江蘇省南京市建鄴高級中學(xué)高二數(shù)學(xué) 第26課時《正、余弦定理的應(yīng)用》學(xué)案

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1、第26課時 正、余弦定理的應(yīng)用 【重點(diǎn)難點(diǎn)】:能運(yùn)用正、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. 【考點(diǎn)概述】:能夠運(yùn)用正、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. 【知識掃描】:1. 解斜三角形的常見類型及解法 在三角形的6個元素中要已知三個(除三角外)才能求解,常見類型及其解法見下表: 已知條件 應(yīng)用定理 一般解法 一邊和兩角(如) 正弦定理 由,求角;由正弦定理求出與,在有解時只有一解。 兩邊和夾角(如) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三邊;由正弦定理求出小邊所對的角;再由求出另一角。在有解時只有一解。 三

2、邊() 余弦定理 由余弦定理求出角;再利用,求出角。 在有解時只有一解。 兩邊和其中一邊的對角(如) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角; 由求出角;再利用正弦定理或余弦定理求??捎袃山?、一解或無解。 2. 正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有:測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等. 3. 實(shí)際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中,視線在水平線 的角叫仰角,在水平線 的角叫俯角(如圖①). (2)方位角 指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如點(diǎn)的方位角為(如

3、圖②). (3)坡度:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù). 【熱身練習(xí)】 1.已知船在燈塔北偏東且到的距離為,船在燈塔西偏北且到的 距離為,則兩船的距離為 . 2. 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知,成 且,的大小分別為2和4,則的大小為_________。 3.海上有三個小島其中兩島相距海里,從島望島和島所成的視角為 60o,從島望島和島所成的視角為75o,則島和島的距離為 海里。 4. 某人在C點(diǎn)測得塔頂A在南偏西80°,仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到D, 測得塔頂A的仰角為30°,則塔高為____ _

4、. 5.在中,邊所對角分別為,且,則 。 【范例透析】 【例1】如圖,在四邊形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠ADB=,BC=。 (1)求BD的長;(2)若∠C為鈍角,求∠C的大小。 [來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K] 【變式訓(xùn)練】如圖,是等邊三角形,是等腰直角三角形,, 交于,. B A C D E (1)求的值; (2)求. 【例2】在海岸處,發(fā)現(xiàn)北偏西的方向,距離 mile的處有一艘走私船,

5、在處北 偏東方向,距離 mile的處的緝私船奉命以 mile/h的速度追截走私 船.此時,走私船正以 mile/h的速度從向北偏西方向逃竄,問緝私船沿什么方向能最 快追上走私船? A B C D 450 750 300 【例3】 如果△ABC內(nèi)接于半徑為的圓,且 求△ABC的面積的最大值。 【例4】某觀測站C在城A的南20?西的方向上,由A城出發(fā)有一條公路,走向是南40?東, 在C處測得距C為31千米的公路上B處,有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后, A C B D 南 東 北 西

6、 到達(dá)D處,此時C、D間距離為21千米,問這人還需走多少千米到達(dá)A城? 【鞏固練習(xí)】 1.在中,,,,則解的情況_________(填“一組”、“二組”或“無解”). 2.如圖,要測量河對岸A、B兩點(diǎn)間的距離,今沿河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn),測得,, ,,則的距離是_________。 3.如圖,海岸線上有相距5海里的兩座燈塔、,燈塔位于燈塔的正南方向,海上停泊著兩艘輪船,甲船位于燈塔的北偏西方向,與相距海里的處;乙船位于燈塔B的北偏西方向,與相距5海里的處,則兩艘船之間的距離為 海里。 4.在中,若,則的形狀是_________. 5.一船以每小時15 km的速度向東航行,船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向, 行駛4 h后,船到達(dá)B處,看到這個燈塔在北偏東15°方向,這時船與燈塔的距離為_____km.

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