遼寧省沈陽市2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)暑假作業(yè) 集合、函數(shù)、基本初等函數(shù) 3 基本函數(shù)

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1、三、基本初等函數(shù) 一．選擇題（共12小題） 1．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）=lga+lgb，則lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值（　?。? A．等于1 B．等于lg2 C．等于0 D．不是常數(shù) 2．已知函數(shù)f（x）=ax+a﹣x，且f（1）=3，則f（0）+f（1）+f（2）的值是（　?。? A．14 B．13 C．12 D．11 3．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，則a，b，c三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（　?。? A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜a＜b 4．二次函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x＞﹣2）與指數(shù)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有（　?。? A．3個(gè) B．

2、2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè) 5．已知log7[log3（log2x）]=0，那么x等于（　　） A． B． C． D． 6．已知三個(gè)函數(shù)f（x）=2x+x，g（x）=x﹣1，h（x）=log3x+x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則（　　） A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b 7．已知函數(shù)f（x）=，設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（　?。? A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，] 8．函數(shù)f（x）=x2﹣bx+c滿足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，則f（bx）和f（cx）的大小關(guān)系是（　

3、?。? A．f（bx）≤f（cx） B．f（bx）≥f（cx） C．f（bx）＞f（cx） D．大小關(guān)系隨x的不同而不同 9．已知函數(shù)f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=503（a+b），則a2+b2的最小值為（　?。? A．6 B．8 C．9 D．12 10．已知函數(shù)f（x）=（ex﹣e﹣x）x，f（log5x）+f（logx）≤2f（1），則x的取值范圍是（　?。? A．[，1] B．[1，5] C．[，5] D．（﹣∞，]∪[5，+∞） 11．函數(shù)y=的圖象大致是（　　） A． B． C． D． 12．函數(shù)y=的部分圖象大致為（　?。? A． B． C． D． 二

4、．填空題（共4小題） 13．已知y=|log2x|的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇0，2]，則區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度b﹣a的最小值為　 ?。? 14．已知f（x）=，則不等式[f（x）]2＞f（x2）的解集為　 　． 15．已知函數(shù)f（x）=的反函數(shù)是f﹣1（x），則f﹣1（）=　 ?。? 16．若函數(shù)f（x）=log2（x+1）+a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，1），則實(shí)數(shù)a=　 　． 三．解答題（共2小題） 17．已知函數(shù)（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)． （1）求實(shí)數(shù)m的值； （2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明； （3）當(dāng)x∈（n，a﹣2）時(shí)，

5、函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a與n的值． 18．已知函數(shù)F（x）=ex滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)． （1）求函數(shù)h（x）的反函數(shù)； （2）已知φ（x）=g（x﹣1），若函數(shù)φ（x）在[﹣1，3]上滿足φ（2a+1＞φ（﹣），求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （3）若對(duì)于任意x∈（0，2]不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 　 三、基本函數(shù) 選擇題（共12小題） 1．【解答】解：∵lg（a+b）=lga+

6、lgb， ∴l(xiāng)g（a+b）=lg（ab）=lga+lgb，∴a+b=ab，∴l(xiāng)g（a﹣1）+lg（b﹣1） =lg[（a﹣1）×（b﹣1）]=lg（ab﹣a﹣b+1） =lg[ab﹣（a+b）+1]=lg（ab﹣ab+1）=lg1=0．故選C． 2．【解答】解：由題意，函數(shù)f（x）=ax+a﹣x，且f（1）=3，可得a+=3， 又f（2）=a2+a﹣2=﹣2=7，f（0）=1+1=2 所以f（0）+f（1）+f（2）=2+3+7=12故選C 3．【解答】解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1， 則a＜c＜b，則選：C． 4．【解答】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)

7、y=﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+4（x＞﹣2）， 且x=﹣1時(shí)，y=﹣x2﹣4x=3，=2， 則在坐標(biāo)系中畫出y=﹣x2﹣4x（x＞﹣2）與的圖象： 由圖可得，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)，故選C． 　 5．【解答】解：由條件知，log3（log2x）=1， ∴l(xiāng)og2x=3， ∴x=8，∴x= 故選：D． 6． 【解答】解：令f（x）=2x+x=0，解得x＜0，令g（x）=x﹣1=0，解得x=1，由h（x）=log3x+x，令=﹣1+＜0，h（1）=1＞0，因此h（x）的零點(diǎn)x0∈．則b＞c＞a．故選：D． 7．【解答】解：當(dāng)x≤1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在

8、R上恒成立， 即為﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3， 由y=﹣x2+x﹣3的對(duì)稱軸為x=＜1，可得x=處取得最大值﹣； 由y=x2﹣x+3的對(duì)稱軸為x=＜1，可得x=處取得最小值， 則﹣≤a≤①當(dāng)x＞1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立， 即為﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+， 由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（當(dāng)且僅當(dāng)x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（當(dāng)且僅當(dāng)x=2＞1）取得最小值2． 則﹣2≤a≤2② 由①②可得，﹣≤a≤2． 另解：作出f（x）的圖象和折線y=|+a| 當(dāng)x≤1時(shí)，y=x2﹣x

9、+3的導(dǎo)數(shù)為y′=2x﹣1， 由2x﹣1=﹣，可得x=， 切點(diǎn)為（，）代入y=﹣﹣a，解得a=﹣； 當(dāng)x＞1時(shí)，y=x+的導(dǎo)數(shù)為y′=1﹣， 由1﹣=，可得x=2（﹣2舍去）， 切點(diǎn)為（2，3），代入y=+a，解得a=2． 由圖象平移可得，﹣≤a≤2． 故選：A． 8．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x）， ∴f（x）圖象的對(duì)稱軸為直線x=1，由此得b=2． 又f（0）=3，∴c=3． ∴f（x）在（﹣∞，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增． 若x≥0，則3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）． 若x＜0，則3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3

10、x）≥f（2x）．故選A． 9．【解答】解：∵f（x）+f（e﹣x）==lne2=2， ∴503（a+b）=f（）+f（）+…+f（）=++…+==2020， ∴a+b=4，∴a2+b2≥==8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)．故選：B． 10．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=（ex﹣e﹣x）x，∴f（﹣x）=﹣x（e﹣x﹣ex）=（ex﹣e﹣x）x=f（x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)． ∵f′（x）=（ex﹣e﹣x）+x（ex+e﹣x）＞0在[0，+∞）上成立． ∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．f（log5x）+f（logx）≤2f（1）， ∴2f（log5x）≤2f（1），即f

11、（log5x）≤f（1）， ∴|log5x|≤1，∴．故選：C．　 11．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函數(shù)， 所以排除A，B當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=0排除C故選D　 12．【解答】解：∵y=f（x）=， ∴f（﹣x）===f（x）， ∴f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以排除B，C． ∵f（2）=＞0，∴（2，f（2））在x軸上方，所以排除A， 故選：D． 二．填空題（共4小題） 13．【解答】解：∵y=|log2x|，∴x=2y或x=2﹣y．∵0≤y≤2， ∴1≤x≤4，或．即{a=1，b=4}或{a=，b=1}． 于是[b﹣a]min=．故答案為：．

12、 14．【解答】解：∵f（x）=，∴由[f（x）]2＞f（x2）知 ，∴，，或，∴，或x＞1．故答案為：（0，）∪（1，+∞）． 15．【解答】解：由題意，x≤0，2x=，∴x=﹣1， ∴f﹣1（）=﹣1．故答案為﹣1． 16．【解答】解：函數(shù)f（x）=log2（x+1）+a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，1）， 即函數(shù)f（x）=log2（x+1）+a的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，4）， ∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案為：3． 三．解答題（共2小題） 17．【解答】解：（1）∵函數(shù)（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)． ∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1． （2）由（1）

13、及題設(shè)知：， 設(shè)， ∴當(dāng)x1＞x2＞1時(shí)，∴t1＜t2． 當(dāng)a＞1時(shí)，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）． ∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)． 同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)． （3）由題設(shè)知：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（﹣∞，﹣1）， ∴①當(dāng)n＜a﹣2≤﹣1時(shí)，有0＜a＜1．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在為增函數(shù)，由其值域?yàn)椋?，+∞）知（無解）； ②當(dāng)1≤n＜a﹣2時(shí)，有a＞3．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在（n，a﹣2）為減函數(shù)，由其值域?yàn)椋?，+∞）知 得，n=1．　 18．【解答】解：（1）由

14、題意可得：ex=g（x）+h（x），e﹣x=g（﹣x）+h（﹣x）=g（x）﹣h（x），聯(lián)立解得：g（x）=，h（x）=． 由y=，化為：（ex）2﹣2yex﹣1=0，ex＞0，解得ex=y+． ∴h﹣1（x）=ln（x∈R）． （2）φ（x）=g（x﹣1），函數(shù)φ（x）在[﹣1，3]上滿足φ（2a+1＞φ（﹣），轉(zhuǎn)化為：函數(shù)g（x）在[﹣2，2]上滿足：g（2a）＞g（﹣﹣1）， 由于函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且函數(shù)g（x）為偶函數(shù)， ∴|2a|＞|﹣﹣1|，﹣2≤2a≤2，﹣2≤﹣﹣1≤2，解得a∈∪． （3）不等式g（2x）﹣ah（x）≥0，即﹣≥0， 令t=ex﹣e﹣x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]， 不等式轉(zhuǎn)化為：t2+2﹣at≥0，∴a≤t+，∵t+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號(hào)． ∴a≤2．