云南省昭通市實驗中學高中數(shù)學《第三章 不等式》同步練習 新人教A必修5

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1、"云南省昭通市實驗中學高中數(shù)學《第三章 不等式》同步練習 新人教A必修5 " 一、選擇題 1.已知x≥,則f(x)=有( ). A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1 2.若x>0,y>0,則+的最小值是( ). A.3 B. C.4 D. 3.設a>0,b>0 則下列不等式中不成立的是( ). A.a(chǎn)+b+≥2 B.(a+b)(+)≥4 C.≥a+b D.≥ 4.已知奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(1)=0,則不等式<0的解集為( ). A.(-1,0)∪(1,+∞

2、) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 5.當0<x<時,函數(shù)f(x)=的最小值為( ). A.2 B. C.4 D. 6.若實數(shù)a,b滿足a+b=2,則3a+3b的最小值是( ). A.18 B.6 C.2 D.2 7.若不等式組,所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+分為面積相等的兩部分,則k的值是( ). A. B. C. D. 8.直線x+2y+3=0上的點P在x-y=1的上方,且P到直線2x+y-6=0

3、的距離為3,則點P的坐標是( ). A.(-5,1) B.(-1,5) C.(-7,2) D.(2,-7) 9.已知平面區(qū)域如圖所示,z=mx+y(m>0)在平面區(qū)域內(nèi)取得最優(yōu)解(最大值)有無數(shù)多個,則m的值為( ). A.- B. C. D.不存在 10.當x>1時,不等式x+≥a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( ). A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3] 二、填空題 (x-y+5)(x+y)≥0 0≤x≤3 11.不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積是

4、 . x+2y-3≤0 x+3y-3≥0, y-1≤0 12.設變量x,y滿足約束條件 若目標函數(shù)z=ax+y(a>0)僅在點(3,0)處取得最大值,則a的取值范圍是 . 13.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是 . 14.設a,b均為正的常數(shù)且x>0,y>0,+=1,則x+y的最小值為 . 15.函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中mn>

5、0,則+的最小值為 . 16.某工廠的年產(chǎn)值第二年比第一年增長的百分率為p1,第三年比第二年增長的百分率為p2,若p1+p2為定值,則年平均增長的百分率p的最大值為 . 三、解答題 17.求函數(shù)y=(x>-1)的最小值. 18.已知直線l經(jīng)過點P(3,2),且與x軸、y軸正半軸分別交于A,B兩點,當△AOB面積最小時,求直線l的方程. 19.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸,B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸,B原料3噸,銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元,銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元.該企業(yè)

6、在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸,B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是多少? 20.(1)已知x<,求函數(shù)y=4x-1+的最大值; (2)已知x,y∈R*(正實數(shù)集),且+=1,求x+y的最小值; (3)已知a>0,b>0,且a2+=1,求的最大值. 參考答案 1.D 解析:由已知f(x)===, ∵ x≥,x-2>0, ∴ ≥·=1, 當且僅當x-2=,即x=3時取等號. 2.C 解析:+ =x2+ =++. ∵ x2+≥2=1,當且僅當x2=,x=時取等號; ≥2=1,當且僅當y2=,y=時取等號; ≥2=2(x>0,y>0),當且僅當=

7、,y2=x2時取等號. ∴++≥1+1+2=4,前三個不等式的等號同時成立時,原式取最小值,故當且僅當x=y(tǒng)=時原式取最小值4. 3.D 解析: 方法一:特值法,如取a=4,b=1,代入各選項中的不等式,易判斷只有≥不成立. 方法二:可逐項使用均值不等式判斷 A:a+b+≥2+≥2=2,不等式成立. B:∵ a+b≥2>0, +≥2>0,相乘得 (a+b)( +)≥4成立. C:∵ a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2=2, 又≤≥,∴≥a+b 成立. D:∵ a+b≥2≤,∴≤=,即≥不成立. 4.D 解析: 因為f(x)是奇函數(shù),則f(-x)=

8、-f(x), <0O y x -1 1 <0xf(x)<0,滿足x與f(x)異號的x的集合為所求. (第4題) 因為f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(1)=0,畫出f(x)在(0,+∞)的簡圖如圖,再根據(jù)f(x)是奇函數(shù)的性質(zhì)得到f(x) 在(-∞,0)的圖象. 由f(x)的圖象可知,當且僅當x∈(-1,0)∪(0,1)時,x與f(x)異號. 5.C 解析:由0<x<,有sinx>0,cosx>0. f(x)===+ ≥2=4,當且僅當=,即tan x=時,取“=”. ∵ 0<x<,∴ 存在x使tan x=,這時f(x)min=4. 6.B 解析:∵ a+

9、b=2,故3a+3b≥2=2=6,當且僅當a=b=1時取等號. 故3a+3b的最小值是6. 7.A 解析:不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示陰影部分 △ABC. 由得A(1,1),又B(0,4),C(0,). 由于直線y=kx+過點C(0,),設它與直線 3x+y=4的交點為D, 則由S△BCD=S△ABC,知D為AB的中點,即xD=,∴ yD=, ∴ =k×+,k=. 8.A 解析:設P點的坐標為(x0,y0),則 解得 ∴ 點P坐標是(-5,1). 9.B 解析:當直線mx+y=z與直線AC平行時,線段AC上的每個點都是最優(yōu)解.

10、 ∵ kAC==-, ∴ -m=-,即m=. 10.D 解析:由x+=(x-1)++1, ∵ x>1,∴ x-1>0,則有(x-1)++1≥2+1=3, 則a≤3. 二、填空題 (第11題) 11.24. 解析:不等式(x-y+5)(x+y)≥0可轉(zhuǎn)化為兩個 二元一次不等式組. (x-y+5)(x+y)≥0 0≤x≤3 x-y+5≤0 x+ y≤0 0≤x≤3 x-y+5≥0 x+y≥0 0≤x≤3 或 這兩個不等式組所對應的區(qū)域面積之和為所求.第一個不等式組所對應的區(qū)域如圖,而第二個不等式組所對應的區(qū)域不存在.

11、圖中A(3,8),B(3,-3),C(0,5),陰影部分的面積為=24. 12.. 解析:若z=ax+y(a>0)僅在點(3,0)處取得最大值,則直線z=ax+y的傾斜角一定小于直線x+2y-3=0的傾斜角,直線z=ax+y的斜率就一定小于直線x+2y-3=0的斜率,可得:-a<-,即a>. 13.a(chǎn)b≥9. 解析:由于a,b均為正數(shù),等式中含有ab和a+b這個特征,可以設想使用≥構造一個不等式. ∵ ab=a+b+3≥+3,即ab≥+3(當且僅當a=b時等號成立), ∴ ()2--3≥0, ∴ (-3)(+1)≥0,∴≥3,即ab≥9(當且僅當a=b=3時等號成立). 14.

12、(+)2. 解析:由已知,均為正數(shù), ∴ x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+=a+b+2, 即x+y≥(+)2,當且僅當 即 時取等號. 15.8. 解析:因為y=loga x的圖象恒過定點(1,0),故函數(shù)y=loga(x+3)-1的圖象恒過定點A(-2,-1),把點A坐標代入直線方程得m(-2)+n(-1)+1=0,即2m+n=1,而由mn>0知,均為正, ∴ +=(2m+n)(+)=4++≥4+=8,當且僅當 即 時取等號. 16.. 解析:設該廠第一年的產(chǎn)值為a,由題意,a(1+p)2=a(1+p1)(1+p2),且1+p1>0, 1+p2>

13、0, 所以a(1+p)2=a(1+p1)(1+p2)≤a=a,解得 p≤,當且僅當1+p1=1+p2,即p1=p2時取等號.所以p的最大值是. 三、解答題 17.解:令x+1=t>0,則x=t-1, y===t++5≥+5=9, 當且僅當t=,即t=2,x=1時取等號,故x=1時,y取最小值9. 18.解:因為直線l經(jīng)過點P(3,2)且與x軸y軸都相交, x O A y P(3,2) B (第18題) 故其斜率必存在且小于0.設直線l的斜率為k, 則l的方程可寫成y-2=k(x-3),其中k<0. 令x=0,則y=2-3k;令y=0,則x=-+3. S△AO

14、B=(2-3k)(-+3)=≥=12,當且僅當(-9k)=(-),即k=-時,S△AOB有最小值12,所求直線方程為 y-2=-(x-3),即2x+3y-12=0. (第18題) 19.解:設生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸,生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸,則有關系: A原料用量 B原料用量 甲產(chǎn)品x噸 3x 2x 乙產(chǎn)品y噸 y 3y 則有,目標函數(shù)z=5x+3y 作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標,可知 當x=3,y=4時可獲得最大利潤為27萬元. 20.解:(1)∵ x<,∴ 4x-5<0,故5-4x>0. y=4x-1+=-(5-4x+)+4. ∵ 5-4x+≥=2, ∴ y≤-2+4=2, 當且僅當5-4x=,即x=1或x=(舍)時,等號成立, 故當x=1時,ymax=2. (2)∵ x>0,y>0,+=1, ∴ x+y=(+)(x+y)=++10≥2+10=6+10=16. 當且僅當=,且+=1,即時等號成立, ∴ 當x=4,y=12時,(x+y)min=16. (3)a=a=·a≤=, 當且僅當a=,即a=,b=時,a有最大值.

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