【步步高】2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 第2講矩陣與變換

第2講　矩陣與變換 (推薦時間：60分鐘) 1．已知矩陣M＝，向量a＝，求M3a. 2．已知變換S把平面上的點A(3,0)，B(2,1)分別變換為點A′(0，3)，B′(1，－1)，試求變換S對應(yīng)的矩陣T. 3．已知矩陣A＝，求A的特征值λ1，λ2及對應(yīng)的特征向量a1，a2. 4．在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點坐標(biāo)為A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積，其中M＝，N＝. 5.給定矩陣A＝，B＝. (1)求A的特征值λ1，λ2及對應(yīng)特征向量α1，α2； (2)求A4B. 6．(2020·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．設(shè)k為非零實數(shù)，矩陣M＝，N＝，點A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到的點分別為A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC的面積的2倍，求k的值． 7．曲線x2＋4xy＋2y2＝1在二階矩陣M＝的作用下變換為曲線x2－2y2＝1. (1)求實數(shù)a，b的值； (2)求M的逆矩陣M－1. 8．已知矩陣M有特征值λ1＝4及對應(yīng)的一個特征向量e1＝，并有特征值λ2＝－1及對應(yīng)的一個特征向量e2＝，求矩陣M及M2 010e2. 答 案 1．解　∵M3＝ ＝＝， ∴M3a＝＝. 2．解　設(shè)T＝， 則T：→＝＝＝，解得； T：→＝＝＝， 解得，綜上可知，T＝. 3．解　矩陣A的特征多項式為 f(λ)＝＝(λ－3)(λ＋1)， 令f(λ)＝0，得到矩陣A的特征值為λ1＝3，λ2＝－1. 當(dāng)λ1＝3時，由＝3，得　∴y＝0，取x＝1， 得到屬于特征值3的一個特征向量a1＝； 當(dāng)λ2＝－1時，由＝－， 得取x＝1，則y＝－4， 得到屬于特征值－1的一個特征向量a2＝. 4．解　由在矩陣線性變換下的幾何意義可知，在矩陣N＝作用下，一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形；在矩陣M＝作用下，一個圖形變換為與之關(guān)于直線y＝x對稱的圖形，因此，△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全等，從而其面積等于△ABC的面積，即為1. 5．解　(1)設(shè)A的一個特征值為λ， 由題知＝0，(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2，λ2＝3， 當(dāng)λ1＝2時，由＝2， 得A的屬于特征值2的特征向量為α1＝， 當(dāng)λ2＝3時，由＝3， 得A的屬于特征值3的特征向量為α2＝. (2)由于B＝＝2＋＝2α1＋α2， 故A4B＝A4(2α1＋α2) ＝2(24α1)＋(34α2)＝32α1＋81α2 ＝＋＝. 6．解　由題設(shè)得 MN＝　＝. 由＝，＝，＝， 可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)． 計算得△ABC的面積是1，△A1B1C1的面積是|k|， 由題設(shè)知|k|＝2×1＝2， 所以k的值為－2或2. 7．解　(1)設(shè)P(x，y)為曲線x2－2y2＝1上任意一點，P′(x′，y′)為曲線x2＋4xy＋2y2＝1上與P對應(yīng)的點， 則＝， 即 代入曲線x2－2y2＝1， 得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1， 即(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1， 與方程x2＋4xy＋2y2＝1比較， 得解得 (2)因為矩陣M的行列式＝1≠0， 故M－1＝＝. 8．解　設(shè)M＝， 則＝4， 即. ① 又＝(－1)， 即. ② 由①②得a＝1，b＝3，c＝2，d＝2， 所以M＝， 則M 2 010e2＝λe2＝(－1)2 010＝.