(zhǔn)線方程為x＝－2. 答案：y2＝8x　x＝－2 8．方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則(m－1)2>m2>

5、0.∴m<且m≠0.∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，0)∪. 答案：(－∞，0)∪ 9．若雙曲線＋＝1(k≠0)的離心率e∈(1,2)，則k的取值范圍是________． 解析：顯然k<0，所以e＝∈(1,2)，解得－12n>0)和雙曲線－＝1(a>b>0)有相同的左、右焦點(diǎn)F1、F2，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的值是________． 解析：取P在雙曲線的右支上， 則 ∴ ∴|PF1|·|PF2|＝(＋)(－)＝m－a. 答案：m－a 11．設(shè)P是雙曲線－＝1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線的方程

6、為3x－2y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝3，則△F1PF2的周長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：由雙曲線的漸近線方程3x－2y＝0， 可知a＝2， 故|F1F2|＝2； 又||PF1|－|PF2||＝4，∴|PF2|＝7， 故△ F1PF2的周長(zhǎng)為2＋7＋3＝2＋10. 答案：2＋10 12．點(diǎn)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為，則當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：△PF1F2的周長(zhǎng)l＝2a＋2c＝16，S△PF1F2＝lR＝·2c·y0， ∴16×＝6y0，∴y0＝4. 答案：4

7、 13．過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)C.若＝2，則直線AB的斜率為_(kāi)_______． 解析：如圖，當(dāng)傾斜角是銳角時(shí)，過(guò)B作BG⊥l， 則BG＝BF，∴＝. ∴∠GCB＝30°，∴θ＝∠GBC＝60°. ∴k＝.依對(duì)稱(chēng)性知k＝－時(shí)適合題意． 答案：± 14．過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，則四邊形AF1BF2的面積的最大值是________． 解析：如圖所示，四邊形AF1BF2的面積等于S△AF1F2＋S△BF1F2，當(dāng)點(diǎn)A，B分別與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)重合時(shí)，它們的面積最大(F1F2為底)，則四

8、邊形AF1BF2的面積的最大值為2××2c×b＝2bc＝8. 答案：8 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)已知雙曲線中心在原點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，直線y＝x－1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，求此雙曲線的方程． 解：設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 依題意c＝，∴方程可化為－＝1. 由 得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝， ∵＝－， ∴－＝－，解得a2＝2. ∴雙曲線的方程為－＝1. 16．(本小

9、題滿分14分)橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，一條直線l經(jīng)過(guò)F1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)． (1)求△ABF2的周長(zhǎng)； (2)若l的傾斜角為45°，求△ABF2的面積． 解：(1)△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|F1B|)＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|) ＝2a＋2a＝4a＝4×4＝16. (2)由＋＝1，知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)． 設(shè)l與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則由得25y2－18y－81＝0， 所以|y1－y2|＝＝. 所以S△ABF2＝|F1F2|

10、×|y1－y2| ＝××＝. 17．(本小題滿分14分)拋物線y＝－與過(guò)點(diǎn)M(0，－1)的直線l相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA和OB的斜率之和為1，求直線l的方程． 解：法一：如圖所示，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx－1. 則k＝＝＝－. 由kOA＋kOB＝＋＝1， 又y1＝－，y2＝－， 則有－－＝1， 即－＝1. 于是k＝1，直線l的方程為y＝x－1. 法二：由根與系數(shù)的關(guān)系，將直線y＝kx－1與拋物線y＝－聯(lián)立，消去y，得x2＋2kx－2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系知x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2. 又1＝＋＝＋ ＝2k

11、－＝2k－＝k， 則直線l的方程為y＝x－1. 18．(本小題滿分16分)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2)，離心率e＝. (1)求橢圓方程； (2)一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，求直線l的傾斜角的取值范圍． 解：(1)由題意知2c＝4，所以c＝2，e＝＝， 所以a＝3，b2＝1， 故橢圓方程為＋x2＝1. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 代入橢圓方程，得＋x＝1，＋x＝1， 兩式相減得＋(x1＋x2)(x1－x2)＝0. 因?yàn)閤1≠x2，所以＝－＝k. 設(shè)M、N的中點(diǎn)為(x0，y

12、0)，則x0＝－，y0＝. 又(x0，y0)在橢圓內(nèi)部，即＋2<1， 所以k2>3，即k>，或k<－. 所以直線l的傾斜角的取值范圍為∪. 19．(本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A1(－3,0)，A2(3,0)，P(x，y)，M(，0)，若實(shí)數(shù)λ使向量、λ、滿足λ2·2＝·，求點(diǎn)P的軌跡方程，并判斷P點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線． 解：由已知可得＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)，＝(，0)， ∵λ2()2＝·， ∴λ2·(x2－9)＝x2－9＋y2 ， 即P點(diǎn)的軌跡方程是(1－λ2)x2＋y2＝9(1－λ2)． 當(dāng)1－λ2>0且λ≠0，即λ∈(－1,0)∪(0,1)時(shí)，

13、有＋＝1， ∵1－λ2>0，∴>0， ∴x2≤9，P點(diǎn)的軌跡是橢圓． 當(dāng)λ＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝9，P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O(0,0)為圓心，以3為半徑的圓． 當(dāng)1－λ2<0，即λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時(shí)，方程為＋＝1，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線． 當(dāng)1－λ2＝0時(shí)，即λ＝±1時(shí)，方程為y＝0，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線． 20．(本小題滿分16分)已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)M作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(x0,0)． (1)求x0的取值范圍； (2)判斷△ABE是否是等邊三角形．若是，求出x0的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：

14、(1)∵準(zhǔn)線方程為x＝－1，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1,0)，則設(shè)直線l：y＝k(x＋1)(k≠0)， 代入y2＝4x得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0.① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝1，∴y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝， 即線段AB的中點(diǎn)為. ∵方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)根， ∴Δ＝4(k2－2)2－4k4>0，解得－13，∴x0>3. (2)若△ABE是等邊三角形， 則點(diǎn)E到直線AB的距離d為|AB|的. 由d＝，|AB|＝·， 得··＝， 整理得4k2＝3，即k2＝，∴x0＝， 故存在x0＝滿足條件．