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1、函數(shù)的單調性 例題解析
【例1】求下列函數(shù)的增區(qū)間與減區(qū)間
(1)y＝|x2＋2x－3|
解 (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．
先作出f(x)的圖像，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖像翻到x軸就得到y(tǒng)＝|x2＋2x－3|的圖像，如圖2．3－1所示．
由圖像易得：
遞增區(qū)間是[－3，－1]，[1，＋∞)
遞減區(qū)間是(－∞，－3]，[－1，1]
(2)分析：先去掉絕對值號，把函數(shù)式化簡后再考慮求單調區(qū)間．
解 當x－1≥0且x－1≠1時，得x≥1且x≠2，則函數(shù)y＝－x．
當x－1＜0且x－1≠－1時，得x＜1且x≠0時，則函數(shù)y＝x－
2、2．
∴增區(qū)間是(－∞，0)和(0，1)
減區(qū)間是[1，2)和(2，＋∞)
(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．
令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．
∴函數(shù)y的增區(qū)間是[－3，－1]，減區(qū)間是[－1，1]．
【例2】函數(shù)f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
解 當a＝0時，f(x)＝x在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)．
若a＜0時，無解．
∴a的取值范圍是0≤a≤1．
【例3】已知二次函數(shù)y＝f
3、(x)(x∈R)的圖像是一條開口向下且對稱軸為x＝3的拋物線，試比較大?。?
(1)f(6)與f(4)
解 (1)∵y＝f(x)的圖像開口向下，且對稱軸是x＝3，∴x≥3時，f(x)為減函數(shù)，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)
時為減函數(shù)．
解 任取兩個值x1、x2∈(－1，1)，且x1＜x2．
當a＞0時，f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)．
當a＜0時，f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．
【例5】利用函數(shù)單調性定義證明函數(shù)f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．
證 取任意兩個值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．
又∵x1－x2＜0
4、，∴f(x2)＜f(x1)
故f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．
得f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．
解 定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定義域內兩個值x1、x2，且x1＜x2．
∴當0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0時，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上為減函數(shù)．
當1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1時，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上為增函數(shù)．
根據上面討論的單調區(qū)間的結果，又x＞0時，f(x)min＝f(1)＝2，當x＜0時，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的單調區(qū)間及最值可大致
說明 1°要掌握利用單調性比較兩個數(shù)的大?。?
2°注意對參數(shù)的討論(如例4)．
3°在證明函數(shù)的單調性時，要靈活運用配方法、判別式法及討論方法等．(如例5)
4°例6是分層討論，要逐步培養(yǎng)．
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