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1、第2講 矩陣與變換
(推薦時間：60分鐘)
1．已知矩陣M＝，向量a＝，求M3a.
2．已知變換S把平面上的點A(3,0)，B(2,1)分別變換為點A′(0，3)，B′(1，－1)，試求變換S對應的矩陣T.
3．已知矩陣A＝，求A的特征值λ1，λ2及對應的特征向量a1，a2.
4．在直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標為A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積，其中M＝，N＝.
5.給定矩陣A＝，B＝.
(1)求A的特征值λ1，λ2及對應特征向量α1，α2；
(2)求A4B.
6．(2020·江蘇)在平面直角坐標系xO
2、y中，已知點A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．設k為非零實數(shù)，矩陣M＝，N＝，點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到的點分別為A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC的面積的2倍，求k的值．
7．曲線x2＋4xy＋2y2＝1在二階矩陣M＝的作用下變換為曲線x2－2y2＝1.
(1)求實數(shù)a，b的值；
(2)求M的逆矩陣M－1.
8．已知矩陣M有特征值λ1＝4及對應的一個特征向量e1＝，并有特征值λ2＝－1及對應的一個特征向量e2＝，求矩陣M及M2 010e2.
答 案
1．解 ∵M3＝
＝＝，
∴M3a＝＝.
2．解 設T＝，
則T：→＝＝＝，解得；
3、
T：→＝＝＝，
解得，綜上可知，T＝.
3．解 矩陣A的特征多項式為
f(λ)＝＝(λ－3)(λ＋1)，
令f(λ)＝0，得到矩陣A的特征值為λ1＝3，λ2＝－1.
當λ1＝3時，由＝3，得 ∴y＝0，取x＝1，
得到屬于特征值3的一個特征向量a1＝；
當λ2＝－1時，由＝－，
得取x＝1，則y＝－4，
得到屬于特征值－1的一個特征向量a2＝.
4．解 由在矩陣線性變換下的幾何意義可知，在矩陣N＝作用下，一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形；在矩陣M＝作用下，一個圖形變換為與之關(guān)于直線y＝x對稱的圖形，因此，△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全
4、等，從而其面積等于△ABC的面積，即為1.
5．解 (1)設A的一個特征值為λ，
由題知＝0，(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2，λ2＝3，
當λ1＝2時，由＝2，
得A的屬于特征值2的特征向量為α1＝，
當λ2＝3時，由＝3，
得A的屬于特征值3的特征向量為α2＝.
(2)由于B＝＝2＋＝2α1＋α2，
故A4B＝A4(2α1＋α2)
＝2(24α1)＋(34α2)＝32α1＋81α2
＝＋＝.
6．解 由題設得
MN＝ ＝.
由＝，＝，＝，
可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．
計算得△ABC的面積是1，△A1B1C1的面積是|k|，
由
5、題設知|k|＝2×1＝2，
所以k的值為－2或2.
7．解 (1)設P(x，y)為曲線x2－2y2＝1上任意一點，P′(x′，y′)為曲線x2＋4xy＋2y2＝1上與P對應的點，
則＝，
即
代入曲線x2－2y2＝1，
得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1，
即(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1，
與方程x2＋4xy＋2y2＝1比較，
得解得
(2)因為矩陣M的行列式＝1≠0，
故M－1＝＝.
8．解 設M＝，
則＝4，
即. ①
又＝(－1)，
即. ②
由①②得a＝1，b＝3，c＝2，d＝2，
所以M＝，
則M 2 010e2＝λe2＝(－1)2 010＝.
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