歷年高考數(shù)學真題考點歸納 2020年 第九章 解析幾何 第二節(jié) 圓錐曲線2

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1、歷年高考真題考點歸納 2020年 第九章 解析幾何 第二節(jié) 圓錐曲線2 三、解答題 1.(2020上海文)23(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分. 已知橢圓的方程為,、和為的三個頂點. (1)若點滿足,求點的坐標; (2)設直線交橢圓于、兩點,交直線于點.若,證明:為的中點; (3)設點在橢圓內且不在軸上,如何構作過中點的直線,使得與橢圓的兩個交點、滿足?令,,點的坐標是(-8,-1),若橢圓上的點、滿足,求點、的坐標. 解析:(1) ; (2) 由方程組,消y得方程, 因為直線交橢圓于、兩點, 所以D>0,即, 設C

2、(x1,y1)、D(x2,y2),CD中點坐標為(x0,y0), 則, 由方程組,消y得方程(k2-k1)x=p, 又因為,所以, 故E為CD的中點; (3) 因為點P在橢圓Γ內且不在x軸上,所以點F在橢圓Γ內,可以求得直線OF的斜率k2,由知F為P1P2的中點,根據(jù)(2)可得直線l的斜率,從而得直線l的方程. ,直線OF的斜率,直線l的斜率, 解方程組,消y:x2-2x-48=0,解得P1(-6,-4)、P2(8,3). 2.(2020湖南文)19.(本小題滿分13分) 為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川山上相距8Km的A、B兩點各建一個考察基地,視冰川面為平面形,

3、以過A、B兩點的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(圖4)??疾旆秶紸、B兩點的距離之和不超過10Km的區(qū)域。 (I) 求考察區(qū)域邊界曲線的方程: (II) 如圖4所示,設線段 是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍。問:經(jīng)過多長時間,點A恰好在冰川邊界線上? 3.(2020浙江理)(21) (本題滿分15分)已知m>1,直線,橢圓,分別為橢圓的左、右焦點. (Ⅰ)當直線過右焦點時,求直線的方程; (Ⅱ)設直線與橢圓交于兩點,,的重心分別

4、為.若原點在以線段為直徑的圓內,求實數(shù)的取值范圍. 解析:本題主要考察橢圓的幾何性質,直線與橢圓,點與圓的位置關系等基礎知識,同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 (Ⅰ)解:因為直線經(jīng)過,所以,得, 又因為,所以, 故直線的方程為。 (Ⅱ)解:設。 由,消去得 則由,知, 且有。 由于, 故為的中點, 由, 可知 設是的中點,則, 由題意可知 即 即 而 所以 即 又因為且 所以。 所以的取值范圍是。 4.(2020全國卷2理)(21)(本小題滿分12分)

5、己知斜率為1的直線l與雙曲線C:相交于B、D兩點,且BD的中點為. (Ⅰ)求C的離心率; (Ⅱ)設C的右頂點為A,右焦點為F,,證明:過A、B、D三點的圓與x軸相切. 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質,考查直線與圓的關系,既考查考生的基礎知識掌握情況,又可以考查綜合推理的能力. 【參考答案】 【點評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強的題目,命題者將好多考點以圓錐曲線為背景來考查,如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等,試題的難度相對比較穩(wěn)定. 5.(2020陜西文)20.(本小題滿分13分) (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)設n

6、為過原點的直線,l是與n垂直相交與點P,與橢圓相交于A,B兩點的直線 立?若存在,求出直線l的方程;并說出;若不存在,請說明理由。 6.(2020遼寧文)(20)(本小題滿分12分) 設,分別為橢圓的左、右焦點,過的直線與橢圓 相交于,兩點,直線的傾斜角為,到直線的距離為. (Ⅰ)求橢圓的焦距; (Ⅱ)如果,求橢圓的方程. 解:(Ⅰ)設焦距為,由已知可得到直線l的距離 所以橢圓的焦距為4. (Ⅱ)設直線的方程為 聯(lián)立 解得 因為 即 得 故橢圓的方程為 7.(2020遼寧理)(20)(本小題滿分12分)

7、 設橢圓C:的左焦點為F,過點F的直線與橢圓C相交于A,B兩點,直線l的傾斜角為60o,. (I) 求橢圓C的離心率; (II) 如果|AB|=,求橢圓C的方程. 解: 設,由題意知<0,>0. (Ⅰ)直線l的方程為 ,其中. 聯(lián)立得 解得 因為,所以. 即 得離心率 . ……6分 (Ⅱ)因為,所以. 由得.所以,得a=3,. 橢圓C的方程為. ……12分 8.(2020全國卷2文)(22)(本小題滿分12分) 已知斜率為1的直線1與雙曲線C:相交于B、D兩點,且BD

8、的中點為M(1.3) (Ⅰ)(Ⅰ)求C的離心率; (Ⅱ)(Ⅱ)設C的右頂點為A,右焦點為F,|DF|·|BF|=17證明:過A、B、D三點的圓與x軸相切。 【解析】本題考查了圓錐曲線、直線與圓的知識,考查學生運用所學知識解決問題的能力。 (1)由直線過點(1,3)及斜率可得直線方程,直線與雙曲線交于BD兩點的中點為(1,3),可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點坐標公式找出A,B的關系式即求得離心率。 (2)利用離心率將條件|FA||FB|=17,用含A的代數(shù)式表示,即可求得A,則A點坐標可得(1,0),由于A在X軸上所以,只要證明2AM=BD即證得。 (2020江西理數(shù))21.

9、(本小題滿分12分) 設橢圓,拋物線。 (1) 若經(jīng)過的兩個焦點,求的離心率; (2) 設A(0,b),,又M、N為與不在y軸上的兩個交點,若△AMN的垂心為,且△QMN的重心在上,求橢圓和拋物線的方程。 【解析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量,通過交點三角形來確認方程。 (1)由已知橢圓焦點(c,0)在拋物線上,可得:,由 。 (2)由題設可知M、N關于y軸對稱,設,由的垂心為B,有 。 由點在拋物線上,,解得: 故,得重心坐標. 由重心在拋物線上得:,,又因為M、N在橢圓上得:,橢圓方程為,拋物線方程為。 9.(2020安徽文數(shù))17、(本小題

10、滿分12分) 橢圓經(jīng)過點,對稱軸為坐標軸, 焦點在軸上,離心率。 (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。 【命題意圖】本題考查橢圓的定義及標準方程,橢圓的簡單幾何性質,直線的點斜式方程與一般方程,點到直線的距離公式等基礎知識;考查解析幾何的基本思想、綜合運算能力. 【解題指導】(1)設橢圓方程為,把點代入橢圓方程,把離心率用表示,再根據(jù),求出,得橢圓方程;(2)可以設直線l上任一點坐標為,根據(jù)角平分線上的點到角兩邊距離相等得. 解:(Ⅰ)設橢圓E的方程為 【規(guī)律總結】對于橢圓解答題,一般都是設橢圓方程為,根據(jù)題目滿足的條件求出,得橢圓方程,這一問通常比

11、較簡單;(2)對于角平分線問題,利用角平分線的幾何意義,即角平分線上的點到角兩邊距離相等得方程. 10.(2020重慶文數(shù))(21)(本小題滿分12分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問7分. ) 已知以原點為中心,為右焦點的雙曲線的離心率. (Ⅰ)求雙曲線的標準方程及其漸近線方程; (Ⅱ)如題(21)圖,已知過點的直線:與過點(其中)的直線:的交點在雙曲線上,直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點,求的值. 11.(2020浙江文)(22)、(本題滿分15分)已知m是非零實數(shù),拋物線(p>0) 的焦點F在直線上。 (I)若m=2,求拋物線C的方程 (II)設直線與拋物線C交于A

12、、B,△A,△的重心分別為G,H 求證:對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準線與x軸的焦點在以線段GH為直徑的圓外。 12.(2020重慶理)(20)(本小題滿分12分,(I)小問5分,(II)小問7分) 已知以原點O為中心,為右焦點的雙曲線C的離心率。 (I) 求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程; (II) 如題(20)圖,已知過點的直線與過點(其中)的直線的交點E在雙曲線C上,直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點,求的面積。 13.(2020北京文)(19)(本小題共14分) 已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是,,離心率是,直線y=t橢圓C交與不同的兩點M,N,以線段為

13、直徑作圓P,圓心為P。 (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標; (Ⅲ)設Q(x,y)是圓P上的動點,當t變化時,求y的最大值。 解:(Ⅰ)因為,且,所以 所以橢圓C的方程為 (Ⅱ)由題意知 由 得 所以圓P的半徑為 解得 所以點P的坐標是(0,) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,圓P的方程。因為點在圓P上。所以 設,則 當,即,且,取最大值2. 14.(2020北京理)(19)(本小題共14分) 在平面直角坐標系xOy中,點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于. (Ⅰ)求動點P的軌跡方程;

14、 (Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問:是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由。 (I)解:因為點B與A關于原點對稱,所以點得坐標為. 設點的坐標為 由題意得 化簡得 . 故動點的軌跡方程為 (II)解法一:設點的坐標為,點,得坐標分別為,. 則直線的方程為,直線的方程為 令得,. 于是得面積 又直線的方程為,, 點到直線的距離. 于是的面積 當時,得 又, 所以=,解得。 因為,所以 故存在點使得與的面積相等,此時

15、點的坐標為. 解法二:若存在點使得與的面積相等,設點的坐標為 則. 因為, 所以 所以 即 ,解得 因為,所以 故存在點S使得與的面積相等,此時點的坐標為. 15.(2020四川理)(20)(本小題滿分12分) 已知定點A(-1,0),F(xiàn)(2,0),定直線l:x=,不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E,過點F的直線交E于B、C兩點,直線AB、AC分別交l于點M、N (Ⅰ)求E的方程; (Ⅱ)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F,并說明

16、理由. 本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎知識,考察平面機襲擊和的思想方法及推理運算能力. 解:(1)設P(x,y),則 化簡得x2-=1(y≠0)………………………………………………………………4分 (2)①當直線BC與x軸不垂直時,設BC的方程為y=k(x-2)(k≠0) 與雙曲線x2-=1聯(lián)立消去y得 (3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0 由題意知3-k2≠0且△>0 設B(x1,y1),C(x2,y2), 則 y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4] =k2(+4) = 因為x1、x

17、2≠-1 所以直線AB的方程為y=(x+1) 因此M點的坐標為() ,同理可得 因此 = =0 ②當直線BC與x軸垂直時,起方程為x=2,則B(2,3),C(2,-3) AB的方程為y=x+1,因此M點的坐標為(), 同理可得 因此=0 綜上=0,即FM⊥FN 故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點F………………………………………………12分 16.(2020天津文)(21)(本小題滿分14分) 已知橢圓(a>b>0)的離心率e=,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)設直線l與橢圓相

18、交于不同的兩點A、B,已知點A的坐標為(-a,0). (i)若,求直線l的傾斜角; (ii)若點Q在線段AB的垂直平分線上,且.求的值. 【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的思想,考查綜合分析與運算能力.滿分14分. (Ⅰ)解:由e=,得.再由,解得a=2b. 由題意可知,即ab=2. 解方程組得a=2,b=1. 所以橢圓的方程為. (Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知點A的坐標是(-2,0).設點B的坐標為,直線l的斜率為k.則直線l的方

19、程為y=k(x+2). 于是A、B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理,得 . 由,得.從而. 所以. 由,得. 整理得,即,解得k=. 所以直線l的傾斜角為或. (ii)解:設線段AB的中點為M,由(i)得到M的坐標為. 以下分兩種情況: (1)當k=0時,點B的坐標是(2,0),線段AB的垂直平分線為y軸,于是 由,得。 (2)當時,線段AB的垂直平分線方程為。 令,解得。 由,, , 整理得。故。所以。 綜上,或 17.(2020天津理)(20)(本小題滿分12分) 已知橢圓的離心率,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。 (1) 求橢圓的方

20、程; (2) 設直線與橢圓相交于不同的兩點,已知點的坐標為(),點在線段的垂直平分線上,且,求的值 【解析】本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質,直線的方程,平面向量等基礎知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的思想,考查運算和推理能力,滿分12分 (1)解:由,得,再由,得 由題意可知, 解方程組 得 a=2,b=1 所以橢圓的方程為 (2)解:由(1)可知A(-2,0)。設B點的坐標為(x1,,y1),直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+2), 于是A,B兩點的坐標滿足方程組 由方程組消去Y并整理,得 由得 設線段AB是中點為M,則M的坐標

21、為 以下分兩種情況: (1)當k=0時,點B的坐標為(2,0)。線段AB的垂直平分線為y軸,于是 (2)當K時,線段AB的垂直平分線方程為 令x=0,解得 由 整理得 綜上 18.(2020廣東理) 21.(本小題滿分14分) 設A(),B()是平面直角坐標系xOy上的兩點,先定義由點A到點B的一種折線距離p(A,B)為. 當且僅當時等號成立,即三點共線時等號成立. (2)當點C(x, y) 同時滿足①P+P= P,②P= P時,點是線段的中點. ,即存在點滿足條件。 19.(2020廣東理)20.(本小題滿分為14分) 一條雙曲線的左、右頂點分

22、別為A1,A2,點,是雙曲線上不同的兩個動點。 (1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程式; (2)若過點H(0, h)(h>1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點,且 ,求h的值。 故,即。 (2)設,則由知,。 將代入得 ,即, 由與E只有一個交點知,,即 。 同理,由與E只有一個交點知,,消去得,即,從而,即。 20.(2020廣東文)21.(本小題滿分14分) 已知曲線,點是曲線上的點, 21.(2020福建文)19.(本小題滿分12分) 已知拋物線C:過點A (1 , -2)。 (I)求拋物線C 的方程,并求其準

23、線方程; (II)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線L,使得直線L與拋物線C有公共點,且直線OA與L的距離等于?若存在,求直線L的方程;若不存在,說明理由。 22.(2020全國卷1理)(21)(本小題滿分12分) 已知拋物線的焦點為F,過點的直線與相交于、兩點,點A關于軸的對稱點為D. (Ⅰ)證明:點F在直線BD上; (Ⅱ)設,求的內切圓M的方程 . 23.(2020湖北文)20.(本小題滿分13分) 已知一條曲線C在y軸右邊,C上沒一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1。 (Ⅰ)求曲線C的方程 (Ⅱ)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲

24、線C有兩個交點A,B的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由。 24.(2020山東理)(21)(本小題滿分12分) 如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線和與橢圓的交點分別為和. (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程; (Ⅱ)設直線、的斜率分別為、,證明; (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由. 【解析】(Ⅰ)由題意知,橢圓離心率為,得,又,所以可解得,,所以,所以橢圓的標準方程為;所以橢圓的焦點坐標為

25、(,0),因為雙曲線為等軸雙曲線,且頂點是該橢圓的焦點,所以該雙曲線的標準方程為 。 【命題意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系,是一道綜合性的試題,考查了學生綜合運用知識解決問題的能力。其中問題(3)是一個開放性問題,考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力, 25.(2020湖南理)19.(本小題滿分13分) 為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川上相距8km的A,B兩點各建一個考察基地。視冰川面為平面形,以過A,B兩點的直線為x軸,線段AB的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(圖6)在直線x=2的右

26、側,考察范圍為到點B的距離不超過km區(qū)域;在直線x=2的左側,考察范圍為到A,B兩點的距離之和不超過km區(qū)域。 (Ⅰ)求考察區(qū)域邊界曲線的方程; (Ⅱ)如圖6所示,設線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界線),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍,求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間。 化 融 區(qū) 域 P3(8,6) 已 冰 B(4,0) A(-4,0) x (,-1)P1 26.(2020湖北理)19(本小題滿分12分) 已知一條曲線C在

27、y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都 是1. (Ⅰ)求曲線C的方程; (Ⅱ)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由。 27.(2020安徽理數(shù))19、(本小題滿分13分) 已知橢圓經(jīng)過點,對稱軸為坐標軸,焦點 在軸上,離心率。 (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程; (Ⅲ)在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩點? 若存在,請找出;若不存在,說明理由。 28.(2020江蘇卷)18、(本小題滿分16分) 在平面直角坐標系中,

28、如圖,已知橢圓的左、右頂點為A、B,右焦點為F。設過點T()的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、,其中m>0,。 (1)設動點P滿足,求點P的軌跡; (2)設,求點T的坐標; (3)設,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)。 [解析] 本小題主要考查求簡單曲線的方程,考查方直線與橢圓的方程等基礎知識??疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。 (1)設點P(x,y),則:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。 由,得 化簡得。 故所求點P的軌跡為直線。 (2)將分別代入橢圓方程,以及得:M(2,)、N(,) 直線MTA方程為:,即, 直線NTB 方程為:,即。 聯(lián)立方程組,解得:, 所以點T的坐標為。 (3)點T的坐標為 直線MTA方程為:,即, 直線NTB 方程為:,即。 分別與橢圓聯(lián)立方程組,同時考慮到, 解得:、。 (方法一)當時,直線MN方程為: 令,解得:。此時必過點D(1,0); 當時,直線MN方程為:,與x軸交點為D(1,0)。 所以直線MN必過x軸上的一定點D(1,0)。 (方法二)若,則由及,得, 此時直線MN的方程為,過點D(1,0)。 若,則,直線MD的斜率, 直線ND的斜率,得,所以直線MN過D點。 因此,直線MN必過軸上的點(1,0)。

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