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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升
典型例題
例1 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)圖象上的點(diǎn)(1，－)處的切線斜率為－4，求y＝f(x)的極大值．
解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－b，
∴由題意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－，
即解得
∴f(x)＝x3－x2－3x，f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
2、
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
∴當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取極大值.
例2 已知函數(shù)f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的最小值；
(2)討論關(guān)于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的個(gè)數(shù)．
解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.
當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
極小值
↗
所以，f(x)在(0，＋∞)上最小值是f＝－.
(2)當(dāng)x∈時(shí)， f(x)單調(diào)遞減且f(x)的取值范圍是；
3、
當(dāng)x∈時(shí)，f(x)單調(diào)遞增且f(x)的取值范圍是.
下面討論f(x)－m＝0的解：
當(dāng)m<－時(shí)，原方程無(wú)解；
當(dāng)m＝－或m≥0時(shí)，原方程有唯一解；
當(dāng)－0)，求函數(shù)在[1,2]上的最大值．
參考答案
(2)證明：不妨假設(shè)x1≥x2.
4、
由(1)知當(dāng)a≤－2時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)減少，
所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等價(jià)于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，[
即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.
令g(x)＝f(x)＋4x，
則g′(x)＝＋2ax＋4＝.
于是g′(x)≤＝≤0.
從而g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)減少，故g(x1)≤g(x2)，
即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，
故對(duì)任意x1，x2∈ (0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
分析：通過(guò)求導(dǎo)先判斷單調(diào)性再求最值．在求最值時(shí)，對(duì)a的情況要進(jìn)行討論．
2.【解析】f(x)＝x2e－ax(a>0)，
∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，得0
【備戰(zhàn)】2020高考數(shù)學(xué) 應(yīng)考能力大提升4.3
