函數(shù)的單調(diào)性 例題解析 新課標(biāo) 人教版

函數(shù)的單調(diào)性 例題解析 【例1】求下列函數(shù)的增區(qū)間與減區(qū)間 (1)y＝|x2＋2x－3| 解 (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4． 先作出f(x)的圖像，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖像翻到x軸就得到y(tǒng)＝|x2＋2x－3|的圖像，如圖2．3－1所示． 由圖像易得： 遞增區(qū)間是[－3，－1]，[1，＋∞) 遞減區(qū)間是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉絕對(duì)值號(hào)，把函數(shù)式化簡后再考慮求單調(diào)區(qū)間． 解 當(dāng)x－1≥0且x－1≠1時(shí)，得x≥1且x≠2，則函數(shù)y＝－x． 當(dāng)x－1＜0且x－1≠－1時(shí)，得x＜1且x≠0時(shí)，則函數(shù)y＝x－2．</PGN0071B.TXT/PGN> ∴增區(qū)間是(－∞，0)和(0，1) 減區(qū)間是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1． 令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是． ∴函數(shù)y的增區(qū)間是[－3，－1]，減區(qū)間是[－1，1]． 【例2】函數(shù)f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)． 若a＜0時(shí)，無解． ∴a的取值范圍是0≤a≤1． 【例3】已知二次函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像是一條開口向下且對(duì)稱軸為x＝3的拋物線，試比較大?。? (1)f(6)與f(4) 解 (1)∵y＝f(x)的圖像開口向下，且對(duì)稱軸是x＝3，∴x≥3時(shí)，f(x)為減函數(shù)，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) 時(shí)為減函數(shù)． 解 任取兩個(gè)值x1、x2∈(－1，1)，且x1＜x2． 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)． 當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)． 【例5】利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)． 證 取任意兩個(gè)值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2． 又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1) 故f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)． 得f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)． 解 定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定義域內(nèi)兩個(gè)值x1、x2，且x1＜x2． ∴當(dāng)0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0時(shí)，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上為減函數(shù)． 當(dāng)1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1時(shí)，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上為增函數(shù)． 根據(jù)上面討論的單調(diào)區(qū)間的結(jié)果，又x＞0時(shí)，f(x)min＝f(1)＝2，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的單調(diào)區(qū)間及最值可大致 說明 1°要掌握利用單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大?。? 2°注意對(duì)參數(shù)的討論(如例4)． 3°在證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要靈活運(yùn)用配方法、判別式法及討論方法等．(如例5) 4°例6是分層討論，要逐步培養(yǎng)．