河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學二輪 備考抓分點透析專題2 函數(shù)與導數(shù) 理

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1、2020屆高考數(shù)學二輪復習 專題二 函數(shù)與導數(shù) 【重點知識回顧】 1．函數(shù)是高考數(shù)學的重點內容之一，函數(shù)的觀點和思想方法是高中數(shù)學的一條重要的主線，選擇、填空、解答三種題型每年都有，函數(shù)題的身影頻現(xiàn)，而且?？汲Ｐ拢曰竞瘮?shù)為背景的綜合題和應用題是近幾年的高考命題的新趨勢．函數(shù)的圖象也是高考命題的熱點之一．近幾年來考查導數(shù)的綜合題基本已經定位到壓軸題的位置了． 2．對于函數(shù)部分考查的重點為：函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性對稱性和函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質；應用函數(shù)知識解決一些實際問題；導數(shù)的基本公式，復合函數(shù)的求導法則；可導函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系

2、，求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值． 【典型例題】 1．函數(shù)的性質與圖象 函數(shù)的性質是高考考查的重點內容．根據(jù)函數(shù)單調性和奇偶性的定義，能判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調性，從數(shù)形結合的角度認識函數(shù)的單調性和奇偶性，掌握求函數(shù)最大值和最小值的常用方法．函數(shù)的圖象是函數(shù)性質的直觀載體，能夠利用函數(shù)的圖象歸納函數(shù)的性質．對于抽象函數(shù)一類，也要盡量畫出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結合討論函數(shù)的性質． 例1．“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點……用

3、S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（ ） A B C D 答案：B 解析：在選項B中，烏龜?shù)竭_終點時，兔子在同一時間的路程比烏龜短． 點評：函數(shù)圖象是近年高考的熱點的試題，考查函數(shù)圖象的實際應用，考查學生解決問題、分析問題的能力，在復習時應引起重視． 例2．已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根，則 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

4、 8 y x f(x)=m (m>0) 答案：-8 解析：因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以, 由為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關于直線對稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因為在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù)．如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根，不妨設，由對稱性知，．所以． 點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調性，對稱性，周期性，以及由函數(shù)圖象解答方程問題，運用數(shù)形結合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題． 2．函數(shù)與解方程

5、、不等式的綜合問題 函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是密切相關的幾個部分，通過建立函數(shù)模型來解決有關他們的綜合問題是高考的考查方向之一，解決該類問題要善于運用轉化的思想方法，將問題進行不斷轉化，構建模型來解決問題． 例2．x為何值時，不等式成立． 解析：當時，． 當時，． 故時，． 時，為所求． 點評：該題考查了對數(shù)不等式的解法，其基本的解題思路為將對數(shù)不等式轉化為普通不等式，需要注意轉化之后的范圍發(fā)生了變化，因此最后要檢驗，或者轉化時將限制條件聯(lián)立． 3．函數(shù)的實際應用 函數(shù)的實際運用主要是指運用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題．函數(shù)描述了自然界中量的依存關系，是對問題本身的數(shù)量

6、本質特征和制約關系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立函數(shù)關系．掌握有關函數(shù)知識是運用函數(shù)思想的前提，考生應具備用初等數(shù)學思想方法研究函數(shù)的能力，運用函數(shù)思想解決有關數(shù)學問題的意識是運用函數(shù)思想的關鍵． 例3．某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經測算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的 平均建筑費用為560+48x（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？ （注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=） 解析：設樓房每平方米的平均綜合費為元，依題

7、意得： ． 則，令，即，解得． 當時，；當時，， 因此，當時，取得最小值，元． 答：為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層． 點評：這是一題應用題，利用函數(shù)與導數(shù)的知識來解決問題．利用導數(shù)，求函數(shù)的單調性、求函數(shù)值域或最值是一種常用的方法． 4．導數(shù)與單調性、極（最）值問題． 導數(shù)作為工具來研究三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性，極值、最值時，具有其獨特的優(yōu)越性，要理解導數(shù)的幾何意義，熟練導數(shù)的運算公式，善于借助導數(shù)解決有關的問題． 例4．已知函數(shù)，其中． （1）當滿足什么條件時，取得極值? （2）已知，且在區(qū)間上單調遞增，試用表示出的取值范圍． 解析

8、： （1）由已知得，令，得， 要取得極值，方程必須有解， 所以△，即， 此時方程的根為： ，， 所以 當時， x (-∞，x1) x 1 (x1，x2) x2 (x2，+∞) f’(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以在x 1， x2處分別取得極大值和極小值． 當時， x (-∞，x2) x 2 (x2，x1) x1 (x1，+∞) F’(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 所以在x 1， x2處分別取得極大值和極

9、小值． 綜上，當滿足時，取得極值． （2）要使在區(qū)間上單調遞增，需使在上恒成立． 即恒成立，所以， 設，， 令得或(舍去)， 當時，，當時，單調增函數(shù)； 當時，單調減函數(shù)， 所以當時，取得最大，最大值為． 所以． 當時，，此時在區(qū)間恒成立， 所以在區(qū)間上單調遞增， 當時最大，最大值為，所以． 綜上，當時， ；當時， ． 點評：本題為三次函數(shù)，利用求導的方法研究函數(shù)的極值、單調性和函數(shù)的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單調函數(shù)，則導函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定，從而轉為不等式恒成立，再轉為函數(shù)研究最值．運用函數(shù)與方程的思想，化歸思想和分類討論的思想解答問題． 【模擬演練】 1

10、．函數(shù)的圖象（ ） A． 關于原點對稱 B．關于主線對稱 C． 關于軸對稱 D．關于直線對稱 2． 定義在R上的偶函數(shù)的部分圖象如右圖所示，則在上，下列函數(shù)中與的單調性不同的是（ ） A． B． C． D． 3．已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則( ) A． B． C． D． 4． 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f（2020）的值為 ． 5．

11、 已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是 ． 6．已知函數(shù)且 （I）試用含的代數(shù)式表示； （Ⅱ）求的單調區(qū)間； （Ⅲ）令，設函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點． 7．已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是． （I）求函數(shù)的解析式； （II）設函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應的自變量的值． 【參考答案】 1．答案：A 解析：由于定義域為（-2，2）關于原點對稱，又f(-x)=-f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，選A． 2．答案：C 解析：根據(jù)偶函數(shù)在關于原點

12、對稱的區(qū)間上單調性相反，故可知求在上單調遞減，注意到要與的單調性不同，故所求的函數(shù)在上應單調遞增．而函數(shù)在上遞減；函數(shù)在時單調遞減；函數(shù)在（上單調遞減，理由如下y＇=3x2>0(x<0)，故函數(shù)單調遞增，顯然符合題意；而函數(shù)，有y＇=-<0(x<0)，故其在（上單調遞減，不符合題意，綜上選C． 3． 答案：D 解析：因為滿足，所以，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則，，，又因為在R上是奇函數(shù)， ，得，，而由得，又因為在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以，所以，即，故選D． 4．答案：1 解析：由已知得，，， ，， ，，， 所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復性出現(xiàn)．，所以

13、f（2020）= f（5）=1． 5．答案： 解析：由得： ， 即，∴∴， ∴切線方程為，即． 6．解析：（I）依題意，得， 由得． （Ⅱ）由（I）得， 故， 令，則或， ①當時，， 當變化時，與的變化情況如下表： + - + 單調遞增 單調遞減 單調遞增 由此得，函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為． ②由時，，此時，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調區(qū)間為R； ③當時，，同理可得函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為． 綜上： 當時，函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為；

14、當時，函數(shù)的單調增區(qū)間為R； 當時，函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為 （Ⅲ）當時，得，由，得． 由（Ⅱ）得的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故， 所以直線的方程為， 由得 解得， ， 所以線段與曲線有異于的公共點 ． 7．解析：（I）由已知,切點為(2,0),故有,即……① 又，由已知得……② 聯(lián)立①②，解得． 所以函數(shù)的解析式為． （II）因為． 令． 當函數(shù)有極值時，則，方程有實數(shù)解， 由，得． ①當時，有實數(shù)，在左右兩側均有，故函數(shù)無極值； ②當時，有兩個實數(shù)根情況如下表： + 0 - 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以在時，函數(shù)有極值； 當時，有極大值；當時，有極小值．