福建省漳浦縣道周中學(xué)2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 解析幾何教案 文

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1、福建省漳浦縣道周中學(xué)2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 解析幾何教案 文 平面解析幾何　　　　　用代數(shù)方法研究幾何圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想．直線與圓的方程、圓錐曲線與方程是歷年高考的必考內(nèi)容，題量一般為一道解答題和兩道填空題．江蘇高考對雙曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)由原來的理解降為了解，圓錐曲線突出了直線與橢圓（理科有與拋物線）的位置關(guān)系，淡化了直線與雙曲線的位置關(guān)系．直線與圓錐曲線的有關(guān)問題始終是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，必考一道解答題．直線與圓錐曲線所涉及的知識點(diǎn)較多，對解題能力的考查層次要求較高，所研究的問題是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定點(diǎn)（定值）、最值以

2、及參數(shù)的取值范圍等． 本單元二輪專題和課時(shí)建議： 課時(shí) 專題 內(nèi)容說明（核心） 備注 第一課時(shí) 直線與圓 直線和圓的基本構(gòu)成要素、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系 第二課時(shí) 橢圓、雙曲線、拋物線 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系 第三課時(shí) 解析幾何綜合應(yīng)用 解析幾何定點(diǎn)與定值問題、范圍與最值問題、探索問題 第一課時(shí) 直線與圓 教學(xué)目標(biāo)：在2020年的備考中，需要關(guān)注： （1）直線的基本概念，直線的方程，兩直線的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識； （2）活用圓的兩類方程、直線與圓的位置關(guān)系及

3、圓與圓的位置關(guān)系； （3）對數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想熟練掌握。 一、基礎(chǔ)回顧： 1、若直線(a2＋2a)x－y＋1＝0的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 2、經(jīng)過的圓心，且傾斜角為的直線方程為 . 3、直線ax＋2y＋6＝0與直線x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，則a＝________. 4、直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長度等于 . 5、已知圓，過原點(diǎn)的直線與圓相切，則所有切線的斜率之和為 . 6、過點(diǎn)且與圓切于原點(diǎn)的圓的方程為 . 二、典型問題 基本題型一：直線的

4、概念、方程及位置問題 例1 過點(diǎn)P(3,2)作直線l，交直線y＝2x于點(diǎn)Q，交x軸正半軸于點(diǎn)R，當(dāng)△QOR面積最小時(shí)，求直線l的方程． 解析：　方法一：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,2a)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(x,0)，其中x>0. 當(dāng)a＝3時(shí)，△QOR的面積S＝9； 當(dāng)a≠3時(shí)，因?yàn)镻，Q，R三點(diǎn)共線， 所以＝，解得x＝(a>1)， ∴△QOR的面積S＝|OR|·2a＝＝2[(a－1)＋＋2]． 當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝(a>1)，即a＝2時(shí)，S取得最小值8. 此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,4)，將Q，P兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程兩點(diǎn)式，并整理得2x＋y－8＝0. 解法二：設(shè)l的方程為x＝3或y－2＝k(x－

5、3)， 當(dāng)l的方程為x＝3時(shí)，△QOR的面積S＝9； 當(dāng)l的方程為y－2＝k(x－3)時(shí)，聯(lián)立方程組， 解這個(gè)方程組，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 在方程y－2＝k(x－3)中，令y＝0，得點(diǎn)R的坐標(biāo)為， ∴△QOR的面積S＝··＝， 變形得(S－9)k2＋(12－2S)k－4＝0， 因?yàn)镾≠9，所以判別式Δ≥0，即(12－2S)2＋16(S－9)≥0，化簡，得 －8S≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)k＝－2時(shí)，S取得最小值8，此時(shí)直線l的方程為y－2＝－2(x－3)， 即2x＋y－8＝0. 綜上，當(dāng)△QOR的面積最小時(shí)，直線l的方程為2x＋y－8＝0. 說明：直線方程是平面解析幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容，該考

6、點(diǎn)屬于高考必考內(nèi)容，且要求較高，均屬理解、掌握的內(nèi)容．縱觀近幾年的高考試題，一般以填空題的形式出現(xiàn)．求直線的方程要充分利用平面幾何知識，采用數(shù)形結(jié)合法、待定系數(shù)法、軌跡法等方法；平行與垂直是平面內(nèi)兩條直線特殊的位置關(guān)系，高考一般考查平行或垂直的應(yīng)用． 基本策略：(1) 求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法．在使用待定系數(shù)法時(shí)，要注意方程的選擇，用點(diǎn)斜式、斜截式解題時(shí)，要注意檢驗(yàn)斜率不存在的情況，可以設(shè)直線l：x＝ky＋m，不能平行于x軸的直線，防止丟解．另外，解題時(shí)認(rèn)真畫圖，有助于快速準(zhǔn)確地找到解題思路． (2) 求最值的問題，可先適當(dāng)選取自變量，其次建立目標(biāo)函數(shù)，再次是求最值，最后討論何時(shí)

7、取得最值． 基本題型二：圓的方程及圓的性質(zhì)問題 例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點(diǎn)M，N均在直線x＝5上．圓弧C1的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為r1＝13；圓弧C2過點(diǎn)A(29,0)． (1) 求圓弧C2所在圓的方程； (2) 曲線C上是否存在點(diǎn)P，滿足PA＝PO ？若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)；若不存在，請說明理由； 解析：(1) 由題意知，圓弧C1所在圓的方程為x2＋y2＝169. 當(dāng)x＝5時(shí)，y＝±12，所以點(diǎn)M(5,12)，N(5，－12)． 由對稱性知，圓弧C2所在圓的方程的圓心在x軸上． 設(shè)圓弧C2所在圓的方程為(x

8、－a)2＋y2＝r，將M(5,12)，A(29,0) 代入，得 解得 故圓弧C2所在圓的方程為(x－14)2＋y2＝225，即x2＋y2－28x－29＝0. (2) ①如果點(diǎn)P在圓弧C1上，設(shè)P(x0，y0)(－13≤x0≤5)，則x＋y＝169. 由PA＝PO，得(x0－29)2＋y＝30(x＋y)，即x＋y＋2x0－29＝0， 所以169＋2x0－29＝0，解得x0＝－70，與－13≤x0≤5矛盾； ②如果點(diǎn)P在圓弧C2上，設(shè)P(x0，y0)(5≤x0≤29)，則(x0－14)2＋y＝225， 由PA＝PO，得(x0－29)2＋y＝30(x＋y)，解得x0＝0，與5≤x

9、0≤29矛盾． 綜上所述，曲線C上不存在點(diǎn)P，使PA＝PO. 說明：對于圓的方程，高考要求能根據(jù)所給的條件選取恰當(dāng)?shù)姆匠绦问?，利用待定系?shù)法求出圓的方程，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解決與圓相關(guān)的問題．該部分在高考中常以填空題的形式直接考查，或是在解答題的綜合考查． 基本策略：求圓的方程有兩類方法： (1)幾何法：通過研究圓的幾何性質(zhì)、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系，求得圓的基本量(圓心、半徑)，進(jìn)而得到圓的方程． (2)代數(shù)法：用“待定系數(shù)法”求圓的方程，其一般步驟是：①根據(jù)題意選擇方程的形式——標(biāo)準(zhǔn)形式或一般形式(本例題中涉及圓心及切線，故設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形式較簡單)；②利用條件列出關(guān)于a，b，r或D，

10、E，F(xiàn)的方程組；③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程． 基本題型三：直線與圓的位置關(guān)系 例3如圖所示，已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，過點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P. (1)求圓A的方程； (2)當(dāng)MN＝2時(shí)，求直線l的方程； (3)B·B是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由． 解　(1)設(shè)圓A的半徑為R. ∵圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴R＝＝2. ∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝

11、－2符合題意； 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＝0.連結(jié)AQ，則AQ⊥MN. ∵M(jìn)N＝2，∴AQ＝＝1.由AQ＝＝1，得k＝. ∴直線l的方程為3x－4y＋6＝0. ∴所求直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. (3)∵AQ⊥BP，∴·＝0.∴·＝(＋)·＝·＋·＝·. 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得P.則＝，又＝(1,2)， ∴·＝B·＝－5. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)． 由解得P.，∴＝. ∴·＝·＝－＝－5. 綜上所述，·是定值，且·＝－5. 說明：弦長問題是高考命題的熱點(diǎn)，同時(shí)，對于這

12、部分知識，高考常有創(chuàng)新，如與向量知識結(jié)合等．層次要求較高，從近年來的命題趨勢看，命題形式以填空題為主，在復(fù)習(xí)時(shí)，要熟練掌握由半徑、半弦長、弦心距所構(gòu)成的直角三角形，從而準(zhǔn)確地解答問題． 基本策略：(1)直線和圓的位置關(guān)系常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d及半弦長，構(gòu)成直角三角形關(guān)系來處理． (2)要注意分類討論，即對直線l分為斜率存在和斜率不存在兩種情況分別研究，以防漏解或推理不嚴(yán)謹(jǐn)． 基本題型四：直線與圓的綜合應(yīng)用問題 例4 如圖所示，已知直線，圓的圓心為（3，0），且經(jīng)過點(diǎn)． （1） 求圓的方程； （2） 若圓與圓關(guān)于直線對稱，點(diǎn)D分別為圓上任意一點(diǎn)，求的最小值；

13、 （3） 已知直線上一點(diǎn)在第一象限，兩質(zhì)點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位沿射線方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒。問：當(dāng)為值時(shí)直線與圓相切？ 說明：直線與圓的綜合應(yīng)用問題上高中一類重要問題，常常以解答題形式出現(xiàn)，常將直線與圓和函數(shù)、三角、向量、數(shù)列、圓錐曲線等相互交匯，求解參數(shù)、函數(shù)最值、圓的方程問題，這些問題是探索性問題、證明問題、求值問題等。因此研究此類問題就顯得非常重要． 基本策略：對這類問題的求解，首先，我們要注意理解直線和圓等基礎(chǔ)知識及它們之間的深入聯(lián)系；其次，要對問題的條件進(jìn)行全方位的審視，特別是題中各個(gè)條件之間的相互關(guān)系及隱含條件的挖掘；再

14、次，要掌握解決問題常常使用的思想方法，如數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)、分類討論等思想方法；最后，要對求解問題的過程清晰書寫，準(zhǔn)確到位。 三、課后檢測 1、設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的______________條件． 2、已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，則△ABC的BC邊上的高所在直線的方程為_____________． 3、自點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為 . 4．過點(diǎn)P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程

15、為____________． 5、若圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程 是 . 6、若曲線f(x)＝xsinx＋1在x＝處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實(shí) 數(shù)a＝________. 7、若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________． 8、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________． 9、已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2，r>0}，

16、若“點(diǎn)(x，y)∈A”是“點(diǎn)(x，y)∈B”的必要不充分條件，則r的最大值是________． 10、在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓與直線 恒有公共點(diǎn)，且要求使圓的面積最?。? （1）寫出圓的方程； （2）圓與軸相交于兩點(diǎn)，圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)使，求的取值范圍． 11. 已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程； (2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 12、已知圓：，直線的方程為，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線

17、、，切點(diǎn)為、． （1）當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為時(shí)，求∠的大??； （2）求證：經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所以定點(diǎn)的坐標(biāo)． （3）求線段長度的最小值． 第二課時(shí) 橢圓、雙曲線、拋物線 教學(xué)目標(biāo)：在2020年的備考中，需要關(guān)注： （1）圓錐曲線基本量之間的關(guān)系； （2）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和基本性質(zhì)的應(yīng)用，重點(diǎn)掌握運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （3）直線和圓錐曲線的關(guān)系，其中橢圓是需要重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容； （4）與圓錐曲線有關(guān)的定點(diǎn)、定值問題。 一、基礎(chǔ)回顧： 1、以為漸近線且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程為______. 2、已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

18、程為，若橢圓的焦距為，則的取值集合為 。 3、點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 4、已知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，點(diǎn)在該橢圓上．若，則△的面積是______． 5、若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，且虛軸長為，則雙曲線的離心率為 6、設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)恒過定點(diǎn)A(1,2)，則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值是________． 二、典型問題 基本題型一：圓錐曲線的定義及方程 例1已知二次曲線Ck的方程：＋＝1. (1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件； (2)若雙曲線Ck與直線y＝x＋1有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長，求雙

19、曲線方程； (3)m、n為正整數(shù)，且m

20、得，(5－2a2)x2－2a2x－6a2＋a4＝0 ∵Ck與直線y＝x＋1有公共點(diǎn)，∴Δ＝4a4－4(5－2a2)(a4－6a2)≥0， 即a4－8a2＋15≥0，∴a2≤3或a2≥5(舍)， ∴實(shí)軸最長的雙曲線方程為－＝1. 解法三：雙曲線＋＝1中c2＝(9－k)＋(k－4)＝5，∴c＝，∴F1(－，0)，不妨先求得F1(－，0)關(guān)于直線y＝x＋1的對稱點(diǎn)F(－1,1－)， 設(shè)直線與雙曲線左支交點(diǎn)為M，則 2a＝|MF2|－|MF1|＝|MF2|－|MF|≤|FF2|＝＝2 ∴a≤，∴實(shí)軸最長的雙曲線方程為－＝1. (3)由(1)知C1、C2、C3是橢圓，C5、C6、C7、C

21、8是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間也無公共點(diǎn) 設(shè)|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8} 則根據(jù)橢圓、雙曲線定義及·＝0(即PF1⊥PF2)，應(yīng)有 ，所以m＋n＝8. 所以這樣的Cm、Cn存在，且或或 說明：圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn)，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，高考對圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的考查方式有兩種：一是在解答題中作為試題的入口進(jìn)行考查；二是在填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)進(jìn)

22、行考查． 基本策略：(1)橢圓和雙曲線的定義反映了它們的圖形特點(diǎn)，是畫圖的依據(jù)和基礎(chǔ)，而定義中的定值是求標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)，在許多實(shí)際問題中正確利用定義可以使問題的解決更加靈活．已知圓錐曲線上一點(diǎn)及焦點(diǎn)，首先要考慮使用圓錐曲線的定義求解． (2)求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法．而對于雙曲線和橢圓在不明確焦點(diǎn)坐標(biāo)的情況下可以統(tǒng)一設(shè)成mx2＋ny2＝1 (mn≠0)，這樣可以避免對參數(shù)的討論．如用待定系數(shù)法求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法時(shí)要“先定型，后計(jì)算”．所謂“定型”，是指確定類型，也就是確定橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸，拋物線的焦點(diǎn)是在x軸的正半軸、負(fù)

23、半軸，還是y軸的正半軸、負(fù)半軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；“計(jì)算”就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2、b2、p的值，最后代入寫出橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 基本題型二：圓錐曲線的幾何性質(zhì) 例2 曲線都是以原點(diǎn)O為對稱中心、離心率相等的橢圓．點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0,1），線段MN是的短軸，是的長軸.直線與交于A,D兩點(diǎn)（A在D的左側(cè)），與交于B,C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)）． （1）當(dāng)m= ， 時(shí)，求橢圓的方程； （2）若OB∥AN，求離心率e的取值范圍． 解：（1）設(shè)C1的方程為,C2的方程為,其中． C1 ,C2的離心率相同，所以,所以， C2的方程為．

24、 當(dāng)m=時(shí)，A,C． 又,所以，，解得a=2或a=(舍)， C1 ,C2的方程分別為，． （2）A(-,m), B(-,m) ． OB∥AN,, , ． ，\，． ，\，\． 說明：圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解．試題一般以圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進(jìn)行命題． 基本策略：研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)，實(shí)質(zhì)是求參數(shù)a、b、c或者建立a、b、c的關(guān)系式(等式或不等式)，然后根據(jù)概念討論相應(yīng)的幾何性質(zhì)．特別求離心率，其法有三：一是通過

25、已知條件列方程組，解出的值；二是由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的一元二次方程求解；三是通過取特殊值或特殊位置，求出離心率。 基本題型三：直線與橢圓的位置關(guān)系 例3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k （1）當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值； （2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d； （3）對任意k>0，求證：PA⊥PB 解析：（1）M(-2,0),N(0,), M、N的中

26、點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,),所以 （2）由得，，AC方程：即：，所以點(diǎn)P到直線AB的距離 （3）法一：由題意設(shè)， A、C、B三點(diǎn)共線，又因?yàn)辄c(diǎn)P、B在橢圓上， ，兩式相減得： 法二：設(shè), A、C、B三點(diǎn)共線，又因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓上, ,兩式相減得：, , 說明：近幾年江蘇高考試卷圓錐曲線在解答題考查以直線與橢圓圓的位置關(guān)系為核心，呈現(xiàn)范圍、幾何位置、最值、定點(diǎn)定值、存在性方式，注重運(yùn)算求解能力和探究問題；在第二輪復(fù)習(xí)要熟練掌握通性通法和基本知識。 基本策略：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷是利用代數(shù)方法，即將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線與圓錐曲線

27、的位置關(guān)系．若與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題除了可以聯(lián)立方程利用根與系數(shù)的關(guān)系外，還可以利用“點(diǎn)差法”，即設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)，并將其代入圓錐曲線方程作差分解因式，注意在作差的過程中要與直線的斜率聯(lián)系起來，這樣可以簡化運(yùn)算．對于橢圓，有如下結(jié)論： (1)內(nèi)接矩形最大面積：； (2)P，Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，且，則 ； (3)當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)最大； 設(shè)而不求（代點(diǎn)相減法）——處理弦中點(diǎn)與直線斜率問題 步驟如下： (4)已知橢圓，①設(shè)點(diǎn)、中點(diǎn)為，②作差得；； (5)若是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱兩點(diǎn)，P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)（不同于），則=，特殊地，若是橢圓兩長軸的端點(diǎn)，P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則=.等

28、 基本題型四：圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問題 例4 已知橢圓C：(a>b>0)的上頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,且橢圓C過點(diǎn)P(，)，以AP為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)F2. (1)求橢圓C的方程； (2)若動(dòng)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試問：在軸上是否存在兩定點(diǎn)，使其到直線l的距離之積為1？若存在，請求出兩定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. x y O F2 (例4 圖) P A F11 解：(1)因?yàn)闄E圓過點(diǎn)P(，),所以=1,解得a2=2, 又以AP為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)F2.所以AF2^F2P,即-×=-1, b2=c(4-3c)

29、. 而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1,故橢圓C的方程是+y2=1. (2)①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y=kx+p，代入橢圓方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0. 因?yàn)橹本€l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以 △=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0，即 1+2k2=p2. 設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)(s,0),(t,0),使其到直線l的距離之積為1,則 × ==1, 即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**). 由(*)

30、恒成立,得解得,或, 而(**)不恒成立. ②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為x=±時(shí)， 定點(diǎn)(－1，0)、F2(1，0)到直線l的距離之積d1×× d2=(－1)(+1)=1. 綜上,存在兩個(gè)定點(diǎn)(1,0),(-1,0),使其到直線l 的距離之積為定值1. 說明：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是高考的熱點(diǎn)，題型以解答題為主，解決的基本思想從變量中尋求不變，即先用變量表示要求的量或點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過推理計(jì)算，導(dǎo)出這些量或點(diǎn)的坐標(biāo)和變量無關(guān)． 基本策略：定點(diǎn)和定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)．在這類試題

31、中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的． 另外，對于某些定點(diǎn)問題的證明，可以先通過特殊情形探求定點(diǎn)坐標(biāo)，然后對一般情況進(jìn)行證明，這種方法在填空題中更為實(shí)用． 三、課后檢測 1、已知分別為橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，的周長為8。則實(shí)數(shù)的值為 2、拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y－2＝0，則a的值是________． 3、已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若＝2，則橢圓的離心率是________． 4、若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為________． 5、已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)

32、，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于點(diǎn)A，B，若AB＝5，則AF1＋BF1＝________. 6、已知定點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ． 7、過橢圓上一點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)的斜率分別為，若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，且則此橢圓的離心率為___________. 8、已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上且，則△的面積為 9、已知是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸相交于兩點(diǎn).若為銳角三角形，則橢圓的離心率的取值范圍為 10、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知分別

33、是橢圓E:的左、右焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且. （1）求橢圓E的離心率； （2）已知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，M 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)、），連接并延長交橢圓于點(diǎn)，連接、并分別延長交橢圓于點(diǎn)、，連接，設(shè)直線、的斜率存在且分別為、，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 11、已知橢圓的方程為：，其焦點(diǎn)在軸上，離心率. （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，其中M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值. （3）在（2）的條件下，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？ 若存在，給出證明；若不存在，

34、請說明理由. 12、已知左焦點(diǎn)為F(－1，0)的橢圓過點(diǎn)E(1，)．過點(diǎn)P(1，1)分別作斜率為k1，k2的橢圓的動(dòng)弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點(diǎn)． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若P為線段AB的中點(diǎn)，求k1； （3）若k1+k2=1，求證直線MN恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)． 一、基礎(chǔ)回顧： 1、答案： 2、答案：{2，4，5} 3、答案：3 4、答案： 5、答案： 6、答案： ＋2　 三、課后檢測 1、答案：2 2、答案：－ 3、答案： 4、答案：4 5、答案： 6、答案：9 7、答案： 8、答案：32 9、答案： 解：（1

35、），.，化簡得， 故橢圓E的離心率為. （2）存在滿足條件的常數(shù)，.點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，從而，，左焦點(diǎn)，橢圓E的方程為.設(shè)，，，，則直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，.，.從而，故點(diǎn).同理，點(diǎn).三點(diǎn)、、共線，，從而.從而 . 故，從而存在滿足條件的常數(shù)，. 11、解：（1）由，，解得， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.　 （2）設(shè), 則由，得， 即， ∵點(diǎn)M，N在橢圓上，∴ 設(shè)分別為直線的斜率，由題意知， ，∴， 故 ， 即（定值） 12、解析：依題設(shè)c=1，且右焦點(diǎn)(1，0)． 所以，2a==，b2=a2－c2=2， 故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． (2)設(shè)A(，)，B(，)，則①，②． ②－①，得 ． 所以，k1=． (3)依題設(shè)，k1≠k2． 設(shè)M(,)，直線AB的方程為y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2， 代入橢圓方程并化簡得 ． 于是，，． 同理，，． 當(dāng)k1k2≠0時(shí)， 直線MN的斜率k==． 直線MN的方程為， 即 ， 亦即 ． 此時(shí)直線過定點(diǎn)． 當(dāng)k1k2=0時(shí)，直線MN即為y軸，此時(shí)亦過點(diǎn)． 綜上，直線MN恒過定點(diǎn)，且坐標(biāo)為．