【優(yōu)化方案】2020高中數(shù)學(xué) 第二章2.2.2知能優(yōu)化訓(xùn)練 蘇教版必修2

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1、 1．x軸與圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的位置關(guān)系是________． 解析：將圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化為標(biāo)準(zhǔn)形式：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圓心到x軸的距離等于半徑，所以與x軸相切． 答案：相切 2．直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－2＝0相切，則實(shí)數(shù)m等于________． 解析：圓x2＋y2－2x－2＝0的圓心C(1,0)，半徑r＝，直線x－y＋m＝0與圓相切時(shí)，d＝r，即＝，解得m＝－3或m＝. 答案：－3或 3．設(shè)直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2，則a等于________． 解析：因

2、為直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2，則圓心(1,2)到直線的距離等于1，即＝1，a＝0. 答案：0 4．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程是________． 解析：∵點(diǎn)P在x2＋y2－4x＝0上，kOP＝－(O為圓心)，∴切線斜率k＝， ∴切線方程為x－y＋2＝0. 答案：x－y＋2＝0 一、填空題 1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是________． 解析：∵d＝＝＜1， ∴直線與圓相交． 答案：相交 2．(2020年高考四川卷)直線x－2y＋5＝0與圓x2＋y2＝8相交于A、B兩

3、點(diǎn)，則AB＝________. 解析：圓心到直線的距離d＝＝，半徑R＝2，所以弦長AB＝2＝2＝2. 答案：2 3．若直線y＝x＋k與曲線x＝恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是________． 解析：y＝x＋k表示一組斜率為1的平行直線，x＝表示y軸的右半圓．如圖所示． 答案：k＝－或(－1,1] 4．(2020年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________． 解析：由題設(shè)，得若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0≤d＜1. ∵d＝＝，∴0

4、≤|c|＜13，即c∈(－13,13)． 答案：(－13,13) 5．過點(diǎn)A(1，)的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k等于________． 解析：由(1－2)2＋()2＝3<4可知，點(diǎn)A(1，)在圓(x－2)2＋y2＝4的內(nèi)部，圓心為O(2,0)，要使得劣弧所對的圓心角最小，只能是直線l⊥OA，所以kl＝－＝－＝. 答案： 6．過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直線方程為________． 解析：將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－2)2＋(y＋1)2＝， 圓心為(2，－1)，半徑長為. 設(shè)直線方程為kx－y＝0，圓心

5、到直線的距離d＝. 因?yàn)橹本€與圓相切，所以＝. 解得k＝，或k＝－3. 所以直線方程為y＝－3x或y＝x. 答案：y＝－3x或y＝x 7．(2020年高考山東卷)已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上．直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________． 解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(x0,0)(x0>0)，由于圓過點(diǎn)(1,0)，則半徑r＝|x0－1|.圓心到直線l的距離為d＝.由弦長為2可知()2＝(x0－1)2－2， 整理得(x0－1)2＝4. ∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)． 因此圓心為(3,0)，由此可求得

6、過圓心且與直線y＝x－1垂直的直線方程為y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 8．已知圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x＋y＝0相切，則圓O的方程是________． 解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)(a<0)，則由圓心到直線的距離為知＝，故a＝－2.因此圓O的方程為(x＋2)2＋y2＝2. 答案：(x＋2)2＋y2＝2 9．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為________． 解析：直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)(－1,0)，即圓C的圓心坐標(biāo)為(－1,0)．又圓C與直線x＋y＋3＝0相切

7、， ∴圓C的半徑為r＝＝. ∴圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2. 答案：(x＋1)2＋y2＝2 二、解答題 10．已知圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0. (1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切？ (2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB＝2時(shí)，求直線l的方程． 解：將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方后得到標(biāo)準(zhǔn)方程x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2. (1)若直線l與圓C相切，則有＝2. 解得a＝－. 即當(dāng)a＝－時(shí)，直線l與圓C相切． (2)法一：過圓心C作CD⊥AB于點(diǎn)D， 則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)， 得

8、 解得a＝－7或a＝－1. 即直線l的方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 法二：聯(lián)立方程組并消去y，得(a2＋1)x2＋4(a2＋2a)x＋4(a2＋4a＋3)＝0. 設(shè)此方程的兩根分別為x1，x2， 由AB＝2＝， 可求出a＝－7或a＝－1. 所以直線l的方程是7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 11．一直線經(jīng)過點(diǎn)P被圓x2＋y2＝25截得的弦長為8，求此弦所在直線方程． 解：(1)當(dāng)斜率k不存在時(shí)，過點(diǎn)P的直線方程為x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4. ∴弦長為|y1－y2|＝8，符合題意． (2)當(dāng)斜率k存在時(shí)，設(shè)所求方程為y＋＝k(

9、x＋3)， 即kx－y＋3k－＝0. 由已知，弦心距OM＝ ＝3， ∴＝3，解得k＝－. 所以此直線方程為y＋＝－(x＋3)， 即3x＋4y＋15＝0. 所以所求直線方程為x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0. 12．矩形ABCD中，AB∶BC＝4∶3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE∶ED＝1∶7，試確定以BC為直徑的圓與直線AE的位置關(guān)系． 解：如圖，分別以AB、AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)|AB|＝8，則|AD|＝6， ∴A(0,0)，B(8,0)，C(8,6)，E(7,6)， ∴直線AE的方程為y＝x， 即6x－7y＝0. BC中點(diǎn)為M(8,3)， ∴以BC為直徑的圓的方程為(x－8)2＋(y－3)2＝9.M(8,3)到AE的距離d＝＝<＝3＝r. ∴直線AE與圓相交．