小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)題第38講 應(yīng)用同余問題

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1、第38講 應(yīng)用同余問題 一、知識(shí)要點(diǎn) 同余這個(gè)概念最初是由偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的： 兩個(gè)整數(shù)a，b，如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)想同，則稱a，b對(duì)于模m同余。記作：a≡b（mod?。恚?。讀做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的余數(shù)2，這時(shí)我們就說，對(duì)于除數(shù)5，12和47同余，記做12≡47（mod　5）。 同余的性質(zhì)比較多，主要有以下一些： 性質(zhì)（1）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，兩個(gè)數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余。比如：32除以5余數(shù)是2，19除以5余數(shù)是4，兩個(gè)余數(shù)的和是2+4=6?！?2+19”除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余

2、數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說，對(duì)于除數(shù)5，“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4”同余，用符號(hào)表示就是：32≡2（mod　5），19≡4（mod　5），32+19≡2+4≡1（mod　5） 性質(zhì)（2）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，兩個(gè)數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。 性質(zhì)（3）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，如果有兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個(gè)除數(shù)整除。 性質(zhì)（4）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，如果兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。 應(yīng)用同余性質(zhì)幾萼體的關(guān)鍵是要在正確理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用同余性質(zhì)。把求一個(gè)較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)較小的數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)，使復(fù)雜的題變簡(jiǎn)單，使困難的題變?nèi)菀住? 二、精

3、講精練 【例題1】求1992×59除以7的余數(shù)。 應(yīng)用同余性質(zhì)（2）可將1992×59轉(zhuǎn)化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積，使計(jì)算簡(jiǎn)化。1992除以7余4，59除以7余3。根據(jù)同余性質(zhì)，“4×3”除以7的余數(shù)與“1992×59”除以7的余數(shù)應(yīng)該是相同的，通過求“4×3”除以7的余數(shù)就可知道1992×59除以7的余數(shù)了。 因?yàn)?992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余數(shù)是5。 練習(xí)1： 1、求4217×364除以6的余數(shù)。 2、求×12除以13的余數(shù)。 3、求879×4376×5283除以11的余數(shù)。 【

4、例題2】已知2001年的國(guó)慶節(jié)是星期一，求2010年的國(guó)慶節(jié)是星期幾？ 一星期有7天，要求2010年的國(guó)慶節(jié)是星期幾，就要求從2001年到2010年的國(guó)慶節(jié)的總天數(shù)被7除的余數(shù)就行了。但在甲酸中，如果我們能充分利用同余性質(zhì)，就可以不必算出這個(gè)總天數(shù)。 2001年國(guó)慶節(jié)到2010年國(guó)慶節(jié)之間共有2個(gè)閏年7個(gè)平年，即有“366×2+365×7”天。因?yàn)?66×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的國(guó)慶節(jié)是星期五。 練習(xí)2： 1、已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期

5、幾？ 2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期幾？ 3、今天是星期四，再過365的15次方是星期幾？ 【例題3】求2001的2003次方除以13的余數(shù)。 2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。根據(jù)同余性質(zhì)（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一個(gè)很大的值，要求它的余數(shù)比較困難。這時(shí)的關(guān)鍵就是要找出12的幾次方對(duì)模13與1是同余的。經(jīng)試驗(yàn)可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的100

6、1次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。根據(jù)同余性質(zhì)（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13） 因?yàn)椋?001的2003次方≡12的2003次方（mod 13） 12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1 12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13） 所以2001的2003次方除以13的余數(shù)是12。 練習(xí)3： 1、求12的200次方除以13的余數(shù)。 2、求3的92次方除以21余幾。 3、9個(gè)小朋

7、友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？ 【例題4】自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？ 自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，換句話說就是16520≡14903≡14177（mod m）。根據(jù)同余性質(zhì)（3），這三個(gè)餓數(shù)同余，那么它們的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它們差的最大公約數(shù)是多少？ 因?yàn)?6520—14903=1617=3×7的平方×11 16520—14177=2343=3×11×71 14903—14177=726=2×3×11的平方 M是這些差的公約

8、數(shù)，m最大是3×11=33。 練習(xí)4： 1、若2836、4582、5164、6522四個(gè)整數(shù)都被同一個(gè)兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相同。除數(shù)是多少？ 2、一個(gè)整數(shù)除226、192、141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為0，這個(gè)整數(shù)是幾？ 3、當(dāng)1991和1769除以某一個(gè)自然數(shù)m時(shí)，余數(shù)分別為2和1，那么m最小是多少？ 【例題5】某數(shù)用6除余3，用7除余5，用8除余1，這個(gè)數(shù)最小是幾？ 我們可從較大的除數(shù)開始嘗試。首先考慮與1模8同余的數(shù)，9≡1（mod 8），但9輸以7余數(shù)不是5，所以某數(shù)不是9。17≡1（mod 8），17除以7的余數(shù)也不是5。25

9、≡1（mod 8），25除以7的余數(shù)也不是5。33≡1（mod 8），33除以7的余數(shù)正好是5，而且33除以6余數(shù)正好是3，所以這個(gè)數(shù)最小是33。上面的方法實(shí)際是一種列舉法，也可以簡(jiǎn)化為下面的格式： 被8除余1的數(shù)有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除余5的數(shù)有：33，89，……這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33。 練習(xí)5： 1、某數(shù)除以7余1，除以5余1，除以12余9。這個(gè)數(shù)最小是幾？ 2、某數(shù)除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此數(shù)最小值。 3、在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔（如圖38-1），小明像玩跳棋那樣從A孔出發(fā)沿逆時(shí)針方向每隔幾個(gè)孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先試著每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。問：這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔？