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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學應考能力大提升
典型例題
例1 已知一四棱錐的三視圖如下，是側(cè)棱上的動點。
（1）求四棱錐的體積；
（2）是否不論點在何位置，都有？證明你的結(jié)論;
（3）若點為的中點，求二面角的大?。?
解：由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ---------------------------------2分
∴----------------------------4分
(2) 不論點E在何位置，都有BD⊥AE---------------------
2、------------------5分
證明如下：連結(jié)AC，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC-----------7分
又∵∴BD⊥平面PAC
∵不論點E在何位置，都有AE平面PAC
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE --- ----------9分
(3) 解法1：在平面DAE內(nèi)過點D作DG⊥AE于G，連結(jié)BG
∵CD=CB,EC=EC, ∴≌
∴ED=EB, ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴為二面角D－EA－B的平面角--------------------------12分
∵BC⊥DE,
3、 AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rｔ△ADE中==BG
在△DGB中，由余弦定理得
∴=-----------------------14分
[解法２：以點C為坐標原點，CD所在的直線為ｘ軸建立空間直角坐標系如圖示：
則,從而--------------11分
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為
由法向量的性質(zhì)可得：，
令，則，∴------13分
設(shè)二面角D－AE－B的平面角為，則
∴
例2 如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成
4、的角的大小；
(II) 證明平面AMD平面CDE；
（III）求二面角A-CD-E的余弦值。
解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系，
點為坐標原點。設(shè)依題意得
（I）
所以異面直線與所成的角的大小為.
（II）證明： ，
（III）
又由題設(shè)，平面的一個法向量為
創(chuàng)新題型
1．如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點，。
（Ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；
（Ⅱ）、在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于
5、，并證明你的結(jié)論。
參考答案
1.【解析】本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識及空間想像能力和推理運算能力?？疾閼孟蛄恐R解決數(shù)學問題的能力。
解法１：（１）
故。所以。
又.
故
在△，即.
故當時，直線。
（Ⅱ）依題意，要在上找一點，使得.
可推測的中點即為所求的點。
因為，所以
又,故。
從而
解法二：（１）建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),
D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
所以
又由的一個法向量.
設(shè)與所成的角為，
則
依題意有：，解得.
【備戰(zhàn)】2020高考數(shù)學 應考能力大提升8.1
