江蘇省南京市建鄴高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué) 第26課時(shí)《正、余弦定理的應(yīng)用》學(xué)案

第26課時(shí) 正、余弦定理的應(yīng)用 【重點(diǎn)難點(diǎn)】：能運(yùn)用正、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. 【考點(diǎn)概述】：能夠運(yùn)用正、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題． 【知識(shí)掃描】：1. 解斜三角形的常見類型及解法 在三角形的6個(gè)元素中要已知三個(gè)（除三角外）才能求解，常見類型及其解法見下表： 已知條件 應(yīng)用定理 一般解法 一邊和兩角（如） 正弦定理 由，求角；由正弦定理求出與，在有解時(shí)只有一解。 兩邊和夾角（如） 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三邊；由正弦定理求出小邊所對(duì)的角；再由求出另一角。在有解時(shí)只有一解。 三邊（） 余弦定理 由余弦定理求出角；再利用，求出角。 在有解時(shí)只有一解。 兩邊和其中一邊的對(duì)角（如） 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角； 由求出角；再利用正弦定理或余弦定理求?？捎袃山?、一解或無解。 2. 正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有：測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等. 3. 實(shí)際問題中的常用角 （1）仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線 的角叫仰角，在水平線 的角叫俯角（如圖①）. （2）方位角 指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如點(diǎn)的方位角為（如圖②）. （3）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù). 【熱身練習(xí)】 1．已知船在燈塔北偏東且到的距離為，船在燈塔西偏北且到的 距離為，則兩船的距離為 ． 2. 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)．已知，成 且，的大小分別為2和4，則的大小為_________。 3．海上有三個(gè)小島其中兩島相距海里，從島望島和島所成的視角為 60º，從島望島和島所成的視角為75º，則島和島的距離為 海里。 4. 某人在C點(diǎn)測得塔頂A在南偏西80°，仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到D， 測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為____ _. 5.在中，邊所對(duì)角分別為，且，則 。 【范例透析】 【例1】如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠ADB=，BC=。 （1）求BD的長；（2）若∠C為鈍角，求∠C的大小。 [來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K] 【變式訓(xùn)練】如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，， 交于，． B A C D E （1）求的值； （2）求． 【例2】在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏西的方向，距離 mile的處有一艘走私船，在處北 偏東方向，距離 mile的處的緝私船奉命以 mile/h的速度追截走私 船．此時(shí)，走私船正以 mile/h的速度從向北偏西方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最 快追上走私船？ A B C D 450 750 300 【例3】 如果△ABC內(nèi)接于半徑為的圓，且 求△ABC的面積的最大值。 【例4】某觀測站C在城A的南20?西的方向上，由A城出發(fā)有一條公路，走向是南40?東， 在C處測得距C為31千米的公路上B處，有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后， A C B D 南 東 北 西 到達(dá)D處，此時(shí)C、D間距離為21千米，問這人還需走多少千米到達(dá)A城？ 【鞏固練習(xí)】 1．在中，，，，則解的情況_________（填“一組”、“二組”或“無解”）. 2．如圖，要測量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間的距離，今沿河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得，， ，，則的距離是_________。 3．如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔、，燈塔位于燈塔的正南方向，海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔的北偏西方向，與相距海里的處；乙船位于燈塔B的北偏西方向，與相距5海里的處，則兩艘船之間的距離為 海里。 4．在中，若，則的形狀是_________. 5．一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向， 行駛4 h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為_____km.